第三章一階微分方程的解的存在定理

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理教學目的：使學生掌握解的存在唯一性定理的內(nèi)容及證明思想、延拓定理、解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理的內(nèi)容；掌握逐次逼近法；會判斷解的存在區(qū)間；了解奇解的概念和解法教學內(nèi)容：1、 解的存在唯一性定理與逐次逼近法解的存在唯一性定理及其證明、Lipschitz條件、Picard逼近序列、逐次逼近法2、 解的延拓定理與延拓條件3、解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理4、奇解、包絡、奇解、Clairaut方程教學重點：解的存在唯一性定理及其證明教學難點：解的延拓定理、解對初值的連續(xù)依賴性、可微性定理的證明教學過程：§3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法3.1.1

2、 存在唯一性定理定理如果在上連續(xù)且關于滿足李普希茲條件，則方程 (3.1)存在唯一解定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件 （3.3）其中可用皮卡（Picard）逐步逼近法證明這個定理，此外，用歐拉折線法（差分法）、紹德爾（Schouder）不動點方法等亦可證明逐步逼近法的基本思想分五個命題來證明定理命題設是方程(3.1)的定義于區(qū)間上，滿足初始條件 的解，則是積分方程（3.5）的定義于區(qū)間上的連續(xù)解，反之亦然現(xiàn)取，構造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下： (3.7)命題對于所有的，(3.7)中函數(shù)在上有定義、連續(xù)且滿足不等式(3.8)命題函數(shù)序列在上是一致收斂的設，則也在上連續(xù)，且由(3.)又可知，命題是積

3、分方程（3.5）定義于區(qū)間上的連續(xù)解命題設是積分方程（3.5）定義于區(qū)間上的另一個連續(xù)解，則附注（84）附注2 由于利普希茲條件比較難于檢驗，常用在上對于的連續(xù)偏導數(shù)代替 附注（85）定理如果在點的某個鄰域內(nèi)，對所有變元連續(xù)，且存在連續(xù)偏導數(shù)；則方程(3.15)存在唯一解（未足夠小的任意正數(shù)）滿足初始條件3.1.2 近似計算與誤差估計在(3.14)中令可得第次近似解和真正解在區(qū)間 (3.19) 在近似計算時，可根據(jù)誤差的要求，選取適當?shù)闹鸩奖平瘮?shù)例方程定義于矩形區(qū)域上，試利用存在唯一性定理確定過點的解的存在區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過的近似解的表達式作業(yè)：P88 1、3、4、5、

4、7、9§3.解的延拓局部利普希茲條件，即對于內(nèi)的每一點，有以其為中心的完全含于內(nèi)的閉矩形存在，在上關于滿足利普希茲條件解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)關于滿足局部利普希茲條件，則方程(3.1)的通過內(nèi)任意一點的解可以延拓，直到點任意接近區(qū)域的邊界以向增大的一方的延拓來說，如果只能延拓到區(qū)間上，則當時，趨于區(qū)域的邊界推論如果是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)的通過的解可以延拓，以向增大的一方的延拓來說，有下面兩種情況：(1) 解可以延拓到區(qū)間；(2) 解只可以延拓到區(qū)間，其中為有限數(shù)，則當時，或者無界，或者點趨于區(qū)域的邊界例討論方程的

5、分別通過點的解的存在區(qū)間例討論方程滿足條件的解的存在區(qū)間§3.解對初值的連續(xù)性和可微性定理3.3.1 解關于初值的對稱性解關于初值的對稱性定理設方程(3.1)的滿足初始條件的解是唯一的，記為，則在表達式中，和可以調(diào)換其相對位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關系式3.3.2 解對初值的連續(xù)依賴性引理如果函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關于滿足利普希茲條件，則對方程(3.1)的任意兩個解，在它們的公共存在區(qū)間成立著不等式 (3.20)其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值解對初值的連續(xù)依賴性定理設在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關于滿足局部利普希茲條件，是(3.) 的滿足初始條件的解，它在區(qū)間上有定義，則對于任意給定的，存在正數(shù)使得當時，方程(3.1)的滿足條件的解在區(qū)間上也有定義，并且證明（略，見P96）解對初值的連續(xù)性定理 若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關于滿足局部利普希茲條件，則方程(3.1)的解作為的函數(shù)在它