角平分線的性質(zhì)定理

1、 滬科版八年級(jí)上冊(cè)滬科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 第第1515章章 軸對(duì)稱(chēng)圖形與等腰三角形軸對(duì)稱(chēng)圖形與等腰三角形 15.4 15.4 角的平分線角的平分線 ( ( 第第2 2課時(shí)課時(shí) 角平分線定理及逆定理角平分線定理及逆定理 ) ) 安徽省滁州市第九中學(xué)安徽省滁州市第九中學(xué) 葉金山葉金山（qq:1585683455qq:1585683455） 復(fù)習(xí)提問(wèn)復(fù)習(xí)提問(wèn)1 1、什么叫角平分線什么叫角平分線？oBCA12復(fù)習(xí)提問(wèn)復(fù)習(xí)提問(wèn) 2 2、點(diǎn)到直線距離、點(diǎn)到直線距離: :從直線外一點(diǎn)從直線外一點(diǎn)到這條直線的到這條直線的垂線段垂線段的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度，叫做叫做點(diǎn)到直線的距離。點(diǎn)到直線的距離。OPAB 在半透明的紙

2、上畫(huà)在半透明的紙上畫(huà)BAC，對(duì)折，使角的，對(duì)折，使角的兩條邊完全重合，然后用直尺畫(huà)出折痕兩條邊完全重合，然后用直尺畫(huà)出折痕OD. 從上面試驗(yàn)可以看出，角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)從上面試驗(yàn)可以看出，角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是它的角平分線所在的直線稱(chēng)軸是它的角平分線所在的直線.BCAD 不利用作圖工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)不利用作圖工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？相等的角。你有什么辦法？ 如果前面活動(dòng)中的如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板紙片換成木板、鋼板鋼板等沒(méi)法折的角，又該怎么辦呢？等沒(méi)法折的角，又該怎么辦呢？用尺規(guī)作圖的方法作出角的平分線用尺規(guī)作圖的方法作出角的平分線已

3、知：如圖，已知：如圖，AOB。求作：求作：AOB的平分線。的平分線。OABCMN畫(huà)法：畫(huà)法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于交于分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 1/2 的長(zhǎng)的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于作射線作射線射線即為所求射線即為所求BA.CE D畫(huà)法：畫(huà)法：以以C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交半徑作弧，交B于于D,E分別以分別以D，E為圓心大于為圓心大于 1/2 DE的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧交于的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧交于F作直線作直線F直線直線F即為所求即為所求FAD過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線過(guò)直線外一點(diǎn)作這條

4、直線的垂線BE.kc畫(huà)法：畫(huà)法：任意取一點(diǎn)任意取一點(diǎn)K，使，使K和和 C在在B兩兩 旁旁3分別以分別以D，E為圓為圓心大于心大于 1/2 DE的長(zhǎng)為半徑的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧交于作弧兩弧交于F4作直線作直線F。即為所求。即為所求2以以C為圓心，為圓心，CK長(zhǎng)長(zhǎng)為半徑作弧，交為半徑作弧，交B于于D,EF角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 已知：如下圖，已知：如下圖，OC是是AOB的平分線，的平分線，P是是OC上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，PDOA，PEOB，垂足，垂足分別為分別為D，E。求證：求證：PD=PE。12ABDEPOC定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

5、PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。證明：證明：OC是是AOB的平分線的平分線(已知已知)，1=2(角平分線的定義角平分線的定義)。 PDOA，PEOB(已知已知)，PDO=PEO=90(垂直的定義垂直的定義)。在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO (已證已證)，12(已證已證)，OPOP(公共邊公共邊)，PDO PEO (AAS)。12ABDEPOC已知：如圖已知：如圖, ,PDPDOAOA，PEPEOBOB，點(diǎn)點(diǎn)D D、E E為垂足，為垂足，PDPDPEPE求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上OCB1A2PDE證明：證明： PDOA，PE

6、OB，點(diǎn)，點(diǎn)D、E為垂足，為垂足，在在Rt PDO 與與Rt PEO中中PDO= PEO=Rt PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共邊）（公共邊）RtPDO PDO1=2 即點(diǎn)即點(diǎn)P在在AOB的平分線上的平分線上 反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？這個(gè)角的平分線上呢？ 到到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)， 在在這個(gè)角平分線上這個(gè)角平分線上例例1: 1: 已知：如圖，已知：如圖，ABCABC的角平分線的角平分線BMBM、CNCN相交相交于點(diǎn)于點(diǎn)P.P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P P在在BACBAC的

7、角平分線上的角平分線上ABCMNPDEF證明：過(guò)點(diǎn)證明：過(guò)點(diǎn)P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，BM是是ABC的角平分線，的角平分線，點(diǎn)點(diǎn)P在在BM上，上，PD=PE（角平分線上的（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）同理，同理，PE=PFPD=PF AP平分平分BAC 已知：如圖，已知：如圖，ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平的平分線相交于點(diǎn)分線相交于點(diǎn)F F。 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)F F在在DAEDAE的平分線上。的平分線上。CD A B F E OQP變式變式 CD A B P E 例例2. 已知：如圖，已知：如圖，ABC的

8、外角的外角CBD和和BCE的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)P。 求證求證：（：（1）點(diǎn)）點(diǎn)P到三邊到三邊AB，BC，CA所在直線所在直線的距離相等；的距離相等； （2）點(diǎn)）點(diǎn)P在在DAE的平分線上。的平分線上。又又 點(diǎn)點(diǎn)P在在CBD的角平分線的角平分線 PM=PK（）同理同理 PN=PK PM=PK=PN（2） PM=PN（已證）（已證） AEPN ADPM(已知已知)MNKCD A B PE 證明證明：（1）例例3. 要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路和鐵要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處500米，該米，該集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處

9、？（比例尺集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路2.5cm解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為m,則：則： 200001500X解得：解得：0.025 0.025 m 2.5cm則點(diǎn)即為所求的點(diǎn)則點(diǎn)即為所求的點(diǎn)例例4.如圖，已知如圖，已知ABC的外角的外角DAB和和 ABE的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)F， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)F在在DCE的平分線上的平分線上ABCFED證明：過(guò)點(diǎn)證明：過(guò)點(diǎn)F作作FGAD于于G，F(xiàn)HBE于于H，F(xiàn)MAB于于M，點(diǎn)點(diǎn)F在在DAB的平分線上，的平分線上， FGAD，F(xiàn)MAB，F(xiàn)G=FM又又點(diǎn)點(diǎn)F在在ABE的的平分線上，平分線上，F(xiàn)HBE， FM

10、AB，F(xiàn)M=FH，F(xiàn)G=FH，點(diǎn)點(diǎn)F在在DAE的平分線上的平分線上FABCEDGHM 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn),DEAB,DEAB，DFACDFAC，垂足分別是，垂足分別是E E，F(xiàn) F，且，且BEBECFCF。求證：求證：ADAD是是ABCABC的角平分線。的角平分線。ABCEFD 2.在在ABC中，中， C=90 ，AD為為BAC的的平分線，平分線，DEAB，BC7，DE3.求求BD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。EDCBA3.如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=