2021云南考研數(shù)學(xué)三真題及答案

1、2021云南考研數(shù)學(xué)三真題及答案一、選擇題（本題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求，把所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置上.）12xt 32(1)當(dāng) x ® 0 時(shí)， ò0 (e-1)dt 是 x7 的(A)低階無(wú)窮小.(B)等價(jià)無(wú)窮小.(C)高階無(wú)窮小.(D)同階但非等價(jià)無(wú)窮小.【答案】C.é x2t 3ù¢x67x2t 37【詳解】因?yàn)楫?dāng) x ® 0 時(shí)， êëò0 (e -1)dtúû確答案為 C.= 2x(e-1)

2、: x，所以ò0 (e -1)dt 是 x 高階無(wú)窮小，正ì ex - 1í(2)函數(shù) f (x)= ïx, x ¹ 0 ,在 x = 0 處îï1, x = 0(A)連續(xù)且取極大值.(B)連續(xù)且取極小值.(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為 0.(D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為 0.【答案】D.【詳解】因?yàn)閘im f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 處連續(xù)；x®0x®0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x1¢1因?yàn)閘im= lim=lim=，

3、故 f (0) =，正確答案為 D.x®0x - 0x®0x - 0x®0x 222(3)設(shè)函數(shù) f (x) = ax - b ln x (a > 0) 有兩個(gè)零點(diǎn)，則 b 的取值范圍是a(A) (e, +¥) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D) ( 1 , +¥) .ee【答案】A.【詳解】令 f (x) = ax - b ln x = 0 ， f ¢(x) = a - b ，令 f ¢(x) = 0 有駐點(diǎn) x = b ， f æ b ö = a × b - b

4、 × ln b < 0 ，x從而ln b > 1，可得 b > e ，正確答案為 A.ç ÷aaè øaaaa(4)設(shè)函數(shù) f (x, y) 可微， f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，則 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【詳解】 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f &#

5、162;(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2xìx = 0ìx = 1分別將í y = 0 ， í y = 1 帶入式有îîf1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2聯(lián)立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2¢(1,1)dy = dy ，故正確答案為 C.(5) 二次型

6、 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【詳解】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3æ 011 öç÷所以 A = ç 121 ÷ ，故特征多項(xiàng)式為èøç

7、 110 ÷l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值為-1， 3 ， 0 ，故該二次型的正慣性指數(shù)為 1，負(fù)慣性指數(shù)為 1.故應(yīng)選 B.æaT öæ1öç 1 ÷ç ÷(6) 設(shè) A = (a,a ,a,a ) 為 4 階正交矩陣，若矩陣 B = aT ， b= 1 ， k 表示任意常數(shù)，1234ç 2 ÷ç ÷çaT ÷ç1÷è 3 ø&

8、#232; ø則線性方程組 Bx = b的通解 x =(A)a2 +a3 +a4 + ka1 .(B)a1 +a3 +a4 + ka2 .(C)a1 +a2 +a4 + ka3 .(D)a1 +a2 +a3 + ka4 .【答案】D.【解析】因?yàn)?A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 為 4 階正交矩陣，所以向量組a1 ,a2 ,a3 ,a4 是一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量æaT öç 1 ÷組， 則 r(B) = 3 ， 又 Ba = a T a = 0 ， 所以齊次線性方程組 Bx = 0 的通解為 ka . 而4ç 2 ÷ 4

9、4çaT ÷è 3 øæaT öæ1öç 1 ÷ç ÷B(a +a +a ) = a T (a +a +a ) = 1= b ， 故 線 性 方 程 組Bx = b的 通 解123ç 2 ÷123ç ÷çaT ÷ç1÷è 3 øè øx = a1 +a2 +a3 + ka4 ，其中 k 為任意常數(shù).故應(yīng)選 D.æ 10-1ö(7) 已知矩

10、陣 A = ç 2-11 ÷ ，若下三角可逆矩陣 P 和上三角可逆矩陣Q ，使 PAQ 為對(duì)角ç÷ç -12-5÷èø矩陣，則 P ， Q 可以分別取æ 100 öæ 101öæ 100 öæ 100 ö(A) ç 010 ÷ ， ç 013÷ .(B) ç 2-10 ÷ ， ç 010 ÷ .ç÷èøç 0

11、01 ÷ç÷èøç 001÷ç÷èøç -321 ÷ç÷èøç 001 ÷æ 100 öæ 101öæ 100 öæ 12-3ö(C) ç 2-10 ÷ ， ç 013÷ .(D) ç 010 ÷ ， ç 0-12 ÷ .ç÷&#

12、232;øç -321 ÷【答案】C.【解析】ç÷èøç 001÷ç÷èøç 131 ÷ç÷èøç 001 ÷æ 10-1100 öæ 10-1100 öæ 10-1100 ö( A, E) = ç 2-11010 ÷ ® ç 0-13-210 ÷ ® ç 0

13、1-32-10 ÷ç÷ç÷ç÷ç -12-5001 ÷ç 02-6101 ÷ç 000-321 ÷èøèøèøæ 100 ö= (F , P) ,則 P = ç 2-10 ÷ ;æ 10ç 01ç÷èøç -321 ÷-1öæ 100 ö-3÷

14、31; 010 ÷ç÷ç÷æ 101öæ F öç 000 ÷ ® ç 000 ÷ = æ ö ，則Q = ç 013÷ .故應(yīng)選 C.èøç÷ç÷Qèøç E ÷ç 100 ÷ç 101 ÷ç÷ç 010 ÷ç 013÷

15、;èøèøç 001 ÷ç 001 ÷ç÷èøç 001÷(8) 設(shè) A ， B 為隨機(jī)事件，且0 < P(B) < 1，下列命題中不成立的是(A) 若 P( A | B) = P( A) ，則 P( A | B) = P( A) .(B) 若 P( A | B) > P( A) ，則 P( A | B) > P( A)(C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，則 P( A | B) > P( A) .(

16、D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，則 P( A) > P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【詳解】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因?yàn)?P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正確答案為 D.(9)設(shè)(

17、X ,Y ) ，( X,Y ) ，L，( X,Y ) 為來(lái)自總體 N (m,m;s2 ,s 2;r) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令1 122nn1 n 1 n1212q= m1 - m2 ， X = n å X i ， Y = n åYi ，q= X - Y 則i=1i=1s2 +s 2(A) E(q) =q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(B) E(q) =q， D(q) =.ns +s22(C) E(q) ¹q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(D) E(q) ¹q， D(q) =.n【答案

18、】 B【詳解】因?yàn)?X ,Y 是二維正態(tài)分布，所以 X 與Y 也服從二維正態(tài)分布，則 X - Y 也服從二維正態(tài)分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正確答案為 B.n1-q1+q(10) 設(shè)總體 X 的概率分布為 PX = 1 =， PX = 2 = PX = 3 =，利用來(lái)自總體24的樣本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得q的最大似然估計(jì)值為(A) 1 .3(B) .(C

19、) 1 .(D) 5 .4822【答案】 A .) ()【詳解】似然函數(shù) L(q) = (1-q 3 1+q 5 ，241-q1+q取對(duì)數(shù)ln L(q) = 3ln() + 5 ln() ；24d ln L(q)351求導(dǎo)=+= 0 ，得q=.故正確答案為 A. dq1-q 1+q4二、填空題（本題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.）dydx(11) 若 y = cos e- x ，則=.sin 1【答案】 e .2ex=1 dydxsin 1-2 x【詳解】 dy = -sin e- x (e- x ×1 )dxx =1 =e .2e5(12

20、) ò 5【答案】6 .xdx =.x2 - 9ò323x5x-1 3d (9 - x 2 )15 d (x 2 - 9)x2 - 9【詳解】 ò 5dx +9 - xdx =x2 - 92 ò 59 - x2+ 2 ò3= 6 .(13) 設(shè)平面區(qū)域 D 由曲線 y =體積為 .【答案】p.4x × sinpx (0 £ x £ 1) 與 x 軸圍成，則 D 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的1ò1pp【詳解】V = pò ( x sinpx)2 dx = pò x sin 2 pxdx =

21、 px = t 1sin 2 tdt =.002 04(14) 差分方程 Dyt = t 的通解為 .【答案】 y = y* + y = 1 t 2 - 1 t + C ， C 為任意常數(shù).22【詳解】 y = C , y* = 1 (at +b) ， (t + 1)(a(t + 1) + b) - t(at + 1) = t ， 2at + a + b = t ， a = 1 , b = - 1 ，2y = y* + y = 1 t 2 - 1 t + C , C 為任意常數(shù).xx12x1x2-121x12-11x22(15) 多項(xiàng)式 f (x) =22中 x3 項(xiàng)的系數(shù)為 .【答案】-5.

22、【詳解】xx12xx2-112-11x-11x21x2-1f (x) = x 1x1 - x 2x1 - 211- 2x 21x21x1-11x21x3-1x2-112-11x所以展開式中含 x3 項(xiàng)的有-x3 , -4x3 ，即 x3 項(xiàng)的系數(shù)為-5.(16) 甲乙兩個(gè)盒子中各裝有 2 個(gè)紅球和 2 個(gè)白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中， 再?gòu)囊液兄腥稳∫磺?令 X , Y 分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù)，則 X 與Y 的相關(guān)系數(shù) .1【答案】.5æ (0, 0)(0,1)(1, 0)(1,1) öæ 01 öæ 01 &#

23、246;【解答】聯(lián)合分布率( X ,Y ) : ç3113÷ , X : ç 11 ÷ Y : ç 11 ÷ç÷ç ÷ç ÷è 105510 øè 22 øè 22 ø1111cov( X ,Y ) = 20 ， DX = 4 , DY = 4 ,即rXY = 5 .三、解答題（本題共 6 小題，共 70 分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）(17)(本小題滿分 10 分)11

24、已知limaarctanx®01 1+ (1 + x )x 存在，求a的值.x【答案】a= p( e - e).【詳解】.要想極限存在，則左右極限相等；é1又由于 lim êaarctanx®0+ ëx+ (1 +1 ùx ) x ú =ûpa+ e;2é1lim êaarctanx®0- ëx+ (1 +1 ùp1x ) x ú = -a+ ;û2epp11 1從而a+ e = -22a+，即a=ep( e- e).(18)(本小題滿分 12

25、分)(x -1)2 + y2求函數(shù) f (x, y) = 2 ln x +的極值.2x21【答案】(-1, 0) 處取極小值 2； ( , 0) 處取極小值 122- 2 ln 2 .【詳解】ì '2x2 + x -1 - y2ï fx =x3= 0ì2x2 + x -1 - y2 = 0（1） íy即íy = 0ï f ' = 0îîï yx21得駐點(diǎn)(-1, 0) ， ( , 0)=2fì''ïxxï(4x +1) x - 3(2x2 +

26、x -1- y2 ) x4ï（2） íï'' = -2 yfxyx3xï f '' = 1ï yy2î（3）駐點(diǎn)(-1, 0) 處，A=3，B=0，C=1， AC - B2 = 3 > 0 ， A > 0故 f (x, y) 在(-1, 0) 處取極小值 2；駐點(diǎn)( 1 , 0) 處，A=24，B=0，C=4， AC - B2 = 3 > 0 ， A > 0211故 f (x, y) 在( , 0) 處取極小值22(19)(本小題滿分 12 分)- 2 ln 2 .設(shè)有界區(qū)域 D

27、 是 x2 + y2 = 1 和直線 y = x 以及 x 軸在第一象限圍城的部分，計(jì)算二重積分òò e( x+ y )2 (x2 - y2 )dxdy.D【答案】 1 e 2 - 1 e + 1 .848p211 221 p1 22òò e( x + y ) (x2 - y2 )ds=ò 4 cos 2qdqò er (cos q+sin q) r 2 dr 2=ò 4 cos 2qdqò er (cosq+sinq) r 2dr 22D002 00òòp12= 4 cos 2qdq eu (

28、cosq+sinq) udu001 ueu (cosq+sinq)2 du =11 (cosq+ sinq)2 ueu (cosq+sinq)2 du (cosq+ sinq)2ò0=1(cosq+ sinq)=1(cosq+ sinq)4 ò0òte dt(cosq+sinq)2 t4 0e(cosq+sinq)2 -1e(cosq+sinq)2 - 1(cosq+ sinq)2(cosq+ sinq)4qpp上式= 14 cosq- sinq (cosq+sinq)2 dq- 1 4 cosq- sinq e(cosq+sinq)2 - 1dq2 ò

29、0cosq+ sin e2 ò0(cosq+ sinq) 3= 1 ò 2 1eu2 du - 1 ò 2eu2 -12 1 udu2 1u 32222 u2其中1eu2 du=-21 u21u221 u2-31 21eò1 uò1 u d ( e) =e2u21 - ò1 (2 e)(-2u)du =e4- 2 e + ò1u3 du2e2e12 - 111原式=-+ ò u 3du =e 2- e +.842 1848(20)(本小題滿分 12 分) 設(shè)n 為正整數(shù)， y = yn(x) 是微分方程 xy

30、62; - (n +1) y = 0 滿足條件 yn(1) =1n(n +1)的解.¥(1) 求 yn (x) ；(2) 求級(jí)數(shù)å yn (x) 的收斂域及和函數(shù).n=11n+1ì(1- x) ln(1- x) + x, x Î(-1,1)【答案】(1) yn (x) = n(n +1) x(n +1) y;(2)收斂域-1,1 ， S (x) = íîò n+1dx11, x = 1.1(1)y¢ -= 0 得xy = Ce x= Cxn+1 ， 將yn (1) =n(n +1)帶 入 ， 有C = n(n +1

31、) ，yn (x) =1n(n +1)x n+1 ；1¥n+1n=1(2) å n(n +1) x的收斂域?yàn)?1,11¥n+1¥ xn+1¥ xn+1n=1設(shè) S (x) = å n(n +1) x=ånn=1-å=(1- x) ln(1- x) + x, x Î(-1,1)n +1n=1又因?yàn)?S (x) 在-1,1 連續(xù)，所以 S (1) = lim S (x) = 1 ，x®1-所以 S(x) = ì(1- x) ln(1- x) + x, x Î-1,1) .

32、8;í1, x = 1(21)(本小題滿分 12 分)æ 210 öç÷設(shè)矩陣 A= ç 120 ÷ 僅有兩個(gè)不同的特征值. 若 A 相似于對(duì)角矩陣，求 a ， b 的值，并求可ç 1ab ÷èø逆矩陣 P ，使 P-1 AP 為對(duì)角矩陣.l- 2【詳解】由 lE - A =-1-10l- 20= (l- b)(l- 3)(l- 1) = 0-1-al- b當(dāng) b = 3 時(shí)，由 A 相似對(duì)角化可知，二重根所對(duì)應(yīng)特征值至少存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則æ 1-10 ö

33、;ç÷(3E - A) = ç-110 ÷ 知， a = -1 ，ç -1-a0 ÷èøæ 1 öæ 0 ö此時(shí)，l = l = 3 所對(duì)應(yīng)特征向量為a = ç 1 ÷ ,a = ç 0 ÷ ，01121ç ÷2ç ÷æ -1öç ÷ç ÷è øè øæ 3öl = 1所對(duì)應(yīng)的特

34、征向量為a = ç 1 ÷ ，則 P-1 AP = ç3÷33ç÷ç÷ç 1 ÷ç1÷èøèø當(dāng) b = 1 時(shí)，由 A 相似對(duì)角化可知，二重根所對(duì)應(yīng)特征值至少存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則æ -1 (E - A) = ç-1-10ö-10 ÷ ，知 a = 1 ，ç÷ç -1-a0÷èøæ -1öæ 0 ö此時(shí)，l = l = 1所對(duì)應(yīng)特征向量為b = ç 1 ÷ ,b = ç 0 ÷ ，01121ç÷2ç ÷æ1öç÷ç ÷