正余弦定理復(fù)習(xí)(整理好的)

1、1.正弦定理正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即相等，即= = =2R（R為為ABC外接圓半徑）外接圓半徑）AasinBbsinCcsin 2.正弦定理的應(yīng)用正弦定理的應(yīng)用: 從理論上正弦定理可解決兩類問題：從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角； 2兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。的邊和角。（見圖示）已知見圖示）已知a, b和和A, 用正弦定理求用正弦定理求B時(shí)的各時(shí)的各種情況種情況: )(

2、ba) ,( babsinA)( bsinAa sin銳銳角角一一解解一一鈍鈍一一銳銳二二解解直直角角一一解解無無解解Aba 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)ababsinAababsinAabsinAabABCabABCabABCabABC一解一解兩解兩解一解一解無解無解(1)若若A90，又可有下表：，又可有下表：ACababsinA無解無解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 兩解兩解BB1B2BACbaab一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解(2)若若A90，又可有下形式：，又可有下形式：2余弦定理可以解決的問題余弦定理可以解決的問題利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形

3、的問題：利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。1余弦定理余弦定理 ：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即 Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos222例例1 1在在ABCABC中，已知中，已知a7 7，b101

4、0，c6 6，求，求A A、B B和和C.C.解：解： 0.7250.725， A44A44bcacbA2cos222 0.80710.8071， C36C36, , abcbaC2cos222 B B180180(A(AC)100.C)100.(sinC(sinC 0.59540.5954, , C 36 C 36或或144144( (舍舍).).)aAcsin 舉例舉例例例2 2 在在ABCABC中，已知中，已知a2.7302.730，b3.6963.696，C82822828，解這個(gè)三角形，解這個(gè)三角形. . 解：由解：由 ，得，得 c4.297.Cabbaccos2222 0.7767

5、 0.7767， A39A3922, , bcacbA2cos222 B B180180(A(AC)C)585830.30.(sinA(sinA 0.6299 A=390.6299 A=39或或141141( (舍舍).).)，cCasin例例 3 3 ABCABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(6A(6，5)5)、B(B(2 2，8)8)、C(4C(4，1)1)，求角，求角A.A.?8?7?6?5?4?3?2?1?-4?-2?2?4?6?8?C?B?A解法一：解法一： |AB| |AB| |BC| |BC| |AC|AC| 73)85()2(622 85)18()42(22 52)15()4

6、6(22 ACABBCACABA 2cos2223652 A84 A84.解法二：解法二： ( (8 8，3)3)， ( (2 2，4).4).ABAC cosA cosA = , A84= , A84. .ACABACAB 36525273)4(3)2()8( 1.1.在在ABCABC中，中，b CosCosA A= =a coscosB B，則三角形為，則三角形為( )( )A.A.直角三角形直角三角形 B.B.銳角三角形銳角三角形C.C.等腰三角形等腰三角形D.D.等邊三角形等邊三角形C C解法一：利用余弦定理將角化為邊解法一：利用余弦定理將角化為邊. .bcosAacosB,acbca

7、abcacbb22222222 b2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角. .bcoscosA AacoscosB B又又b2sinB，a2sinA，2sinBcosA2sinAcosB sinsinA AcoscosB BcoscosA AsinsinB B0 0sinsin（A AB B）0 00A，B，AB，AB0 即即AB 故此三角形是等腰三角形故此三角形是等腰三角形. 返回返回 練習(xí)練習(xí)2. 在在ABC中，若中，若a2b2+c2，則，則ABC為為 ；若；若a2=b2+c2

8、，則，則ABC為為 ；若；若a2b2+c2且且b2a2+c2且且c2a2+b2，則，則ABC為為 。 3. 在在ABC中，中，sinA=2cosBsinC，則三角形，則三角形為為 。 4. 在在ABC中，中，BC=3，AB=2，且，且 ，A= 。 ) 16(52sinsin BC直角三角形直角三角形等腰三角形等腰三角形銳角三角形銳角三角形鈍角三角形鈍角三角形120 5. 5. 在在ABCABC中，已知中，已知sinsinB BsinsinC Ccoscos2 2 ，試判斷此，試判斷此三角形的類型三角形的類型. .2A解：解：sinsinB BsinsinC Ccoscos2 2 , sin,

9、sinB BsinsinC C2A2cos1A 2sin2sinB BsinsinC C1 1coscos180180（B BC C）將將coscos（B BC C）coscosB BcoscosC CsinsinB BsinsinC C 代入上式得代入上式得coscosB BcoscosC CsinsinB BsinsinC C1, cos1, cos（B BC C）1 1又又0 0B B，C C，B BC CB BC C0 0 B BC C故此三角形是等腰三角形故此三角形是等腰三角形. .6 .,1,33, ta n_ _ _ _ _ .A B CB CBA B CC 在在中中當(dāng)當(dāng)?shù)牡?面

10、面 積積 為為時(shí)時(shí)ACB. 4323121sin21: ABABBBCABSABC解解sintanC2 3.cosBB 1326213131sin13131132161132cos2222 CBCACABBCAcC.1313211421162222 ACBCOSBCABBCABAC余弦定理及其應(yīng)用余弦定理及其應(yīng)用cabacB2cos222 Abccbacos2222 bcacbA2cos222 Bacacbcos2222 Cabbaccos2222 abcbaC2cos222 小結(jié)小結(jié)作?業(yè)：1 1. .在在ABC中，中，A=60=60, ,a=4 ,=4 ,b=4 ,=4 ,求角求角B. 2., , , ,ABCA B Ca b ca3 b2B45A在中 角的對(duì)邊為若求角 。3.在在ABC中，若中，若 求求AB. 3tan,120 ,2 3,4ACBC 4.4.已知圓的半徑為已知圓的半徑為4 4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若的三邊，若abc=16 =16 ，求三角形的面積，求三角形的面積. .5.已知已知ABC的三個(gè)內(nèi)角的三個(gè)內(nèi)角A、B、C