概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章抽樣分布及其上分位數(shù)ppt課件

1、17.3 7.3 抽樣分布及其上分位數(shù)抽樣分布及其上分位數(shù) 為了進一步研究未知參數(shù)的統(tǒng)計為了進一步研究未知參數(shù)的統(tǒng)計推斷問題，本節(jié)介紹幾個重要的抽樣推斷問題，本節(jié)介紹幾個重要的抽樣分布及其定理分布及其定理. .2一一 抽樣分布抽樣分布 統(tǒng)計量是隨機變量，它的分布稱為統(tǒng)計量是隨機變量，它的分布稱為“抽樣分布抽樣分布” . ” . 研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，取決于其抽樣分布的性質(zhì)的優(yōu)良性，取決于其抽樣分布的性質(zhì). .抽樣分布抽樣分布精確抽樣分布精確抽樣分布漸近分布漸近分布322111,()1nnniiniiXXSXXnn = = 1 1 分別表示

2、樣本均值和樣本方差分別表示樣本均值和樣本方差.時，也稱時，也稱 是來自總體是來自總體的樣本，仍用的樣本，仍用 假設假設 是來自總體是來自總體X的樣本，當?shù)臉颖?，?2,nXXX2( ,)XN 12,nXXX2( ,)N 4統(tǒng)計上的三大分布統(tǒng)計上的三大分布2( )n 記為記為定義定義3.1: 3.1: 如果隨機變量如果隨機變量 有概率密度有概率密度 分布分布( (卡方分布卡方分布) )1、2 12221( ),02(2)nunp uueun 稱稱 服從自由度為服從自由度為n n的的 分布分布. .2來定義來定義. .其中伽瑪函數(shù)其中伽瑪函數(shù) 通過積分通過積分10( ),0 xxedx ( )5分

3、布的密度函數(shù)圖形自由度依次分布的密度函數(shù)圖形自由度依次為為n=1,3,5,7n=1,3,5,72( )n n=1n=3n=5n=76分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2 定理定理3.1: 3.1: 假設假設 是來自是來自總體總體N(0,1)N(0,1)的樣本的樣本, , 則平方和則平方和12,nXXX222212( )nnXXXn 722(2)(1)(1)nSn2nXS和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有2(1).nXS和獨立定理定理3.2: 3.2: 假設假設 是來自是來自總體總體N(0,1)N(0,1)的樣本，的樣本，12,nXXX8推論推論3.3: 3.3: 假設假設 ，那么，

4、那么22( ),( )nm2(2)()nm當和獨立時，有 (1)( ),Var( )2Enn這個性質(zhì)叫這個性質(zhì)叫 分布的可加性分布的可加性. .2912,(0,1)nX XXN證證明明：( ( 1 1設設是是來來自自總總體體的的) )樣樣本本，則則2422Var()() ()3 12,1,2,iiiXE XE Xin 2211( )()().nniiiiEEXE Xn 所所以以2211Var( )Var()Var()2 .nniiiiXXn 22E()0, E()Var() (E()1iiiiXXXX 2222123.1( )nXXXn 根根據(jù)據(jù)定定理理 ，有有 1012,(0,1)n mX

5、XXN 設設是是來來自自總總證證明明：( ( 2 2體體) )的的樣樣本本2222221212()()nmnnnn mXXXXXX 令令 則則 與與.同同分分布布nm .因因此此結(jié)結(jié)論論成成立立則有則有2nm （n n+ + m m ）11 定理定理 3.422221(1)1(2)()(1)njnjnSXXn 設設X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2nXS和和 分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有2(1).nXS和和獨獨 立立12 t 分布又稱學生氏分布又稱學生氏(student)分布分布.記做記做Tt(n). 定義3.2: 如果隨機變

6、量T具有概率密度稱稱T服從自由度為服從自由度為 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布12212( )1,(,)2nnnup uunnn 13外形外形: :中間高中間高, ,兩邊低兩邊低, ,左右對稱左右對稱. .當當n n充分大時，充分大時，t t 分布近似分布近似N (0,1)N (0,1)分布分布. . 但對于較小的但對于較小的n n，t t分分布與布與N (0,1)N (0,1)分布相差很大分布相差很大. .t分布的圖形分布的圖形(紅色的是標準正態(tài)分布紅色的是標準正態(tài)分布)n = 1n=20-3-2-110.414 t(2)與與N(0,1)概率密度曲線的對比概率密

7、度曲線的對比 15 t(20)與與N(0,1)概率密度曲線的對比概率密度曲線的對比 16 22,1lime( )2unnnpuu 特特別別, , 當當時時 有有 33, ( )(0,1).33,( )nt nNnx 當當時時分分布布的的密密度度和和的的密密度度幾幾乎乎沒沒有有差差別別 而而且且當當時時對對標標準準正正態(tài)態(tài)密密度度函函數(shù)數(shù)有有sup( )( )0.0041nxpxx 17t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) ( )Zt nn 定理3.5: 如果ZN(0,1) , 且Z與 相互獨立，則有2( ),n 18 定理定理 3.6 如果如果X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(2 N的樣本的

8、樣本,2nXS和和 分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差, ,則有則有 (1)nXt nSn 19222(1)(0,1),(1)./nXnSZNnn 且它們獨立且它們獨立. 則由定理則由定理3.5得到得到22(1)(1)/(1)nXZnSnnn 證明：由定理證明：由定理3.4 (1)/nXt nSn 20 具有自由度為具有自由度為n的的t分布的隨機變量分布的隨機變量T的數(shù)學期望和方差為的數(shù)學期望和方差為: E(T)=0; Var(T)=n/(n-2) , 對對n 2 t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2112222( )1,0. 22nnn mn mnnpuuuynmmm 3、 F(n,m)分

9、布分布定義定義3.3 如果隨機變量如果隨機變量F有概率密度有概率密度稱稱F服從自由度為服從自由度為(n, m )的的F分布，記做分布，記做 FF(n,m).其中其中n稱為第一自由度，稱為第一自由度，m稱為第二自由度稱為第二自由度.22圖形：圖形：m=10m=7m=3m=1F(6,m)的密度圖形，的密度圖形，m=1,3,7,1023F分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)22( ),( ),nm : : 如如果果定定理理3 3. .和和7 7獨獨立立，則則( ,)nFF n mm 1( , )mF m nFn241212,. 設是來自總體的樣本，是來自總體 的樣本如果總體和總體獨立，則來自這兩個總體的樣本也相互獨

10、立 于是nmXXXXY YYYXY1212,nmXXXYYY，是相互獨立的隨機變量.2521212122,(,),(,).,2nmX XXNY YYNn m : :設設是是來來自自總總體體的的樣樣本本，是是來來自自總總體體的的樣樣本本又又設設這這兩兩個個總總體體相相互互獨獨立立定定理理3 3. . 8 8，則則當當時時22(1,1)XYSSF nm 2211221111() ,111() ,1nnXinniiimmYimmiiiSXXXXnnSYYYYmm 其其中中 26由由定定證證明明： 理理3 3. .4 4222222(1)(1)(1),(1)XYnSmSnm 而而且且 和和 獨獨立立，

11、根根據(jù)據(jù)定定理理3 3. . 7 7得得到到22/(1)(1,1)/(1)XYSnF nmSm 2721212122,(,),(,).nmX XXNY YYN : :設設是是來來自自總總體體的的樣樣本本，是是來來自自總總體體的的樣樣本本又又設設這這兩兩個個總總體體相相互互補補充充定定理理獨獨立立，則則12() (2)11nmWXYt nmSnm 2222(1)(1),2XYWWWnSmSSSSnm 其其中中 282212(,)nmXYNnm 由由已已知知可可得得證證： 明明12()()(0,1)11nmXYZNnm 所所以以2222122212(1)(1)(1),(1),XYnSmSnm 且且

12、 與與 相相互互獨獨立立. .212(2)nm 則則292WWSS 其其中中 12123.5()()()/(2)1/1/nmWXYZnmSnm 由由定定理理得得 (2)t nm 222(1)(1)2XYWnSmSSnm 記記 123.4Z由由定定理理得得 ， ，獨獨立立. .30例例1 設設X 與與Y 相互獨立，相互獨立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與與 Y1, Y2 , Y16 分別是取自分別是取自 X 與與 Y 的簡單隨機樣本的簡單隨機樣本, 求統(tǒng)計量求統(tǒng)計量1292221216XXXYYY 所服從的分布所服從的分布解解129(0,9 16)XXX

13、N 1291() (0,1)34XXXN 311(0,1) ,1, 2,163iYNi 216211(16)3iiY 12921611341316iiXXXY (16)t1292221216XXXYYY 從而從而32例例2 2 設總體設總體(0,1)XN的樣本的樣本, ,22123456()()YXXXXXX 126,XXX為總體為總體 X X試確定常數(shù)試確定常數(shù)c c 使使cY cY 服從服從2分布分布. .解解123456(0,3),(0,3)XXXNXXXN 12345611,(0,1)33XXXXXXN 221234561133XXXXXX 故故因此因此13c 21(2)3Y 33二二

14、 抽樣分布的上分位數(shù)抽樣分布的上分位數(shù)34(0,1). 設設正正數(shù)數(shù)()P Zz (0,1),ZNz1 1. .，有有唯唯一一的的使使得得2( )nPn 22( )( ),nnn2 2. .，有有唯唯一一的的使使得得( )nP Ttn ( )( ),nTt ntn3 3. .，有有唯唯一一的的使使得得,( ,)n mP FFn m ,( ,)( ,),n mFF n mFn m4 4. .，有有唯唯一一的的使使得得3522,( )( )( ,)(0,1)( )( )( ,).zntnFn mNnt nF n m 稱稱，和和 分分別別為為，和和 分分布布的的定定義義3 3. . 4 4: :上上

15、分分位位數(shù)數(shù)214,( )( )( ,).CCzntnFn m 對對于于某某些些固固定定的的 ，可可以以查查書書后后的的表表得得到到，和和 上上分分位位數(shù)數(shù)是是 的的減減函函數(shù)數(shù). .36(0,1).N正態(tài)分布的上 分位數(shù)1-372( ).n分布的上 分位數(shù)1-380.0250.051.961.645zz ，例例：解解：()(1.96)P ZzP Z 1(1.96) 1(1.96)P Z 10.9750.025 0.0251.96z 因因此此39 根根據(jù)據(jù)定定義義3 3. . 4 4可可以以得得到到例例3 3如如下下結(jié)結(jié)論論()11()P ZzP Zz 221(1( )()nnPnnP 1()

16、1)nnPnP TTtnt ,( ,1(,)()1nmmnP FF nP FFmmn 40/2/2(), ()1,P ZzP Zz /2/2( ), ( )1nnP TtnP Ttn 證證明明：/2/2/2()()()P ZzP ZzP Zz /2/2 /2/2()1()1,P ZzP Zz (0,1), ( )nZNTt n 例例 對對4 4，有有412,( ),( ,)nn mn FF n m 例例 對對5 5，有有22/21/2( )( )nnPnPn ,/2,1/2( ,)( ,)n mn mP FFn mP FFn m 221/2/2( )( )1,nPnn 1/2,/2( ,)( ,)1n mP Fn mFFn m 42 1,1,F n mFn mFm nFn m 對對的的上上 分分位位數(shù)數(shù)，有有 例例6 6：( ,)FF n m對對，則則根根據(jù)據(jù)定定理理證證明明：3 3. . 7 7得得到到1/(, )FF m n(, )FF m n于于是是對對1 1/ /得得到到1(, )PFm nF