第四章《指數(shù)與對數(shù)》(中檔題)單元測試(一)高一數(shù)學指數(shù)與對數(shù)(蘇教版2019)

1、2020蘇教版(2019)必修一第四章指數(shù)與對數(shù)(基礎題)單元測試(二)班級：姓名：得分：一、選擇題(本大題共8小題，共40分)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2018年全年投入研發(fā) 資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12 %,則該公司全 年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：U1-12 A ().()5 , l.a0.H , 2 0.B0)A. 2020 年B. 2021 年C. 2022 年D. 2023 年【答案】C【分析】本題考査了函數(shù)模型的應用，記2018年為第1年，將第“年投入的資金表示出來，求出投入的研發(fā)資金開始超過

2、200 萬元的年數(shù)，再轉化成年份即可.【解答】解：記2018年為第1年，全年投入研發(fā)資金為130,則第2年投入研發(fā)資金為130 X 1.12,則第3年投入研發(fā)資金為130 X 1.122, 第n年投入研發(fā)資金為130 (1.12)n-1, n N* ,令 130 X (1.12)n1 200,即(n - IW2 Ig 特等價于? 一 1 窩嘗,解得 n 4.8,即5時，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.所以2022年會超過200萬元.設 =b = V C = V7 PI1J ()A a b cB. b a cC. c a bD c b a【答案】A【分析】本題考查了不等式的大小比較，

3、掌握幕函數(shù)的單調性是解題的關鍵，屬基礎題.【解答】解：10 = 33s = (35)7 = 2437,b】05 = (VS)IOS = 521 =(53)7 = 257 = (57)3,CIOS = (T15 =7IS = (75)3, b c3計總：lg82 + 9 3 =()【答案】D【分析】利用對數(shù)的運算性質可求得. 本題考査了對數(shù)的運算性質.屬基礎題.【解答】解：原式=IOg2 2 + 3? 3=扌+3諾弓+3_ 10T已lxlog34 = 1,貝j4x + 4x的值為()A. VB.0C. 3S【答案】A【分析】本題考査了指數(shù)與對數(shù)的運算，屬于基礎題.【解答】解：由xlog34 =

4、1 町得尤=log43.則 4” + 4一” = 413 + 4-3 界=3 + -=.若0, J = t則Ig評等于()A. 2B. 3C.4D. 5【答案】B【分析】本題主要考察指數(shù)與指數(shù)幕的運算和對數(shù)與對數(shù)的運算.【解答】解： a - 09設 logL=X,= )*=“.= 3已知b a If 且IOgafe + 1Ogda =fab = ba則 =()A. 2B. 2C. 3D. 3【答案】C【分析】本題考査對數(shù)與對數(shù)運算，考査解方程及方程組的能力，屬于基礎題，恰當?shù)膿Q底是解題的關鍵.【解答】解:. IOge& + IOgba = -,ab = batS利用換底公式和兩邊取對數(shù)得：嚴+

5、洱=blga = algb,Iga IgO 3又bal,解得2=3,即b = 3a,代入ab = ba中解得 = 3已知abO,給出下列命題：若辰一0=1，貝 IJa-b VI；若 a3 -b3 = 1,貝 Ik-b VI：若 ea - eb = 1,貝 IJa-b VI：若 Ina -Inb = Il 貝 IJa-b VI.其中真命題的個數(shù)是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】若血-K=,則 = K+.然后兩邊平方，再通過作差法即可得解：若a3-b3 = 1,則3-l = b3,然后利用立方差公式可知( - l)(2 + + l) = b3.再結合 b O以及不等式的性質即可判

6、斷：若e-eb = l,則eb = = 學=占+,再利用b 0,得出eb 1,從而求得eb的范用，進而判斷；取特姝值，a = e, b = l即可判斷.本題考査指對運算法則、立方差公式、不等式的性質等，考查學生的分析能力和運算能力，【解答】解:(I) Yfva- b = 1 則= b + 1，所以Q = b + 1 + 2b 所以a b = 1 + 2lb 1即錯誤：若a?滬=1則a -I =滬，即(a l)(a2 + a + 1) = b3因為 ab0所以 a2 b29 所以 a2 + a + 1 b29 所以 a 1 b ,即 a b 0,所以 1 VeafV 2 Ve,所以a bV即正確

7、：)取a = e. b = 1,滿足Ina Inb = 1但Q-bl,所以錯誤: 所以真命題有，log4(3 + 4b) = Iog2Vab* 則 + b的最小值是()A 6 + 23B. 7 + 23C 6 + 43D 7 + 43【答案】D【分析】本題考査對數(shù)的運算法則、基本不等式，利用對數(shù)的運算法則可得3 + 4b = ab,再利用基本不等式即可得出.【解答】解： 3a+4b 0 O a O, b O9 log4(3a + 46) = Iog2Vab log4(3a + 4b) = log4(ab) 3+ 4b = ab,所以 + 寸= + b = ( + b)g+f) = 7 + +

8、7 + 43當且僅當= 2b，Mb = 2r3 + 3, = 4 + 2逅時取等號.二、多選題(本大題共4小題，共20分)設log258 = ,下列判斷正確的有()A心 B? C. S =磊 D.S =島【答案】ACD【分析】本題考査對數(shù)的運算與對數(shù)函數(shù)的性質，利用對數(shù)的運算性質及對數(shù)函數(shù)的性質與換底公式判斷即可.【解答】解：仏=lo, = jog出 *kg竹=，故 A 正確.M* = Io騒,8 = 2 81g22 D b V lg6【答案】AC【分析】本題考査對數(shù)運算，考查指數(shù)式、對數(shù)式的互化、對數(shù)運算法則等基礎知識，考査運算 求解能力，是基礎題.推導出 = lg4, b = lg25t

9、從而 + b = lg4 + lg25 = IgIOO = 2,且Qb = 21g2 21g5 = 41g2 lg5 81g22 = 41 g2 lg4.【解答】解:V IOa = 4t Iob = 25, a = lg4, b = Ig25 + b = lg4 + lg25 = IgIOO = 2,故A 正確:b a = lg25 lg4 = lg lg6 故 BZ）錯誤：4ab = 21g2 21g5 = 41g2 lg5 81g22 = 41g2 lg4,故 C 正確,地喪釋放的能量E與地震箴級M之間的關系式為ZpE= 4.8 +1.5M,日本9.0級地 震釋放的能量為Ei, 28年汶川

10、8.0級地喪釋放能量為艮，2017年九寨溝7.0級地震 釋放的能量為民，下列說法正確的是（）A. El約為勵的32倍B. %約為殆的32倍C.民為殆的“倍D.內為殆的l倍【答案】ABD【分析】本題主要考查了對數(shù)的運用以及運算公式，屬于基礎題 熟練掌握對數(shù)的運算公式是解題的關鍵，把數(shù)拯代入已知解析式，再利用對數(shù)的運算性 質即可得出.【解答】解：因為地震釋放的能量E與地震喪級財之間的關系式為IgE = 4.8+ 1.5M,所以日本9.0級地震釋放的能量為El,則切El = 4.8 + 1.5 X 9.2008年汶川8.0級地璉釋放能量為民，則Sz = 4.8 + 1.5X8,2017年九寨溝7.0

11、級地箴釋放的能量為*3,則?如2 = 4.8 + 1.5 7, 所以IgrI - IgE2 = Ul = 1.5 X (9 一 8) = 1-5,故答=1015 32,故 A 正確:Ig - lg = Ig = 1.5 X (8 - 7) = 1.5,= IO1*5 32,故 B 正確;而IgEj-IgEs = 1.5 X (9 - 7) = 3 ,所以lg? =3,o3 = IOOO,故 D 正確.若2 = 3, 3y=4.則下列選項正確的是()A. y IB. X yC. xy = 2D. x + y 22【答案】BCD【分析】本題考査指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的互化以及運算，考查推理論證能力.由

12、題設知X = IOg23, y = log34,根據(jù)對數(shù)的性質及運算即可得結論.【解答】解：由題設知X = log23, y = log34,、8383M/Jlog34 V log33 = log23 log22 =尹所以yv? xy,即A錯誤，B正確.Xy = Iog23 X Iog34 = 21og23 log32 = 2,X +y= log23 + 22.lg3三、填空題(本大題共4小題，共20分)若m 1,且kgc+16kg的=8 ,則m4 + 的最小值為【答案】22 + 1【分析】本題考査對數(shù)的運算以及基本不等式求最值，利用對數(shù)運算得n? =n4 + = n-l +丄7+ 1,利用基

13、本不等式即可求最小值.n-ln-1【解答】解：由 TH 1. Iog”，+ KiIOgrI77- = 8 ,且 Iogr=詁嬴，可得 l !.可得n 1,即n 1 0,=n1+ 2 I 伍-I)X丄;+ I= 22 + 1 當且僅tn = 2 + l時等號成立， 所以沁+二的最小值V22 + 1.已知 O V%V1, Oy 0 lop, 由基本不等式得IOgfX * IOgiy (IOgXX+log 2-J二結合對數(shù)運算求解即可.【解答】解：由O VXVbOVyVb得Iog弐 0Ogiy ,(IOglX+logy 2og(y)l2-2J = - = 4，當 logx = IogiyHPX =y

14、 = 士 時等號成立，224所以Iog字 IOg吵的最大值為4.實數(shù)27+ 213log2-+Zp4 + 2Z5的值等于8【答案】2【分析】本題主要考查了對數(shù)的運算性質，分數(shù)指數(shù)幕的運算，關鍵是運算性質的理解與記憶, 屬于基礎題,把27寫成33,對數(shù)式的貞數(shù)右寫為2-3,然后運用指數(shù)式和對數(shù)式的運算 性質化簡求值.【解答】解：277 + 2l3 Iog2-+ lg4 + 2lgS = (33)? + 3 (-3) + 2(lg2 + 5) = 9-9 + 2 = 2.52,+lOglVl)(3 22)=.【答案】98【分析】本題考査對數(shù)的運算，根據(jù)對數(shù)的運算法則進行解答.【解答】解：評劉=(滬

15、唧)? = IO- = 10(),IOg-I(3 + 2z2) = IOg-1(vz2 + 1)2 = loSvT-I(- 1) ? = 一2所以原式=IOO-2 = 9&四、解答題(本大題共6小題，共70分)計算下列各式的值：IOg327 + lg25 + lg4 + log42;已知 + 1 = 5,求a2 + a2ai + a值.【分析】本題主要考查指數(shù)與指數(shù)幕的運算，屬于基礎題.由指數(shù)慕的運算法則直接計算即可；由a2+a2 = (a + a1)2-2 = 23,可得(a + a)2 = a + a1+2 = 7 由此可得答案.【解答】解：(I)IOg327 + lg25 + lg4 +

16、 log42 = 3 + IgIOO + = 3 + 2+ = y.(2) a + 1 = St Cr + CrZ = ( + a1)2 2 = 25 2 = 23(ah + a)2 = a + a1 + 2 = 5 + 2 = 7 _1 a + a 0. a 2 + a = yj7 計算： (I)(V2 X 3)6 + (2)8 一 4 (% 2 - 2 8025 _ (-2009)【分析】本題考査指數(shù)與指數(shù)幕的運算及對數(shù)與對數(shù)的運算，考查了學生的計算能力, 培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.根據(jù)題意利用指數(shù)與指數(shù)幕的運算法則即可求得結果；根據(jù)題意利用對數(shù)與對數(shù)的運算法則即可求得結果.【解

17、答】解：原式=4 X 27+8-7- 164- 1 = 108 + 2-7-2-1 = 100:(1)求值：(2-)o + 2-2(2-p-(O.Ol)o5;54(2)求值：41og23 - Iog2 Y - 5logs3 +log93:若+T = 3,求三竺三的值.【分析】本題主要考查指數(shù)與指數(shù)幕的運算性質和對數(shù)與對數(shù)式的運算.利用指數(shù)幕的運算即可求解：利用對數(shù)的運算性質即可求解：將已知條件平方可得：%2+-2 = 7,同理搖+ W = 5,代入即可得岀結果.【解答】解：原式=l+- = 原式=2-3 +扌=-扌；(3)由 x + x1 = 3 可得 +兀-2 = 72 +2 = fs 9

18、故原式=yfs計算下列各式：(2-)0 + 22.(2-)4一 (O.O1)0554Qog32 + log92) (log43 + log83) + Qog33)2 + lne 一 IgI 【分析】本題考査了描數(shù)與指數(shù)幕的運算，考査了對數(shù)與對數(shù)運算根據(jù)指數(shù)與指數(shù)幕的運算求解即可：首先利用換底公式將對數(shù)化為以10為底的對數(shù)，然后結合對數(shù)的運算與指數(shù)的運算求解即可【解答】解：CL)原式=1+X(9-2X(W)-O11 丄_丄6II61015(W=()(S)zh2Ig 36已知 U = R.集合 A = x0fB = x(x - )(% - a2 - 1) 0fa E R.若log2 = 0,求(C

19、(Ti?) -4 :(2)命題小XeAf命題q：xeB.若g是的必要條件，求“的取值范圍.【分析】本題考查集合的基本運算以及必要條件的運用，利用不等式的解法求出集合A， B是解決本題的關鍵，屬于一般題.根據(jù)不等式性質求出集合A，B,然后根據(jù)集介的基本運算解答即可；根據(jù)q是P的必要條件，建立條件關系即可求實數(shù)“的范國.【解答】解：(1)由已知可= W2x3,由 Iog2 = 0 得 = 1 即 3 = xlx 2,所以(njru = E2E 0恒成立，所以 a2 + la,所以3 = xa x a2 + 1,所以 3,解得a 22 S a 5 2，故“的取值范用是(-,-2U5, 2.牛頓冷卻規(guī)律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化