揚(yáng)州大學(xué)線性代數(shù)練習(xí)冊第三章答案(2)

1、線性代數(shù)練習(xí)冊第三章答案1、如果齊次線性方程組解：由克萊姆法則可得00有非零解,則2 0解得錯誤!未找到引用源2、設(shè)線性方程組有解，則a=-11解：A 21方程組有解3、線性方程組無解，則 01自 0解：A= 00120011104422 1方程組無解R A RA4、1若向量組10,22132 , 3 k線性相關(guān)，則k=_128解：1, 2, 3線性相關(guān)132k02 2k1錯誤！未找到引用源。2錯誤！未找到引用源。（2-2k）=0錯誤！未找到引用源。k=15、已知向量組 與向量組的秩3 ?122_ 33，244503= 0等價，則12解：R1 2 02 3 03 4 14 5 2R 3 ,06

2、、向量3 =_1R1201200-100-100-210010 -3 2002R 31,在基 1101200-100 0 10 0 0下的坐標(biāo)為解：設(shè)ab ab a c22b c a2a c b2b a c2b c a2a c b2二、單項(xiàng)選擇題1、設(shè)A是m n矩陣,則線性方程組AX=b有唯(C ).(A) R(A尸n (B) R(A尸m(C) R(A尸R(Ab尸nm=n解：: A為m1)線性相關(guān)的充要條件是其中(C ).(A)含有零向量(B)有兩個向量的對應(yīng)分量成比例(C)至少有一個向量是其余向量的線性組合(D)每一個向量是其余向量的線性組合解：充分性： 1,2, s (s1)線性相關(guān)k11

3、k2ks s =0（ k1,k2 ks 不全為 0）1 .假設(shè) ki0,貝Ui = -(ki1+k22 +kss)ki.至少有一個向量是其余向量的線性組合必要性 12 s (s1)至少有一個向量是其余向量的線性組合設(shè) ki 1 k2 2ks s=0,則 k1,k2 ks 不全為 01 2s線性相關(guān)，故選C5、向量空間V x X1,x2,0 X1,x2為實(shí)數(shù)，則向量空間V的維數(shù)是BA 1B 2C6、設(shè)1, 2為齊次線性方程組AXAX b的解，貝U CA2 12為AX 0的解C 12為AX 0的解解：1, 2為AX 0的解A 10A 20又 A 12 A 1 A 2012為AX 0的解三、計(jì)算題1

4、、a,b取何值時線性方程組 3X1 X25x1解的情況下求出一般解。D 40的解，1, 2為非齊次線性方程組B 12為AX b的解D 12為AX b的解x2x3x4x512x2x3x43x5a有解？在有 HYPERLINK l bookmark229 o Current Document 2x32x46x5 3 HYPERLINK l bookmark227 o Current Document 4x23x33x4x5biiiiiiiiiiiii0ii5232ii3a0i2263a0i22630i22630i226300000a5433ib0i2265b000002b方程組有解同解方程組為:X

5、iX25x53 6x5X32x3X42X4X3X4X5kik2 , k3XiX25k3 k13 6k3X3X4X52kikik22 k2,ki , k2, k32、當(dāng)a取何值時，線性方程組Xi 2x1XiX2 3x2 aX2X3ax33x33無解？有唯一解？有2無窮多解？在方程組有解時,求出它的解。0 i 2 ai解:0 i 2 a i當(dāng)A 0,即a 3且a 2時，由克來姆法則RA RA n 3此方程有唯一解基坐標(biāo)為1-111 - 2 +3基坐標(biāo)為1-111 - 2 +3 TOC o 1-5 h z 11110 1a 2 110 011a 3 HYPERLINK l bookmark219 o

6、 Current Document x11解得:X2X3當(dāng)a 2時，R A同解方程組為X15X3X3X1X2X35k4k, k R k31-13.求向量-1在基 11 ,2 =3221X24X313= 1下的坐標(biāo),1并將用當(dāng)a 3時，RA RA此方程無解、一 .一4*RA 2 3方程組有無窮解此基線性表示1-1131-1131-1131012131-1040-4010-1010-1211203-1-403-1400-1-11001010-100114、設(shè)向量組1X304、設(shè)向量組1X301031-13_ 0_-12 一/ ，3 =，4 =217242140,求向量組的秩和一個極大無關(guān)組,并將其

7、余向量用該極大線性無關(guān)組表示解:1-1240312307141-120100003123312100-410000120312010-40100001003100101010000100310000104為極大無關(guān)組,2+05、求線性方程組X1 3x1 X2 5x1X2 2x2 2x 34x2X3 X4X32x43x3X5X4,X4 6X5 3x43x523X52 2的通解。1211117100151621132010262312216 i230010004331120000001解：令A(yù)= 305A =R A =35方程組有無窮多解X5為自由變量，同解方程組為X1X21623X35X5X46

8、x5 2x4 0-16230得特解0000相應(yīng)導(dǎo)出組方程的同解方程組為X1X25X56X5X4 2X4A0A01-20105-6001方程組的通解為X=0 k12( k1,k2 R)6.設(shè)線性方程組二b有三個向量R(A)=3 ,若341+ 2= 561234,求該方程組的通解,解:3為AX=b的三個解向量AX=b的另一個解4 =一322523-1201214是AX=0的一個非零解123 , k R4-12通解為x k 0121四、證明題證明線性方1、設(shè)A是n階方陣，已知線性方程組 Ax=0有非零解,程組Ax=0也有非零解 證：線性方程組AX 0有非零解又 A2 A20又 A2 A20線性方程組

9、A2X 0也有非零解得證2.設(shè)1, 2, 3是齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，證明2, 2 3, 13也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系。 TOC o 1-5 h z 證：設(shè) kl 12 k2 2 3 k3 13 0即 1 ( k1 k3 )+ 2 k1 k2)+ 3 ( k2 k3 ) = 02, 3為Ax 0的基礎(chǔ)解系2, 3線性無關(guān)k1 k30k1 k2 0 k1 k2 k3 0k2 k3012, 23, 13為極大線性無關(guān)組得證3、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，證明它有唯一解的充要條件是它的導(dǎo)出組Ax=0只有零解證：充分性：Ax b有唯一解，由克萊姆法則得|A 0Ax 0有唯一零解必要

10、性：導(dǎo)出組Ax 0只有零解A 0Ax b有唯一解得證4、設(shè)丫 0為非齊次線性方程組Ax=b的一個解，刀1,，是 其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，證明丫 八刀1,刀2刀丫線性無關(guān)。解： 1,0證：設(shè)k, ki, k2kr使k o k11k22kr r 0(1)23 r是AX=0的一個基礎(chǔ)解系i 0(i 1,2 r)式左乘，得k 0 k11k22kr r 0k1 1 k2 2kr r 02 r是AX=0的一個基礎(chǔ)解系kk2kr 0證得.線性無關(guān)5、設(shè)12 n,證明：向量組等價1, 2 n 與由題設(shè)知向量組m可由向量組m- m 1 ,即向量組線性表示，顯然，1m可由1、m線性表示所以，向量組m與向量

11、組m等價3，4，(III)6、已知向量組（I）如果各向量組的秩分別為R=3,R(II)=4,證明,向量組54的秩為4.證：設(shè)卜1永2永3永4使得卜11+k22 + k33+卜454 =0k11 k22k33 k45 k4 40 TOC o 1-5 h z 1, 2, 3向量組的秩為3 1231 2 2線性無關(guān)又1, 2, 3, 4的秩為41 2 3 4線性相關(guān)4可以由 2 3線性表示且表示法唯一 4123設(shè) 4 = m 1 + m2 2+m3 3k1 m11+ k2 m22+ k3 m33 + k，5=0又 1 2 3 5向量組的秩為4 2 3 5線性無關(guān) 1235k1 m10, k2 m20

12、k3 m3 OK 0k1 k2 k3 k402, 3, 5- 4線性無關(guān)。秩為4。線性代數(shù)練習(xí)冊第三章答案B卷一、填空題x1 X22X30.齊次線性程X1 x2 x3 0 的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣X1 X2 X3 0B 0使 O,則，|.由題意得1 TOC o 1-5 h z X10 0設(shè) B X200X300令 X1 1 , X21 , X3 0100則1000 0 002、設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且 A的秩為n-1,則線性方程組o的通解為11 解：通解 k (k R)1a21a12a22a1 na2nX1設(shè)X2a(n 1)1a(n 1)2a(n 1)nXn0000 x4 x

13、1 a4x4 x1 a4a11x1a12 x2a1nxn0a21 x1a22x2a2nxn0an1x1an2x2ann xn0R n 1 ， A 為 n 階矩陣僅有一個自由未知量，取x1 為自由未知量令 x11矩陣 A 的各行元素之和均為零x1 x2xn 111k (k R)1a1b1a1b2a1bn3設(shè)a2b1A 21a2b2a2bn 其中ai0 ，bi0 i 1,2, ,n ，則矩anb1anb2anbnA 的秩 R(A)= 解： R 1a1b1a2b2a1bna1b1a2b2a1bna2b1a2b2a2bn000anb1anb2anbn000ai 0 ， bi 0 i 1,2, ,nx1

14、 x2a14若線性方程組x2 x3 a2有解，則常數(shù)ai,a2,a3,a4應(yīng)滿足條件x3 x4a3解：ai a? a3 a40110 0 ai0 110 a?110 00 110a1a20 0 11 a310 0 1 a40 0 11a3a2a3a4方程組有解R R 3a1 a2 a3 a4 05.設(shè)齊次線性方程組為 X 2x2 3x3nxn 0則它的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為n 1解：X1 2x2 3x3nxn 0的系數(shù)矩陣的秩為1其基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為n 1二.選擇題.設(shè)A是n階矩陣，如果R（A） n,則（C ）A是任意一個行（列）向量都是其余各行（列）向量的線性組合A的各行向量中至少有一

15、個為零向量A的各行（列）向量組中必有一個行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合A的行（列）向量組中必有兩個行（列）向量對應(yīng)元素成比例解析：R（A） n, A 0,矩陣線性相關(guān)根據(jù)定理3-5可知，向量組中至少有一個向量是其余向量的線1 , 2 , m 1,線性表示，即選B1 , 2 , m 1,線性表示，即選B性組合，選C2.n元線性方程組AX b的增廣矩陣的秩小于n,那么AX b1、有無窮多組解（B）有唯一解(C)無解（D）不確定解析:當(dāng)R(A)R(A)n時，有無窮多組解，選項(xiàng) A有可能對當(dāng)R(A)R（A）時，方程組無解，選項(xiàng) C有可能對AX b的解不確定，選D3.設(shè)向量可由向量組1,2,

16、 m線性表示，但不能由1,2,m1線性表示，記向量組（II）m不能由（I）線性表示，也不能由（II）線性表示(B)m不能由（I）線性表示，但可由（II）線性表示(C)m可由（I）線性表示，也可由（II）線性表示(D)m可由（I）線性表示，但不可由（II）線性表示解析：向量可由向量組2,m線性表示,可設(shè)KK,km使得假設(shè)km 0 ,則有這與不能由1,2)m 1相矛盾,m不能由1,kmm 1線性表.設(shè)n元齊次線性方程組 AX 0的通解為k(1,2, , n)T,則矩陣A的秩為( B )(A) r(A) 1(B) r(A) n 1(C) r(A) n(D)以上都不對解析：由題可知，基礎(chǔ)解系所含向量個

17、數(shù)為 1，R(A) n 1選B.設(shè)矩陣a的伴隨矩陣a* 。，若1, 2, 3 4是非齊次線性方程組 34AX b 的互不相等 的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組 AX 0 的基礎(chǔ)解系( A ).(A)僅含一個非零解向量(B)含有兩個線性無關(guān)的解向量(C)含有三個線性無關(guān)的解向量(D)不存在解析： 證畢A* O ， r ( A ) 1 ，又 AX b 有互不相等的解， 有無窮多解r (A) n ，故由矩陣及其伴隨矩陣的秩的關(guān)系得 r(A) 1 ，r(A) n-1 . AX 0的基礎(chǔ)解系僅含有一個非零解向量。三、求向量組的極大無關(guān)組116,4,1， 1,2 , 21,0,2,3, 4 ,6140解： (

18、1T ,T2,3TT4)1213243 1,4, 9, 16,22 , 47,1,0, 1,317419016122301995101260305251131610210101500150015015 26 00 210 10150101000 0100 0000 001， 2 ， 4 為極大無關(guān)組秩A 301785006300073501526002101015015 26 00001000000002 1 1, 1,2,42 0,3,1,2 , 33,0,7,144 1, 1,2,0 , 5 2,1,5,6解A 1234510311301217210310330011002244 2 14

19、 0 TOC o 1-5 h z 103101100000000410310110000100001030011000010000RA 3RA 3（1）解：無窮解1 2 4 為向量組的極大無關(guān)組四，求下列方程組的通解，用基礎(chǔ)解系表示3x1 x2 2x3 4x4 x5 0 x1 x2 2x3 3x4 x5 02x17x13x22x26x34x39x48x4x5x5312711322264439811411000001000200100122 ，秩（ A ）40=3n時，向量的個數(shù)大于維數(shù)s線性相關(guān)，又 ssn線性無關(guān)2,是極大無關(guān)組s =n當(dāng)sn時， 1s1 n為n個兩兩不相等的向量線性無關(guān)3可由1,2,3 線性表示，求求a3可由1,2,3 線性表示，求求a六、設(shè)礎(chǔ)解系，1，2解：=s是線性方程組AX=bk1=0的解,2，12是其到出組的一個基證明t 線性無關(guān)。是其出組的基礎(chǔ)解系tk2kt t =0k1k22 kt=01，t 線性無關(guān)tt0 成立1(1)2(2)t(t)t)線性無關(guān)t0線性無關(guān)。t七、 已知向量組0=111b1與030，193 = 6 有相同的秩，且7b 的值。解：A=361091220R(A)=2的秩也為可以由3已知3表不b- =03ab=3b120*0b=5a=15(1)a ,b取何值時,能由4唯一線性表示(2)a ,b取何值時，不能由3,4唯一線性