數(shù)字信號處理離散信號處理：第5章 線性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析

1、第5章 線性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析5.0引言5.1 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)5.2用線性常系數(shù)差分方程表征系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)5.3有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應(yīng)5.4幅度和相位之間的關(guān)系5.5全通系統(tǒng)第5章 線性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析5.6 最小相位系統(tǒng)5.7 廣義線性相位的線性系統(tǒng)5.8 小結(jié)5.0 引言LTI的離散系統(tǒng)可以用下述方法表示：差分方程：變換表示： 方便分析 能夠反映頻域特性 先進(jìn)行z變換分析， 然后利用下式變換到頻域5.1 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)表示為極坐標(biāo)：其中： 幅度響應(yīng)（增益） 相位響應(yīng)（相移）如果上述增益和相移是我們不需要的，則稱為幅度、相位失真。一、DF按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶

2、通、帶阻和全通，其特點(diǎn)為： （1）頻率變量以數(shù)字頻率 表示， ， 為模擬角頻率，T為抽樣時(shí)間間隔； （2）以數(shù)字抽樣頻率 為周期； （3）頻率特性只限于 范圍，這是因?yàn)橐廊佣ɡ?，?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。5.1.1 理想頻率選擇性濾波器0低通高通帶通00帶阻全通00二、DF的性能要求（低通為例）0通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶阻帶過渡帶 平滑過渡三、DF頻響的三個(gè)參量 1、幅度平方響應(yīng) 2、相位響應(yīng)3、群延遲它是表示每個(gè)頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，就是表示每個(gè)頻率分量的延遲相同。5.1.2 相位失真和延遲線性相位失真，帶來信號的輸出延時(shí)。此類失真可以忍受。對延時(shí)我們可以將其他信號

3、也延時(shí)，從而達(dá)到系統(tǒng)同步。延時(shí)的多少（群延遲）：群延遲是衡量相位線性度的標(biāo)準(zhǔn)。例5.1 衰減和群延遲的效果對于任何一個(gè)非線性的曲線，主要分割的足夠小，每一段均可認(rèn)為是線性的。因此，對于非線性相位的系統(tǒng)，可以認(rèn)為在每一小段內(nèi)都是線性的，每一小段對應(yīng)于一個(gè)窄帶信號。即對為各窄帶信號的延遲都是相同的，每個(gè)窄帶信號內(nèi)包含若干頻率分量，這些頻率分量定義為一組（一群）信號。即對這一群信號的延遲是相同的，因此定義為群延遲。5.2用線性常系數(shù)差分方程表征系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)差分方程Z變換系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行因式分解：M個(gè)零點(diǎn)：M個(gè)極點(diǎn)：0N個(gè)零點(diǎn)：0N個(gè)極點(diǎn)：零點(diǎn)：M+N個(gè)極點(diǎn)：M+N個(gè)例5.2（p201）5.2.1 系統(tǒng)

4、的穩(wěn)定性因果性穩(wěn)定性:收斂域包含單位圓；因果性：右邊序列（收斂域）；例題5.3 （p202）5.2.2逆系統(tǒng)系統(tǒng)與其逆系統(tǒng)級聯(lián)后，總的系統(tǒng)響應(yīng)為1。即 逆系統(tǒng)的幅度響應(yīng)為原來系統(tǒng)的倒數(shù)（故對數(shù)幅度為原來的負(fù)值），相位響應(yīng)和群延遲為原來的負(fù)值。5.2.2逆系統(tǒng)不是所有的逆系統(tǒng)都存在，如低通濾波器不存在逆系統(tǒng)。因無法恢復(fù)幅度響應(yīng)為零的頻率分量。逆系統(tǒng)和原系統(tǒng)零極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)是原來的極點(diǎn)；極點(diǎn)是原來的零點(diǎn)。問題：逆系統(tǒng)的收斂域，（因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)），逆系統(tǒng)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)=原系統(tǒng)的零點(diǎn)在單位圓內(nèi)。這樣的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。5.2.3有理函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)部分是展開其時(shí)域表示5

5、.2.3有理函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)其時(shí)域表示根據(jù)上式可以將系統(tǒng)分為兩類：FIR: h（n）是有限長的（只有前面的有限個(gè)累加項(xiàng)），沒有非零極點(diǎn)。（例5.6，P204）IIR： h（n）是無限長的，有非零極點(diǎn)。 （例5.7，P205）5.3 有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應(yīng)對穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)幅度響應(yīng)幅度平方：對數(shù)表示： 零點(diǎn) 極點(diǎn)相位響應(yīng)：群延遲：相位響應(yīng)的主值記作： 為整數(shù)。相位響應(yīng)的主值的計(jì)算調(diào)整到主值范圍內(nèi)另一種求法：群延遲的求法由連續(xù)相位求解除去主值跳變值，也可用主值或不確定相位求解：5.3.1 單個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)的頻率響應(yīng)考慮一個(gè)最簡單系統(tǒng)（單個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)）。幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)對數(shù)表示主值相位群延遲周期函數(shù)

6、： 時(shí)：幅度達(dá)到極小值；相位為零；群延遲極?。?時(shí)：幅度達(dá)到極大值圖解幅度相位 時(shí)：幅度達(dá)到極小值；相位為零；群延遲極??； 時(shí)：幅度達(dá)到極大值響應(yīng)和r的關(guān)系r=1時(shí)幅度響應(yīng)可以為0；相位出現(xiàn)跳變。群延遲極值。上面分析的是零點(diǎn)的例子。對于極點(diǎn)，是零點(diǎn)的倒數(shù)。幅度的對數(shù)表示，相位，群延遲均是零點(diǎn)的負(fù)值。幅度: 時(shí)，極小。 時(shí)，極大。r=1時(shí)，幅度可以達(dá)到無窮大。5.4 幅度和相位之間的關(guān)系一般系統(tǒng)，幅度和相位之間沒有制約。對于有理函數(shù)系統(tǒng)，幅度和相位之間有制約。以復(fù)數(shù)為例，給定復(fù)數(shù)的幅度和相位，復(fù)數(shù)確定。復(fù)數(shù)本身的幅度和相位之間沒有聯(lián)系。除非加上額外的限制，才能制約幅度和相位。例如加上系統(tǒng)零極點(diǎn)選

7、擇的限制。5.4 幅度和相位之間的關(guān)系例如： 當(dāng)幅度特性和零極點(diǎn)個(gè)數(shù)已知，則其相位特性僅有有限個(gè)選擇。 當(dāng)相位特性和零極點(diǎn)個(gè)數(shù)已知，則除去幅度加權(quán)因子，其幅度特性僅有有限個(gè)選擇。對于最小相位系統(tǒng)，幅度特性決定相位特性；相位特性決定除去加權(quán)因子外的幅度特性。首先研究幅度特性任何給定的系統(tǒng)總有另一個(gè)系統(tǒng)的幅度響應(yīng)與其相同。因?yàn)椋簔變換的關(guān)系零點(diǎn)：極點(diǎn)：例5.11（p220）例5.12（p221）如果不限制系數(shù)為實(shí)數(shù)，則選擇更多。零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)不加限制，系統(tǒng)則會(huì)無限多。全通因子添加一個(gè)全通因子,增加一個(gè)極點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)。零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)不加限制，系統(tǒng)則會(huì)無限多。5.5 全通系統(tǒng)全通系統(tǒng) 形如：分子、分母共軛

8、，其模值相等。故幅度響應(yīng)為1。全通系統(tǒng)： 的系統(tǒng)。零點(diǎn)：極點(diǎn)：零點(diǎn)、極點(diǎn)共軛倒數(shù)一般形式系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為實(shí)數(shù)，則零點(diǎn)（極點(diǎn)）共軛出現(xiàn)零點(diǎn)、極點(diǎn)共額倒數(shù)最簡單全通系統(tǒng)的響應(yīng)幅度響應(yīng)為1；有3個(gè)向量，相位響應(yīng)：因果全通系統(tǒng)，連續(xù)相位曲線在 非正。相位非正性證明穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，rM,時(shí)等于n0。所以序列長度為M+1. M又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，所以有4種線性相位FIR DF，如下所述。n0123456789101、M為偶數(shù)的對稱例如 M=10，對稱中心為I類FIR線性相位系統(tǒng)組合例如 M=9，對稱中心為n01234567892、M為奇數(shù)時(shí)的偶對稱I I類FIR線性相位系統(tǒng)組合例如，M=10，對稱中

9、心為 n0123456789103、M為偶數(shù)時(shí)的奇對稱I I I類FIR線性相位系統(tǒng)例如，M=9，對稱中心為4.5， 4、M為奇數(shù)時(shí)的奇對稱n0123456789I V類FIR線性相位系統(tǒng)例5.17M=4,a=2例5.18M=5,a=2.5例5.19M=2,a=1例5.20M=1,a=1/2FIR線性相位系統(tǒng)零點(diǎn)的位置I、 I I類系統(tǒng)零點(diǎn)的分布規(guī)律如果 零點(diǎn)則 也是零點(diǎn)所以，如果 是零點(diǎn)，則 也一定是H（Z） 的零點(diǎn)，h（n）為實(shí)數(shù)時(shí)，H（Z）的零點(diǎn)必成共軛對出現(xiàn)，即 也一定是H（Z）的零點(diǎn)， 也一定是H（Z）的零點(diǎn)。2、零點(diǎn)的位置（1） 既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則零 點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對，10(2) 不在實(shí)軸上，但在單位圓上，共軛對的倒數(shù)就是它們本身，如01（3） 在實(shí)軸上，不在單位圓上，實(shí)數(shù)零點(diǎn)，沒復(fù)共軛；只有倒數(shù)。例如，01（4） 既在實(shí)軸上也在單位圓上。此時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，且有兩種可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。Z=-1處的零點(diǎn)比較特別因?yàn)閯tM為偶數(shù) M為奇數(shù)故所以 可以不是 1必然為其零點(diǎn)I I I 、 I V類系統(tǒng)零點(diǎn)的分布規(guī)律Z=-1、1處的零點(diǎn)比較特別 Z=1因?yàn)閯t故所以 1為其零點(diǎn)Z=-1因?yàn)閯tM為偶數(shù) M為奇數(shù)故所以1必然為其零點(diǎn) 可以不是典型的零點(diǎn)分布Z1，對應(yīng)頻域的即，高頻的幅度響應(yīng)為0，因此不能作為高通