2017年秋季班數(shù)學(xué)-直線與圓錐曲線綜合問題

1、2017年秋季班數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線綜合1若直線mxny4與O：x2y24沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的交點個數(shù)是()A至多為1B2 C1 D02直線yeq f(b,a)x3與雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的交點個數(shù)是()A1 B2 C1或2 D03已知橢圓C的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,m2)1(m0)，如果直線yeq f(r(2),2)x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F，則m的值為()A2 B2eq r(2) C8 D2eq r(3)4(2017麗水一模)斜率為1的直線l與橢圓eq

2、 f(x2,4)y21相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A2 B.eq f(4r(5),5) C.eq f(4r(10),5) D.eq f(8r(10),5)5過拋物線y24x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們到直線x2的距離之和等于5，則這樣的直線()A有且僅有一條 B有且僅有兩條C有無窮多條 D不存在6(2017大連名校聯(lián)考)已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓eq f(x2,5)eq f(y2,4)1的右焦點F1，與橢圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為_7(2017安順月考)在拋物線yx2上關(guān)于直線yx3對稱的兩點M，N的坐標(biāo)分別為_8(2017江蘇鹽城模擬)設(shè)橢圓eq f(

3、x2,m2)eq f(y2,n2)1(m0，n0)的右焦點與拋物線y28x的焦點相同，離心率為eq f(1,2)，則此橢圓的短軸長為_9設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左，右焦點，過F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求E的離心率；(2)設(shè)點P(0，1)滿足|PA|PB|，求E的方程10(2017山西山大附中模擬)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形(1)求橢圓方程；(

4、2)若C，D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MDCD，連接CM，交橢圓于點P，證明：eq o(OM,sup6()eq o(OP,sup6()為定值11(2017大連雙基測試)過拋物線y22px(p0)焦點F的直線l與拋物線交于B，C兩點，l與拋物線準線交于點A，且|AF|6，eq o(AF,sup6()2eq o(FB,sup6()，則|BC|等于()A.eq f(9,2) B6 C.eq f(13,2) D812(2017綿陽中學(xué)月考)已知拋物線E：y22px(p0)經(jīng)過圓F：x2y22x4y40的圓心，則拋物線E的準線與圓F相交所得的弦長為_13(2017西安中學(xué)模擬)如圖，過拋物線

5、yeq f(1,4)x2的焦點F的直線l與拋物線和圓x2(y1)21交于A，B，C，D四點，則eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()_14設(shè)拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為eq r(3)，那么|PF|_15(2017湖北八校4月聯(lián)考)已知拋物線x22py上點P處的切線方程為xy10.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)和B(x2，y2)為拋物線上的兩個動點，其中y1y2且y1y24，線段AB的垂直平分線l與y軸交于點C，求ABC面積的最大值1(2016四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y22px(p

6、0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A.eq f(r(3),3)B.eq f(2,3) C.eq f(r(2),2) D12(2017臺州模擬)已知P為雙曲線C：eq f(x2,9)eq f(y2,16)1上的點，點M滿足|eq o(OM,sup6()|1，且eq o(OM,sup6()eq o(PM,sup6()0，則當(dāng)|eq o(PM,sup6()|取得最小值時點P到雙曲線C的漸近線的距離為()A.eq f(9,5) B.eq f(12,5) C4 D53(2017江西南昌調(diào)研)已知圓O1：(x2)2y216和圓O2：x2y2r2(0r2

7、)，動圓M與圓O1，圓O2都相切，動圓圓心M的軌跡為兩個橢圓，這兩個橢圓的離心率分別為e1，e2(e1e2)，則e12e2的最小值是()A.eq f(32r(2),4) B.eq f(3,2) C.eq r(2) D.eq f(3,8)4(2017綿陽模擬)若點O和點F分別為橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,8)1的中點和左焦點，點P為橢圓上的任一點，則eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最小值為_5(2017浙江溫州一模)已知斜率為eq f(1,2)的直線l與拋物線y22px(p0)交于x軸上方的不同兩點A，B，記直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則k1k2的

8、取值范圍是_6(2016贛江模擬)如圖所示，設(shè)F(c，0)是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦點，直線l：xeq f(a2,c)與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求橢圓的標(biāo)準方程；(2)過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A，B.證明：AFMBFN；求ABF面積的最大值7已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦點為F2(3，0)，離心率為e.(1)若eeq f(r(3),2)，求橢圓的方程；(2)設(shè)直線ykx與橢圓相交于A，B兩點，若eq o(AF2,sup6()eq o(BF2,sup6

9、()0，且eq f(r(2),2)eeq f(r(3),2)，求k的取值范圍8(2017威海模擬)已知圓x2y21過橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點，直線l：ykxm與圓x2y21相切，與橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1相交于A，B兩點記eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，且eq f(2,3)eq f(3,4).(1)求橢圓的方程；(2)求k的取值范圍；(3)求OAB的面積S的取值范圍9(2017湖北黃岡模擬)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)與雙曲線eq f

10、(x2,3)y21的離心率互為倒數(shù)，且直線xy20經(jīng)過橢圓的右頂點(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；(2)設(shè)不過原點O的直線與橢圓C交于M，N兩點，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，求OMN面積的取值范圍1(2017衡水模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點，過橢圓右焦點F2且斜率為k(k0)的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，EFF1的周長為8，且橢圓C與圓x2y23相切(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x4于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k，求證：kk為定值2(2015四川

11、雅安重點中學(xué)1月月考)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩焦點在x軸上，且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形(1)求橢圓的方程；(2)過點Seq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)的動直線l交橢圓C于A，B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點Q，使得以線段AB為直徑的圓恒過點Q？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由3(2017河南鄭州二模)已知曲線C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲線C過Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)，f(r(2),2)，Beq blc(rc)(a

12、vs4alco1(f(r(6),6)，f(r(3),3)兩點，O為坐標(biāo)原點(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上的兩點，且OMON，求證：直線MN恒與一個定圓相切4(2017河南洛陽模擬)設(shè)M是焦距為2的橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上一點，A，B是橢圓E的左、右頂點，直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，且k1k2eq f(1,2).(1)求橢圓E的方程；(2)已知橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上點N(x0，y0)處的切線方程為eq f(x0 x,a2)eq f(y0y,b2)1.若點P是

13、直線x2上任意一點，從P向橢圓E作切線，切點分別為C，D，求證：直線CD恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)5(2017湖北黃岡二模)如圖，已知點F1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq f(x2,2)y21的兩個焦點，橢圓C2：eq f(x2,2)y2經(jīng)過點F1，F(xiàn)2，點P是橢圓C2上異于F1，F(xiàn)2的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓C1的交點分別是A，B和C，D.設(shè)AB，CD的斜率分別為k，k.(1)求證：kk為定值；(2)求|AB|CD|的最大值6(2016豫北名校4月聯(lián)考)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(6),3)，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長

14、為半徑的圓與直線2xeq r(2)y60相切(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；(2)已知點A，B為動直線yk(x2)(k0)與橢圓C的兩個交點，問在x軸上是否存在定點E，使得eq o(EA,sup6()2eq o(EA,sup6()eq o(AB,sup6()為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由2017年秋季班數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線綜合1若直線mxny4與O：x2y24沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的交點個數(shù)是()A至多為1B2 C1 D0【解析】 由題意知：eq f(4,r(m2n2)2，即eq r(m2n2)5.滿足題意的直線

15、不存在【答案】 D6(2017大連名校聯(lián)考)已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓eq f(x2,5)eq f(y2,4)1的右焦點F1，與橢圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為_【解析】 由題意知，橢圓的右焦點F1的坐標(biāo)為(1，0)，直線AB的方程為y2(x1)由方程組eq blc(avs4alco1(y2（x1），,f(x2,5)f(y2,4)1)消去y，整理得3x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2eq f(5,3)，x1x20.則|AB|eq r(（x1x2）2（y1y2）2)eq r(（1k2）（x1x2）24x1x2) eq r(（122）blcrc(av

16、s4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)sup12(2)40)eq f(5r(5),3).【答案】 eq f(5r(5),3)7(2017安順月考)在拋物線yx2上關(guān)于直線yx3對稱的兩點M，N的坐標(biāo)分別為_【解析】 設(shè)直線MN的方程為yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，beq f(1,4).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x21，eq f(y1y2,2)eq f(x1x2,2)beq f(1,2)b，由eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)b)在直線yx3上，即eq f(1,2)beq f(1,2)3，解得b2

17、，聯(lián)立得eq blc(avs4alco1(yx2，,yx2，)解得eq blc(avs4alco1(x12，,y14，)eq blc(avs4alco1(x21，,y21.)【答案】 (2，4)，(1，1)8(2017江蘇鹽城模擬)設(shè)橢圓eq f(x2,m2)eq f(y2,n2)1(m0，n0)的右焦點與拋物線y28x的焦點相同，離心率為eq f(1,2)，則此橢圓的短軸長為_【解析】 由題意可得，拋物線y28x的焦點為(2，0)，c2.橢圓的離心率為eq f(1,2)，a4，beq r(a2c2)2eq r(3)，即n2eq r(3)，橢圓的短軸長為4eq r(3).【答案】 4eq r(

18、3)9設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左，右焦點，過F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求E的離心率；(2)設(shè)點P(0，1)滿足|PA|PB|，求E的方程【解析】 (1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|eq f(4,3)a，l的方程為yxc，其中ceq r(a2b2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組eq blc(avs4alco1(yxc，,f(x2,a2)f(y2,b2)1，)消去y，化簡得(a2b

19、2)x22a2cxa2(c2b2)0，則x1x2eq f(2a2c,a2b2)，x1x2eq f(a2（c2b2）,a2b2).因為直線AB的斜率為1，所以|AB|eq r(2)|x2x1|eq r(2（x1x2）24x1x2)，即eq f(4,3)aeq f(4ab2,a2b2)，故a22b2，所以E的離心率eeq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq f(r(2),2).(2)設(shè)AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0eq f(x1x2,2)eq f(a2c,a2b2)eq f(2c,3)，y0 x0ceq f(c,3).由|PA|PB|，得kPN1，即eq f(y01,x0

20、)1，得c3，從而a3eq r(2)，b3.故橢圓E的方程為eq f(x2,18)eq f(y2,9)1.10(2017山西山大附中模擬)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形(1)求橢圓方程；(2)若C，D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MDCD，連接CM，交橢圓于點P，證明：eq o(OM,sup6()eq o(OP,sup6()為定值【解析】 (1)由題意知a2，bc，a2b2c2，b22.橢圓方程為eq f(x2,4)eq f(y2,2)1.(2)證明 由題意知C(

21、2，0)，D(2，0)，設(shè)M(2，y0)，P(x1，y1)，則eq o(OP,sup6()(x1，y1)，eq o(OM,sup6()(2，y0)直線CM：eq f(x2,4)eq f(yy0,y0)，即yeq f(y0,4)xeq f(1,2)y0.代入橢圓x22y24，得eq blc(rc)(avs4alco1(1f(yeq oal(2,0),8)x2eq f(1,2)yeq oal(2,0)xeq f(1,2)yeq oal(2,0)40.x1(2)eq f(4（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2,0)8)，x1eq f(2（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2

22、,0)8)，y1eq f(8y0,yeq oal(2,0)8).eq o(OP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2,0)8)，f(8y0,yeq oal(2,0)8).eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()eq f(4（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2,0)8)eq f(8yeq oal(2,0),yeq oal(2,0)8)eq f(4yeq oal(2,0)32,yeq oal(2,0)8)4(定值)11(2017大連雙基測試)過拋物線y22px(p0)焦點F的直線l與拋物線交于B

23、，C兩點，l與拋物線準線交于點A，且|AF|6，eq o(AF,sup6()2eq o(FB,sup6()，則|BC|等于()A.eq f(9,2) B6 C.eq f(13,2) D8【解析】 不妨設(shè)直線l的傾斜角為，其中0eq f(,2)，點B(x1，y1)，C(x2，y2)，則點B在x軸的上方，過點B作該拋物線的準線的垂線，垂足為B1，于是有|BF|BB1|3，eq f(|AF|,|AB|)eq f(p,|BB1|)，由此得p2，拋物線方程是y24x，焦點F(1，0)，cos eq f(p,|AF|)eq f(p,6)eq f(2,6)eq f(1,3)，sin eq r(1cos2)e

24、q f(2r(2),3)，tan eq f(sin ,cos )2eq r(2)，直線l：y2eq r(2)(x1)由eq blc(avs4alco1(y2r(2)（x1），,y24x)消去y，得2x25x20，x1x2eq f(5,2)，|BC|x1x2peq f(5,2)2eq f(9,2)，選A.【答案】 A12(2017綿陽中學(xué)月考)已知拋物線E：y22px(p0)經(jīng)過圓F：x2y22x4y40的圓心，則拋物線E的準線與圓F相交所得的弦長為_【解析】 圓的標(biāo)準方程為(x1)2(y2)232，圓心為F(1，2)代入拋物線方程可得p2，所以其準線方程為x1.圓心到直線x1的距離d2，所以拋

25、物線E的準線與圓F相交所得的弦長為2eq r(3222)2eq r(5).【答案】 2eq r(5)13(2017西安中學(xué)模擬)如圖，過拋物線yeq f(1,4)x2的焦點F的直線l與拋物線和圓x2(y1)21交于A，B，C，D四點，則eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()_【解析】 不妨設(shè)直線AB的方程為y1，聯(lián)立eq blc(avs4alco1(y1，,yf(1,4)x2，)解得x2，則A(2，1)，D(2，1)，因為B(1，1)，C(1，1)，所以eq o(AB,sup6()(1，0)，eq o(DC,sup6()(1，0)，所以eq o(AB,sup6()eq o(D

26、C,sup6()1.【答案】 114設(shè)拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為eq r(3)，那么|PF|_【解析】 直線AF的方程為yeq r(3)(x2)，聯(lián)立eq blc(avs4alco1(yr(3)x2r(3)，,x2，)得y4eq r(3)，所以P(6，4eq r(3)由拋物線的性質(zhì)可知|PF|628.【答案】 815(2017湖北八校4月聯(lián)考)已知拋物線x22py上點P處的切線方程為xy10.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)和B(x2，y2)為拋物線上的兩個動點，其中y1y2且y1y24，線段AB的垂直平分線l與y軸

27、交于點C，求ABC面積的最大值【解析】 (1)設(shè)點Peq blc(rc)(avs4alco1(x0，f(xeq oal(2,0),2p)，由x22py得yeq f(x2,2p)，則yeq f(x,p)，因為點P處的切線的斜率為1，所以eq f(x0,p)1且x0eq f(xeq oal(2,0),2p)10，解得p2，所以拋物線的方程為x24y.(2)設(shè)線段AB的中點為M(x0，2)，則x0eq f(x1x2,2)，kABeq f(y2y1,x2x1)eq f(f(xeq oal(2,2),4)f(xeq oal(2,1),4),x2x1)eq f(1,4)(x1x2)eq f(x0,2)，直

28、線l的方程為y2eq f(2,x0)(xx0)，即2xx0(4y)0，l過定點(0，4)，即C(0，4)直線AB的方程為y2eq f(x0,2)(xx0)由eq blc(avs4alco1(y2f(x0,2)（xx0），,x24y)x22x0 x2xeq oal(2,0)80，則4xeq oal(2,0)4(2xeq oal(2,0)8)02eq r(2)x02eq r(2)，x1x22x0，x1x22xeq oal(2,0)8，則|AB| eq r(1f(xeq oal(2,0),4)|x1x2| eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(xeq oal(2,0),4)（324xe

29、q oal(2,0)）)eq r(（4xeq oal(2,0)）（8xeq oal(2,0)）)，C(0，4)到AB的距離d|CM|eq r(xeq oal(2,0)4)，SABCeq f(1,2)|AB|deq f(1,2) eq r(（4xeq oal(2,0)）2（8xeq oal(2,0)）)eq f(1,2) eq r(f(1,2)（xeq oal(2,0)4）（xeq oal(2,0)4）（162xeq oal(2,0)）)eq f(1,2) eq r(f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(24,3)sup12(3)8，當(dāng)且僅當(dāng)xeq oal(2,0)4162xeq

30、oal(2,0)，即x02時取等號，SABC的最大值為8.1(2016四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y22px(p0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A.eq f(r(3),3)B.eq f(2,3) C.eq f(r(2),2) D1【解析】 M在線段PF上，且|PM|2|MF|，eq o(PM,sup6()2eq o(MF,sup6().設(shè)P(x0，y0)，得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(x0p,3)，f(y0,3).P(x0，y0)在拋物線y22px上，x0eq f(yeq oal(2,0),2p)，由題

31、可得y00時，OM的斜率不是最大值，故y00，故kOMeq f(y0,x0p)eq f(y0,f(yeq oal(2,0),2p)p)eq f(1,f(y0,2p)f(p,y0)eq f(r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(p,y0)eq f(y0,2p)即y0eq r(2)p時“”成立故選C.【答案】 C2(2017臺州模擬)已知P為雙曲線C：eq f(x2,9)eq f(y2,16)1上的點，點M滿足|eq o(OM,sup6()|1，且eq o(OM,sup6()eq o(PM,sup6()0，則當(dāng)|eq o(PM,sup6()|取得最小值時點P到雙曲線C的漸近線的距離為()A.eq f(

32、9,5) B.eq f(12,5) C4 D5【解析】 由eq o(OM,sup6()eq o(PM,sup6()0，得OMPM，根據(jù)勾股定理，求|MP|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求|OP|的最小值，當(dāng)|OP|取得最小值時，點P的位置為雙曲線的頂點(3，0)，而雙曲線的漸近線為4x3y0，所求的距離deq f(12,5)，故選B.【答案】 B3(2017江西南昌調(diào)研)已知圓O1：(x2)2y216和圓O2：x2y2r2(0r2)，動圓M與圓O1，圓O2都相切，動圓圓心M的軌跡為兩個橢圓，這兩個橢圓的離心率分別為e1，e2(e1e2)，則e12e2的最小值是()A.eq f(32r(2),4) B.eq

33、 f(3,2) C.eq r(2) D.eq f(3,8)【解析】 當(dāng)動圓M與圓O1，O2都相內(nèi)切時，|MO2|MO1|4r2a，故e1eq f(2,4r).當(dāng)動圓M與圓O1相內(nèi)切而與圓O2相外切時，|MO1|MO2|4r2a，故e2eq f(2,4r).因此e12e2eq f(2,4r)eq f(4,4r)eq f(242r,16r2)，令12rt(10t12)，e12e22eq f(1,24tf(128,t)2eq f(1,2416r(2)eq f(1,128r(2)eq f(32r(2),4)，故選A.【答案】 A4(2017綿陽模擬)若點O和點F分別為橢圓eq f(x2,9)eq f(

34、y2,8)1的中點和左焦點，點P為橢圓上的任一點，則eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最小值為_【解析】 點P為橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,8)1上的任意一點，設(shè)P(x，y)(3x3，2eq r(2)y2eq r(2)，依題意得左焦點F(1，0)，eq o(OP,sup6()(x，y)，eq o(FP,sup6()(x1，y)，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()x(x1)y2x2xeq f(728x2,9)eq f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(23,4).3x3，eq

35、f(3,2)xeq f(9,2)eq f(15,2)，eq f(9,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(225,4)，eq f(1,4)eq f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(225,36)，6eq f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(23,4)12，即6eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()12.故最小值為6.【答案】 65(2017浙江溫州一模)已知斜率為eq f(1,2)的直線l與拋物線

36、y22px(p0)交于x軸上方的不同兩點A，B，記直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則k1k2的取值范圍是_【解析】 設(shè)直線l的方程為yeq f(1,2)xb(b0)，即x2y2b，代入拋物線方程y22px，可得y24py4pb0，16p216pb0，pb.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24p，y1y24pb，k1k2eq f(y1,x1)eq f(y2,x2)eq f(2p,y1)eq f(2p,y2)eq f(2p（y1y2）,y1y2)eq f(2p,b)2.【答案】 (2，)6(2016贛江模擬)如圖所示，設(shè)F(c，0)是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b

37、2)1(ab0)的左焦點，直線l：xeq f(a2,c)與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求橢圓的標(biāo)準方程；(2)過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A，B.證明：AFMBFN；求ABF面積的最大值【解析】 (1)|MN|8，a4，又|PM|2|MF|，eeq f(1,2).c2，b2a2c212.橢圓的標(biāo)準方程為eq f(x2,16)eq f(y2,12)1.(2)證明 當(dāng)AB的斜率為0時，顯然AFMBFN0，滿足題意；當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的方程為xmy8，代入橢圓方程整理得(3m24)y248my144

38、0.576(m24)0，得m24，yAyBeq f(48m,3m24)，yAyBeq f(144,3m24).則kAFkBFeq f(yA,xA2)eq f(yB,xB2)eq f(yA,myA6)eq f(yB,myB6)eq f(yA（myB6）yB（myA6）,（myA6）（myB6）)eq f(2myAyB6（yAyB）,（myA6）（myB6）)，而2myAyB6(yAyB)2meq f(144,3m24)6eq f(48m,3m24)0，kAFkBF0，AFMBFN.綜上可知，AFMBFN.SABFSBFPSAFPeq f(1,2)|PF|yByA|eq f(72r(m24),3m

39、24)，即SABFeq f(72r(m24),3（m24）16)eq f(72,3r(m24)f(16,r(m24)eq f(72,2r(316)3eq r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)3eq r(m24)eq f(16,r(m24)，即meq f(2r(21),3)時(此時適合于0的條件)取到等號ABF面積的最大值是3eq r(3).7已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦點為F2(3，0)，離心率為e.(1)若eeq f(r(3),2)，求橢圓的方程；(2)設(shè)直線ykx與橢圓相交于A，B兩點，若eq o(AF2,sup6()eq o(BF2,sup6()0，且eq f(r

40、(2),2)eeq f(r(3),2)，求k的取值范圍【解析】 (1)由焦點F2(3，0)，知c3，又eeq f(r(3),2)eq f(c,a)，所以a2eq r(3).又由a2b2c2，解得b23.所以橢圓的方程為eq f(x2,12)eq f(y2,3)1.(2)由eq blc(avs4alco1(ykx，,f(x2,a2)f(y2,b2)1，)得(b2a2k2)x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x1x20，x1x2eq f(a2b2,b2a2k2).又eq o(AF2,sup6()(3x1，y1)，eq o(BF2,sup6()(3x2，y2)

41、，所以eq o(AF2,sup6()eq o(BF2,sup6()(3x1)(3x2)y1y2(1k2)x1x290，即eq f(a2（a29）（1k2）,a2k2（a29）)90，整理得k2eq f(a418a281,a418a2)1eq f(81,a418a2).由eq f(r(2),2)eeq f(r(3),2)及c3，知2eq r(3)a3eq r(2)，12a218.所以a418a2(a29)28172，0)，所以k2eq f(1,8)，則keq f(r(2),4)或keq f(r(2),4)，因此實數(shù)k的取值范圍為eq blc(rc(avs4alco1(，f(r(2),4)eq b

42、lcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，).8(2017威海模擬)已知圓x2y21過橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點，直線l：ykxm與圓x2y21相切，與橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1相交于A，B兩點記eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，且eq f(2,3)eq f(3,4).(1)求橢圓的方程；(2)求k的取值范圍；(3)求OAB的面積S的取值范圍【解析】 (1)由題意知2c2，所以c1.因為圓與橢圓有且只有兩個公共點，從而b1，故aeq r(2)，所以所求橢圓方程為eq f

43、(x2,2)y21.(2)因為直線l：ykxm與圓x2y21相切，所以原點O到直線l的距離為eq f(|m|,r(12k2)1，即m2k21.由eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,2)y21)得(12k2)x24kmx2m220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2eq f(4km,12k2)，x1x2eq f(2m22,12k2).eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2eq f(k21,12k2)，由eq f(2,3)eq f(3,4)，得eq f(1,2)k21，即k的取值范圍是eq b

44、lcrc(avs4alco1(1，f(r(2),2)eq blcrc(avs4alco1(f(r(2),2)，1).(3)|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22eq f(2,（2k21）2)，由eq f(1,2)k21，得eq f(r(6),2)|AB|eq f(4,3).設(shè)OAB的AB邊上的高為d，則Seq f(1,2)|AB|deq f(1,2)|AB|，所以eq f(r(6),4)Seq f(2,3).即OAB的面積S的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(r(6),4)，f(2,3).9(2017湖北黃岡模擬)已知橢圓C：eq f(x2

45、,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)與雙曲線eq f(x2,3)y21的離心率互為倒數(shù)，且直線xy20經(jīng)過橢圓的右頂點(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；(2)設(shè)不過原點O的直線與橢圓C交于M，N兩點，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，求OMN面積的取值范圍【解析】 (1)雙曲線的離心率為eq f(2r(3),3)，橢圓的離心率eeq f(c,a)eq f(r(3),2).又直線xy20經(jīng)過橢圓的右頂點，右頂點為(2，0)，即a2，ceq r(3)，b1，橢圓C的標(biāo)準方程為eq f(x2,4)y21.(2)由題意可設(shè)直線的方程為ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

46、聯(lián)立eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)y21，)消去y并整理，得(14k2)x28kmx4(m21)0，則x1x2eq f(8km,14k2)，x1x2eq f(4（m21）,14k2)，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，又直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，故eq f(y1,x1)eq f(y2,x2)eq f(k2x1x2km（x1x2）m2,x1x2)k2eq f(8k2m2,14k2)m20，由m0，得k2eq f(1,4)keq f(1,2).又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m2

47、2，顯然m21(否則x1x20，則x1，x2中至少有一個為0，直線OM，ON中至少有一個斜率不存在，與已知矛盾)設(shè)原點O到直線MN的距離為d，則SOMNeq f(1,2)|MN|deq f(|m|,2r(1k2) eq r(1k2)|x1x2|eq f(1,2)|m| eq r(（x1x2）24x1x2) eq r(（m21）21).由0m22，且m21，得OMN面積的取值范圍為(0，1)1(2017衡水模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點，過橢圓右焦點F2且斜率為k(k0)的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，EFF1的周長為8，且橢

48、圓C與圓x2y23相切(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x4于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k，求證：kk為定值【解析】 (1)因為EFF1的周長為8，所以4a8，所以a24，又橢圓C與圓x2y23相切，故b23，所以橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)證明 由題意知過點F2(1，0)的直線l的方程為yk(x1)，設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，將直線l的方程yk(x1)代入橢圓C的方程eq f(x2,4)eq f(y2,3)1，整理得(4k23)x28k2x4k2120，64k44(4k23)(4k2

49、12)0恒成立，且x1x2eq f(8k2,4k23)，x1x2eq f(4k212,4k23).直線AE的方程為yeq f(y1,x12)(x2)，令x4，得點Meq blc(rc)(avs4alco1(4，f(2y1,x12)，直線AF的方程為yeq f(y2,x22)(x2)令x4，得點Neq blc(rc)(avs4alco1(4，f(2y2,x22)，所以點P的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(y1,x12)f(y2,x22).所以直線PF2的斜率為keq f(f(y1,x12)f(y2,x22)0,41)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco

50、1(f(y1,x12)f(y2,x22)eq f(1,3)eq f(y2x1x2y12（y1y2）,x1x22（x1x2）4)eq f(1,3)eq f(2kx1x23k（x1x2）4k,x1x22（x1x2）4)，將x1x2eq f(8k2,4k23)，x1x2eq f(4k212,4k23)代入上式得：keq f(1,3)eq f(2kf(4k212,4k23)3kf(8k2,4k23)4k,f(4k212,4k23)2f(8k2,4k23)4)eq f(1,k)，所以kk為定值1.2(2015四川雅安重點中學(xué)1月月考)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的

51、兩焦點在x軸上，且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形(1)求橢圓的方程；(2)過點Seq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)的動直線l交橢圓C于A，B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點Q，使得以線段AB為直徑的圓恒過點Q？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解析】 (1)橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，bc，又斜邊長為2，即2c2，故cb1，aeq r(2)，橢圓方程為eq f(x2,2)y21.(2)當(dāng)l與x軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,3)eq su

52、p12(2)eq f(16,9)；當(dāng)l與y軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為x2y21.由eq blc(avs4alco1(x2blc(rc)(avs4alco1(yf(1,3)sup12(2)f(16,9)，,x2y21，)得eq blc(avs4alco1(x0，,y1，)故若存在定點Q，則Q的坐標(biāo)只可能為Q(0，1)下面證明Q(0，1)為所求：若直線l的斜率不存在，上述已經(jīng)證明若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：ykxeq f(1,3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blc(avs4alco1(ykxf(1,3)，,x22y220，)得(918k2)x212kx160，144

53、k264(918k2)0，x1x2eq f(12k,18k29)，x1x2eq f(16,18k29)，eq o(QA,sup6()(x1，y11)，eq o(QB,sup6()(x2，y21)，eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2eq f(4k,3)(x1x2)eq f(16,9)(1k2)eq f(16,918k2)eq f(4k,3)eq f(12k,918k2)eq f(16,9)0，eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()，即以線段AB為直徑的圓恒過點Q(0，1)3(2017河南鄭州二模)已知曲線C的方

54、程是mx2ny21(m0，n0)，且曲線C過Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)，f(r(2),2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),6)，f(r(3),3)兩點，O為坐標(biāo)原點(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上的兩點，且OMON，求證：直線MN恒與一個定圓相切【解析】 (1)由題意可得eq blc(avs4alco1(f(1,8)mf(1,2)n1，,f(1,6)mf(1,3)n1，)解得m4，n1.所以曲線C的方程為y24x21.(2)證明 由題意得yeq oal(2,1)4xeq oal(2,1)1

55、，yeq oal(2,2)4xeq oal(2,2)1，x1x2y1y20，原點O到直線MN的距離deq f(|OM|ON|,|MN|)eq f(r(（xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)）（xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)）),r(（x1x2）2（y1y2）2) eq r(f(（xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)）（xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)）,xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2) eq r(f(（13xeq oal(2,1)）（13xeq oal(2,2)）,23（x

56、eq oal(2,1)xeq oal(2,2)）) eq r(f(13（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）9xeq oal(2,1)xeq oal(2,2),23（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）).由x1x2y1y20得xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)(14xeq oal(2,1)(14xeq oal(2,2)14(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)16xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)，所以xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)eq f(4,15)(xeq

57、 oal(2,1)xeq oal(2,2)eq f(1,15)，所以d eq r(f(3（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）f(12,5)（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）f(2,5),23（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）) eq r(f(f(2,5)f(3,5)（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）,23（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）)eq f(r(5),5).所以直線MN恒與定圓x2y2eq f(1,5)相切4(2017河南洛陽模擬)設(shè)M是焦距為2的橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)

58、1(ab0)上一點，A，B是橢圓E的左、右頂點，直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，且k1k2eq f(1,2).(1)求橢圓E的方程；(2)已知橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上點N(x0，y0)處的切線方程為eq f(x0 x,a2)eq f(y0y,b2)1.若點P是直線x2上任意一點，從P向橢圓E作切線，切點分別為C，D，求證：直線CD恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)【解析】 (1)設(shè)A(a，0)，B(a，0)，M(m，n)，則eq f(m2,a2)eq f(n2,b2)1，即n2b2eq f(a2m2,a2).由k1k2eq f(1,2)，即eq f(n,ma)eq f(n,ma)eq f(1,2)，故eq f(n2,m2a2)eq f(1,2)，則a22b2，又c2a2b21，解得a22，b21.所以橢圓E的方程為eq f(x2,2)y21.(2)證明 設(shè)點P(2，t)，切點C(x1，y1)，D(x2，y2)，則兩切線PC，PD的方程分別為eq f(x1x,2)y1y1，eq f(x2x,2)y2y1.由于點P在切線PC，PD