高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)：第二講整除

1、高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo) 第二講 整除知識、方法、技能整除是整數(shù)的一個重要內(nèi)容，這里僅介紹其中的幾個方面：整數(shù)的整除性、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、方冪問題. 整數(shù)的整除性初等數(shù)論的基本研究對象是自然數(shù)集合及整數(shù)集合. 我們知道，整數(shù)集合中可以作加、減、乘法運(yùn)算，并且這些運(yùn)算滿足一些規(guī)律（即加法和乘法的結(jié)合律和交換律，加法與乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，則不一定是整數(shù). 由此引出初等數(shù)論中第一個基本概念：整數(shù)的整除性.定義一：（帶余除法）對于任一整數(shù)和任一整數(shù)，必有惟一的一對整數(shù)，使得，并且整數(shù)和由上述條件惟一確定，則稱為除的不完全商，稱為除的余數(shù).若，則稱整除，或被整除，或稱的倍數(shù)，或

2、稱的約數(shù)（又叫因子），記為.否則，| .任何的非的約數(shù)，叫做的真約數(shù).0是任何整數(shù)的倍數(shù)，1是任何整數(shù)的約數(shù).任一非零的整數(shù)是其本身的約數(shù)，也是其本身的倍數(shù).由整除的定義，不難得出整除的如下性質(zhì)：（1）若（2）若（3）若，則反之，亦成立.（4）若.因此，若.（5）、互質(zhì)，若（6）為質(zhì)數(shù)，若則必能整除中的某一個.特別地，若為質(zhì)數(shù)，（7）如在等式中除開某一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是的倍數(shù)，則這一項(xiàng)也是的倍數(shù).（8）n個連續(xù)整數(shù)中有且只有一個是n的倍數(shù).（9）任何n個連續(xù)整數(shù)之積一定是n的倍數(shù).本講開始在整除的定義同時給出了約數(shù)的概念，又由上一講的算術(shù)基本定理，我們就可以討論整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)了.定理一：設(shè)大

3、于1的整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為為質(zhì)數(shù)，均為非負(fù)整數(shù)），則a的約數(shù)的個數(shù)為.所有的約數(shù)和為：.事實(shí)上，由算術(shù)基本定理的推論知，而各約數(shù)的和就是展開后的各項(xiàng)之和，所以例如，25200=2432527，所以，. 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)定義二：設(shè)、是兩個不全為0的整數(shù).若整數(shù)c滿足：，則稱的公約數(shù)，的所有公約數(shù)中的最大者稱為的最大公約數(shù)，記為.如果=1，則稱互質(zhì)或互素.定義三：如果、的倍數(shù)，則稱、的公倍數(shù). 的公倍數(shù)中最小的正數(shù)稱為的最小公倍數(shù)，記為.最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念可以推廣到有限多個整數(shù)的情形，并用表示的最大公約數(shù)，表示的最小公倍數(shù).若，則稱互質(zhì)，若中任何兩個都互質(zhì)，則稱它們是兩兩互質(zhì)的.注意

4、，n個整數(shù)互質(zhì)與n個整數(shù)兩兩互質(zhì)是不同的概念，前者成立時后者不一定成立（例如，3，15，8互質(zhì)，但不兩兩互質(zhì)）；顯然后者成立時，前者必成立.因?yàn)槿魏握龜?shù)都不是0的倍數(shù)，所以在討論最小公倍數(shù)時，一般都假定這些整數(shù)不為0.同時，由于有相同的公約數(shù)，且（有限多個亦成立），因此，我們總限于在自然數(shù)集合內(nèi)來討論數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).顯然，若的標(biāo)準(zhǔn)分解式為為質(zhì)數(shù)，為非負(fù)整數(shù)），則 例如 3960=2332511， 756=22337，則 （3960，756）=2232=36， 3960，756=23335711=83160.求最大公約數(shù)也可以用輾轉(zhuǎn)相除法，其理論依據(jù)是：定理二：設(shè)a、b、c是三個不全

5、為0的整數(shù)，且有整數(shù)t使得，則a、b與b、c有相同的公約數(shù)，因而，即因?yàn)椋?、b的任一公約數(shù)，則由、c的公約數(shù)；反之，若、c的任一公約數(shù)，、b的公約數(shù).輾轉(zhuǎn)相除法：設(shè)、，由帶余除法有 因?yàn)槊窟M(jìn)行一次帶余除法，余數(shù)至少減1，即，而b為有限數(shù)，因此，必有一個最多不超過b的正整數(shù)n存在，使得，而，故由定理二得：例如，（3960，756）=（756，180）=（180，36）=36.具體算式如下： 5（q1） 3960（a） 756（b） 4（q2） 3780 720 180（r1） 36（r2） 5（q3） 180 0（r3）由定義和上述求法不難得出最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的如下性質(zhì)：（1）.（2）設(shè)

6、的公約數(shù)，則特別地，若.（3）設(shè)是任意n個正整數(shù)，如果，則.因，如此類推得出能整除是它們的一個公約數(shù).又設(shè)的任一公約數(shù)，則，因而，同理可推出，如此類推最后可得. 于是，故是最大公約數(shù).（4）若，則一定有整數(shù)，使得.特別地，存在.這可由輾轉(zhuǎn)相除法的式逆推而得.（5）若.（6）；的任一公倍數(shù)，則；，特別地，若.可由直接得到，可由最小公倍數(shù)定義得，根據(jù)、式知，.（7）設(shè)是任意個正整數(shù).若mn，則.這是一個求多個整數(shù)的最小公倍數(shù)的方法.它可用證明類似的方法來證明.方冪問題一個正整數(shù)能否表成個整數(shù)的次方和的問題稱為方冪和問題.特別地，當(dāng)時稱為次方問題，當(dāng)時，稱為平方和問題.能表為某整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全

7、平方數(shù).簡稱平方數(shù)，關(guān)于平方數(shù)，明顯有如下一些簡單的性質(zhì)和結(jié)論：（1）平方數(shù)的個位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只能是0或1.（3）奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù).（4）十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個位數(shù)一定是6.（5）不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，能被3整除的數(shù)的平方能被3整除.因而，平方數(shù)被9除的余數(shù)為0，1，4，7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能為0，1，4，7.（6）平方數(shù)的約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù).（7）任何四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個平方數(shù).進(jìn)一步研究可得到有關(guān)平方和的幾個結(jié)論:定理三：奇素數(shù)能

8、表示成兩個正整數(shù)的平方和的充要條件是定理四：設(shè)正整數(shù)，其中不再含平方因數(shù)，能表示成兩個整數(shù)的平方的充要條件是沒有形如的質(zhì)因數(shù).定理五：每個正整數(shù)都能表示成四個整數(shù)的平方和.這幾個定理的證明略.這里重點(diǎn)是介紹有關(guān)方冪的解法技巧.方冪中許多問題實(shí)質(zhì)上是不定方程的整數(shù)解問題，比如著名的勾股數(shù)問題.賽題精講例1：證明：對于任何自然數(shù)和，數(shù)都不能分解成若干個連續(xù)的正整數(shù)之積.（1981年全國高中聯(lián)賽試題）【證明】由性質(zhì)9知，只需證明數(shù)不能被一個很小的自然數(shù)整除.因3 1，故3 ，因而不能分解成三個或三個以上的連續(xù)自然數(shù)的積.再證不能分解成兩個連續(xù)正整數(shù)的積.由上知，因而只需證方程：無正整數(shù)解.而這一點(diǎn)可

9、分別具體驗(yàn)算時，均不是形的數(shù)來說明.故對任何正整數(shù)、都不能分解成若干個連續(xù)正整數(shù)之積.例2： 設(shè)和均為自然數(shù),使得證明：可被1979整除. (第21屆IMO試題)【證明】=1979 兩端同乘以1319！得1319！ 此式說明1979|1319！由于1979為質(zhì)數(shù)，且1979 1319！，故1979|【評述】把1979換成形如的質(zhì)數(shù)，1319換成，命題仍成立.牛頓二項(xiàng)式定理和為偶數(shù)), 為奇數(shù))在整除問題中經(jīng)常用到.例3 ：對于整數(shù)與，定義求證：可整除（1996加拿大數(shù)學(xué)競賽試題）【證明】當(dāng)時，由于能被整除，所以能被整除，另一方面，上式中能被整除，所以也能被整除.因與2+1互質(zhì)，所以能被（2+1

10、）（即）整除.類似可證當(dāng)時，F(xiàn)（2+1，）能被F（2+1,1）整除.故能被整除.例4 ：求一對整數(shù)，滿足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除. (第25屆IMO試題)【解】= =根據(jù)題設(shè)要求(1)(2)知，即令即即，則故可令即合要求.(第15屆美國普特南數(shù)學(xué)競賽試題)【評述】數(shù)學(xué)歸納法在整除問題中也有廣泛應(yīng)用.例5：是否存在1000000個連續(xù)整數(shù)，使得每一個都含有重復(fù)的素因子，即都能被某個素數(shù)的平方所整除？【解】存在.用數(shù)學(xué)歸納法證明它的加強(qiáng)命題：對任何正整數(shù)存在個連續(xù)的整數(shù)，使得每一個都含有重復(fù)的素因子.當(dāng)=1時，顯然成立.這只需取一個素數(shù)的平方.假設(shè)當(dāng)=時命題成立,即有個連續(xù)整數(shù),它

11、們分別含有重復(fù)的素因子,任取一個與都不同的素數(shù)(顯然存在),當(dāng)時,這個數(shù)中任兩個數(shù)的差是形如的數(shù),不能被整除,故這個數(shù)除以后,余數(shù)兩兩不同.但除以后的余數(shù)只有0，1，1這個，從而恰有一個數(shù)，使能被整除.這時，（個連續(xù)整數(shù)：2，（+1）分別能被整除，即時命題成立.故題對一切正整數(shù)均成立.例6：求證：（第1屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）【證明】設(shè)其中為質(zhì)數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，則 因此只需證明 2 =2上式關(guān)于對稱，則不妨設(shè)，于是上式變?yōu)椋捍耸斤@然成立，故得證.例7：設(shè)和是兩個正整數(shù)，為大于或等于3的質(zhì)數(shù)，），試證：（1）；（2）或（1985新加坡數(shù)學(xué)競賽試題） 【證明】由已知得，兩式相乘得于是故（1）現(xiàn)用

12、反證法來證明.若令是的一個質(zhì)因子，則有因，則，從而于是是、的一個公約數(shù)，這與=1矛盾，故.（2）因?yàn)樗远鵀橘|(zhì)數(shù)且，故或例8：設(shè)，求最大公約數(shù)（第26屆IMO預(yù)選題）【解】能過具體計算可猜想 此式不難用數(shù)學(xué)歸納法獲證.為求，對分奇偶來討論.（1）當(dāng)時，由于和互質(zhì)，所以而當(dāng)時 時，與81互質(zhì).故此時有 （2）當(dāng)當(dāng)時與質(zhì)，所以而當(dāng)時，時，與34互質(zhì).故此時有例9：盒子中各若干個球，每一次在其中個盒中加一球.求證：不論開始的分布情況如何，總可按上述方法進(jìn)行有限次加球后使各盒中球數(shù)相等的充要條件是 （第26屆IMO預(yù)選題）【證明】設(shè)，則有使得，此式說明：對盒子連續(xù)加球次，可使個盒子各增加了個，一個增加個.這樣可將多增加了一個球的盒子選擇為原來球數(shù)最少的那個，于是經(jīng)過次加球之后，原來球數(shù)最多的盒子中的球與球數(shù)最少的盒子中的球數(shù)之差減少1，因此，經(jīng)過有限次加球后，各盒球數(shù)差為0，達(dá)到各盒中的球數(shù)相等.用反證法證明必要性.若，則只要在個盒中放個球，則不管加球多少次，例如，加球次，則這時個盒中共有球（個），因?yàn)樗?/p>