《步步高學案導學設計》2013-2014學年高中數(shù)學（蘇教版）選修2-1【配套備課資源】第3章323

1、3.2.3空間的角的計算一、基礎過關1 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于150，則直線l與平面所成的角等于_2 若兩個平面，的法向量分別是n(1,0,1)，(1,1,0)則這兩個平面所成的銳二面角的度數(shù)是_3 已知A，P，eq o(PA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(2)，平面的一個法向量neq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，r(2)，則直線PA與平面所成的角為_4 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABeq r(2)BB1，則AB1與C1B所成角的大小為_5 如圖，在正四面體ABCD中，點E為BC

2、中點，點F為AD中點，則異面直線AE與CF所成角的余弦值為_6 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若B1MN90，則PMN的大小是_二、能力提升7 二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2eq r(17)，則該二面角的大小為_8 設ABCD、ABEF都是邊長為1的正方形，F(xiàn)A平面ABCD，則異面直線AC與BF所成的角為_9 正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點求異面直線AE與CF所成角的余弦值10如圖，已知點P在正方體A

3、BCDABCD的對角線BD上，PDA60.(1)求DP與CC所成角的大小；(2)求DP與平面AADD所成角的大小11如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC2，BDeq r(2).CF與平面ABCD垂直，CF2.求二面角BAFD的大小三、探究與拓展12如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H為BC的中點(1)求證：FH平面EDB；(2)求證：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小答案1602603604905eq f(2,3) 690760860 9解不妨設正方體棱長為2，分別取DA、DC、DD1所在直

4、線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由eq o(AE,sup6()(1,0,2)，eq o(CF,sup6()(1，1,2)，得|eq o(AE,sup6()|eq r(5)，|eq o(CF,sup6()|eq r(6).eq o(AE,sup6()eq o(CF,sup6()1043.又eq o(AE,sup6()eq o(CF,sup6()|eq o(AE,sup6()|eq o(CF,sup6()|coseq o(AE,sup6()，eq o(CF,sup6()eq r(30)coseq o(AE,s

5、up6()，eq o(CF,sup6()，coseq o(AE,sup6()，eq o(CF,sup6()eq f(r(30),10)，異面直線AE與CF所成角的余弦值為eq f(r(30),10).10解(1)如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系Dxyz.則eq o(DA,sup6()(1,0,0)，eq o(CC,sup6()(0,0,1)連結BD，BD.在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設eq o(DH,sup6()(m，m,1) (m0)，由已知eq o(DH,sup6()，eq o(DA,sup6()60，由eq o(DA,sup6()eq o(DH,sup6()|e

6、q o(DA,sup6()|eq o(DH,sup6()|coseq o(DH,sup6()，eq o(DA,sup6()，可得2meq r(2m21).解得meq f(r(2),2)，所以eq o(DH,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).因為coseq o(DH,sup6()，eq o(CC,sup6()eq f(f(r(2),2)0f(r(2),2)011,1r(2)eq f(r(2),2)，所以eq o(DH,sup6()，eq o(CC,sup6()45，即DP與CC所成的角為45.(2)平面AADD的一個法向量是eq

7、o(DC,sup6()(0,1,0)因為coseq o(DH,sup6()，eq o(DC,sup6()eq f(f(r(2),2)0f(r(2),2)110,1r(2)eq f(1,2)，所以eq o(DH,sup6()，eq o(DC,sup6()60.可得DP與平面AADD所成的角為30.11解過點A作AE平面ABCD.以A為坐標原點，eq o(BD,sup6()、eq o(AC,sup6()、eq o(AE,sup6()方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)于是Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1，0)，Deq blc(rc)(avs

8、4alco1(f(r(2),2)，1，0)，F(xiàn)(0,2,2)設平面ABF的法向量n1(x，y，z)，則由eq blcrc (avs4alco1(n1o(AB,sup6()0，,n1o(AF,sup6()0，)得eq blcrc (avs4alco1(f(r(2),2)xy0，,2y2z0.)令z1，得eq blcrc (avs4alco1(xr(2)，,y1.)所以n1(eq r(2)，1,1)同理，可求得平面ADF的法向量n2(eq r(2)，1,1)由n1n20知，平面ABF與平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小等于eq f(,2).12(1)證明四邊形ABCD為正方形，ABBC.又E

9、FAB，EFBC.又EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.又BFFC，H為BC的中點，F(xiàn)HBC.FH平面ABC.以H為坐標原點，eq o(HB,sup6()為x軸正方向，eq o(HF,sup6()為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系設BH1，則A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1)設AC與BD的交點為G，連結GE，GH，則G(0，1,0)，eq o(GE,sup6()(0,0,1)又eq o(HF,sup6()(0,0,1)，eq o(HF,sup6()eq o(GE,sup6().又GE平面EDB，HF平面EDB，F(xiàn)H平面EBD.(2)證明eq o(AC,sup6()(2,2,0)，eq o(GE,sup6()(0,0,1)，eq o(AC,sup6()eq o(GE,sup6()0，ACGE.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.(3)解eq o(BE,sup6()(1，1,1)，eq o(BD,sup6()(2，2,0)設平面BDE的法向量為n1(1，y1，z1)，則eq o(BE,sup6()n11y1z10，eq o(BD,sup6()n122y10，y11，z10，即n1(1，1,0)eq o(CD,sup6()(0，2,0)，eq o(CE,sup6()(1，1,1)設平