解連組根式以及抽象不等式

1、關(guān)于解連組根式及抽象不等式第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月高中數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容關(guān)系 確定關(guān)系 隨機關(guān)系 數(shù)數(shù)關(guān)系： 形形關(guān)系： 立體幾何解析幾何代數(shù) 數(shù)形關(guān)系：函數(shù)方程不等式解析式不等式概述概念性質(zhì)應(yīng)用解不等式證不等式求 最 值 規(guī)律與統(tǒng)計第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月不等式的性質(zhì)(一) 作用：變形化簡不等式2.運算性質(zhì)1.基本性質(zhì)(二) 性質(zhì)：3.重要的不等式多多益善十四條 文字背誦是關(guān)鍵說明：不等式的性質(zhì)分類：按課本上的分類方式：按資料上的分類方式：單向式；雙向式按自己的分類方式：第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月1.基本性質(zhì)大小的定義對稱性傳遞

2、性如果a-b是正數(shù)，那么ab；如果a-b是等于零，那么a =b；如果a-b是負(fù)數(shù)，那么ab；如果ab, bc,那么ac如果ab，那么ba，如果bbabbaab，bc ac第四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2.運算性質(zhì)對一個不等式的運算(變形)對多個不等式的運算(變形)第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月對一個不等式的運算(變形)加(減):如果ab，那么a+cb+c乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acb,c0 acbcab a+cb+cab,c0 acb，且cd，那么a+cb+d同號可倒： 乘：ab， cd a+cb+d如果a b 0，且cd0

3、，那么acbda b 0，cd0 acbd若ab,ab0,則注1.若2個不等式需進(jìn)行減(除)運算，一般是轉(zhuǎn)換成加(乘)注2.若變量間具有約束關(guān)系時，等號沒有可加(乘)性 加：同向可正值同向可第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3.重要的(經(jīng)典)不等式11均值不等式：(調(diào)和平均值)(幾何平均值)(冪平均值)(算數(shù)平均值)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，“=”成立(當(dāng)且僅當(dāng)=時等號成立)2+22 第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)且僅當(dāng)=時等號成立二元的均值不等式 若,R+,則211+2+2+2注1：使用前提是正數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)认噙B 放縮消元變結(jié)構(gòu) 應(yīng)用特例求最值注2：與對號函數(shù) 的關(guān)

4、聯(lián)或注3：即第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月12三角形(絕對值)不等式 |123n|1|+|2|+ |3|+|n|-|+| 注1.放縮換序增減號 特例消元求最值 注2.拍扁三角取等號 同號異號是關(guān)鍵 “=”成立的條件： 中間“”時,右側(cè)取“=”的條件是“0”中間“”時,右側(cè)取“=”的條件是“0”左側(cè)取“=”的條件是“0且|”左側(cè)取“=”的條件是“0且|”第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月13柯西不等式 i：一般式 ii：向量式方和積 積方和1.表述方式眾多：2.應(yīng)用： i：作用：換序變結(jié)構(gòu) ii：用途：解證求最值注：最常見的是將 配湊為 常數(shù)列第十一張，PPT共三十六

5、頁，創(chuàng)作于2022年6月14排序不等式反序和亂序和順序和第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月15分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若 ,a,b,c,d,m,n0,則特例2：若 ,a,b,m0,則特例1：若 ,a,b,m0,則注：真分?jǐn)?shù)的分子分母加同一正數(shù)后放大(糖水不等式，調(diào)日術(shù)，插值定理)第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)f(x)是(a,b)內(nèi)的凸函數(shù),則對于(a,b)內(nèi)任意的n個實數(shù)琴生(Jensen)不等式: ,有當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號設(shè)f(x)是(a,b)內(nèi)的凹函數(shù),則對于(a,b)內(nèi)任意的n個實數(shù),有當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號凸凹性與琴生(Jensen)不等式 16第十四張，PPT共三十六頁

6、，創(chuàng)作于2022年6月17伯努利不等式參選修4-5P：51 52 : 若x-1,且0 或1，則:若x-1,且0 1 ，則(當(dāng)且僅當(dāng)n=1時等號成立)如果x是實數(shù),且x-1, x0 ,且n為大于1的自然數(shù), 則 注：伯努利不等式常見的推論：:若xi-1 , 則第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月18lnx不等式與數(shù)列不等式(1).“半成品”輔助函數(shù) 的衍變 大多數(shù)是(2).令 ，由迭加法可得(3).令 ，由迭加法可得第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二元不等式一元不等式抽象不等式含參不等式整式不等式分式不等式不等式組絕對值不等式根式不等式連不等式指數(shù)不等式對數(shù)不等式三角

7、不等式線性規(guī)劃四成立不等式的應(yīng)用1.解不等式：常見題型第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一元二次不等式的解法1.公式(口訣)法：口訣1：大于號要兩頭 小于號要中間口訣2：一正二方三大頭 無根大全小為空2.其他法：配方法：圖象(標(biāo)根)法：因式分解法：標(biāo)根法解一元n次不等式 一正二方三穿線 奇穿偶切右上方上大下小中為等 函數(shù)簡圖是本質(zhì)第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月分式不等式的解法 1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月常見解法常見題型形法數(shù)法“純”不等式法函數(shù)法函數(shù)圖象線性規(guī)劃其他圖象1.解不等式： 一般的，不等式解

8、集的端點值是方程的根 不等式的應(yīng)用第二十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)法：形法：比較法分析法綜合法反證法數(shù)歸法放縮法函數(shù)法法2.證明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的應(yīng)用第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)法：形法：函數(shù)圖象最值定理（均值不等式）線性規(guī)劃函數(shù)法（導(dǎo)數(shù)法）3.求最值常用的方法：2.證明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的應(yīng)用第二十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月75 解不等式組,連不等式,根式及抽象不等式 數(shù)形結(jié)合“或”字型 書寫格式整體觀一、解不等式組通法:“截”成不等式組二、解連不等式特法:左右是常數(shù)時，可變形成高次不等式三

9、、解根式不等式去掉根號是常法 正值可方奇無限留意等號定義域 數(shù)形結(jié)合是特法四、抽象不等式 抽象不等具體化 數(shù)形結(jié)合性質(zhì)法輔助函數(shù)是關(guān)鍵 增大減小是根本第二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)形結(jié)合“或”字型 書寫格式整體觀(1).必修5P： 103 B組 Ex2解：故所求解集為因解得一、解不等式組解不等式組第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：故所求解集為因解得即(2).解不等式組第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月通法:“截”成不等式組二、解連不等式特法:左右是常數(shù)時，可變形成高次不等式練習(xí)2.解連不等式(3).不等式2x2-2x8的解集是_2x2-

10、2xx2-2x8因解得即-2x4x 或x-2x 或 x4故所求解集為x| -2x 或 x4法1：第二十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月通法: “截”成不等式組二、解連不等式特法:左右是常數(shù)時，可變形成高次不等式練習(xí)2.解連不等式(x2-2x-2)(x2-2x-8)0因解得即-2x 或 x4故所求解集為x| -2x 或 x4法2：x2-2x-80-2x 或 x4x2且x4(3).不等式2x2-2x8的解集是_第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三、解根式不等式去掉根號是常法 正值可方奇無限留意等號定義域 數(shù)形結(jié)合是技巧注1.數(shù)法陷阱有三：Domain”=”的取舍注2.技

11、巧：正值可方數(shù)形結(jié)合 大題小作(2010年全國卷簡化)練習(xí)3.解根式不等式(4).解不等式第二十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(4).解不等式析：解不等的“分水嶺”是相等，即方程也解方程得原不等式等價于設(shè)函數(shù)第二十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月四、抽象不等式 抽象不等具體化 數(shù)形結(jié)合性質(zhì)法輔助函數(shù)是關(guān)鍵 增大減小是根本法1：令f（x）=|x|, 法2：依題意得,原不等式等價于故,解得(5).(2009年遼寧)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+)單調(diào)增加則滿足 的x取值范圍是A. B. C. D. 又因f(x)在區(qū)間0,+)單調(diào)增加即解 第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于

12、2022年6月(6).精煉案P：27 Ex4 (2011年遼寧)函數(shù)f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意xR，f /(x)2，則 f（x） 2x+4的解集為A.(-1.1) B.(-1,+) C.(-,1) D.(-,+)法1：令f（x）= 3x+5, 即解 3x+52x+4 故 f（x） 2x+4等價于解g（x） g（-1）法2：令g(x)=f(x)-2x-4 由題意得g /(x)= f /(x)-20在R上恒成立即g (x)在R上,因g (-1)=f(-1)+2-4=0,解g (x) g（-1）得x-1第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(7).(2009年天津)設(shè)函

13、數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f /(x) ，且2 f(x)+x f /(x)x 2，則下面的不等式在R上恒成立的是 A. f(x)0 B. f(x)0 C. f(x)x D. f(x)x 法1：令f(x)=x 2+1:當(dāng)x=0時,易得 f(x)0或令x=0,即得 f(x)0 :當(dāng)x0時，法2：令g(x)=x 2 f(x),則g /(x)=2x f(x)+x 2f /(x)=x 2 f(x)+x f /(x):當(dāng)x 0時，g /(x)x 30 , 即g (x)在R-上, 即g (x)在R+上故g(x)=x 2 f(x) g(0)=0,即 f(x) 0g /(x) x 30 故g(x)=x 2 f(x)

14、g(0)=0,即 f(x)0綜上 f(x)0第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(8)(2013年遼寧)設(shè)A.有極大值無極小值 B.有極小值無極大值C.即有極大值也有極小值 D.即無極大值也無極小值則x0時, f(x)故選【D】法1：輔助函數(shù)是關(guān)鍵 增大減小是根本由 得設(shè)則故 g(x)在(0,2)上 ,在(2,)上 故g(x)g(2)=0 當(dāng)x0且x2時恒成立 從而 f /(x)0 當(dāng)x0且x2時恒成立 ,而 f /(2)=0即f(x)在(0,)上 ,第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(8)(2013年遼寧)設(shè)A.有極大值無極小值 B.有極小值無極大值C.即有極大值也有極小值 D.即無極大值也無極小