《多面體的外接球問題》教案- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題湘教版

1、 多面體的外接球問題教學(xué)內(nèi)容立體幾何初步的教學(xué)重點是幫助學(xué)生形成空間觀念，發(fā)展學(xué)生空間想象能力。本章節(jié)中學(xué)生已經(jīng)認識了簡單幾何體的多面體和旋轉(zhuǎn)體，初步掌握了這些幾何體的圖形和性質(zhì)，以及它們的表面積和體積公式。本節(jié)課多面體的外接球問題是在此基礎(chǔ)上的章節(jié)復(fù)習(xí)的一個微專題課，利用信息技術(shù)手段提供幾何直觀，運用直觀感知、動手操作、推理論證等認識探索空間中簡單多面體的外接球的圖形結(jié)構(gòu)，運用數(shù)學(xué)知識解決問題，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。設(shè)計理念本節(jié)課力圖讓學(xué)生從不同角度去研究特殊幾何體的外接球，從一道高考題入手，利用外接球的概念，找球心位置和半徑，通過方程計算解決外接球的體積。重新分析條件，進一步化歸轉(zhuǎn)化條件

2、，得出此三棱錐的特殊性，讓學(xué)生意識到“長方體”模型解決問題的便捷，接著讓學(xué)生自主探究，體會哪些特殊的幾何體能用此模型解決問題。然后引入例題及變式，發(fā)現(xiàn)模型化并不能解決所有幾何體的外接球問題，從而回歸到通性通法。經(jīng)歷從一般特殊一般的過程，體驗知識的產(chǎn)生、形成過程，進一步培養(yǎng)學(xué)生自主探索，合作交流的學(xué)習(xí)方式，通過學(xué)生經(jīng)歷直觀感知，觀察、發(fā)現(xiàn)、轉(zhuǎn)化、歸納，抽象概括等思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。教學(xué)目標(biāo)利用信息技術(shù)展示立體幾何直觀圖，結(jié)合學(xué)生動手操作，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和作圖能力；復(fù)習(xí)鞏固本章第一節(jié)所學(xué)的簡單多面體和球體的結(jié)構(gòu)特征，以及幾何公式等，熟練的解

3、決與簡單幾何體有關(guān)的外接球的問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點確定幾何體外接球的球心的位置和半徑，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。學(xué)會運用模型化思想解決特殊幾何體的外接球問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。教學(xué)方法利用信息技術(shù)融合，啟發(fā)誘導(dǎo)式教學(xué)六、教學(xué)過程（一）課前熱身，知識梳理兩道習(xí)題，喚起回憶，知識回顧練1.在矩形中，沿將矩形折成一個二面角，則四面體的外接球體積為（ ）C B. C. D.練2.求長方體（長寬高分別為）的外接球半徑.【用授課助手上傳學(xué)生課前完成的作業(yè)，即本題的分析解答過程】師：讓我們一起來點評這兩位同學(xué)的作業(yè)！很好，都正確！師：我們知

4、道多面體的各個頂點都在它的外接球面上，因此球心到所有頂點的距離都相等，也就是球的半徑。解決問題的關(guān)鍵就是找出外接球的球心。我們一起復(fù)習(xí)一下外接球的概念?！景鍟恳?、知識儲備1.多面體外接球的概念 2. 3.球的截面性質(zhì)截面圓4.立體幾何初步知識【播放微課，復(fù)習(xí)球的截面問題】課堂活動，探索新知一、引出例子，直擊高考師：今年高考數(shù)學(xué)選擇題12考查了這么一道外接球問題，利用我們學(xué)過的立體幾何初步知識，一起來看看如何解決這類問題。（2019全國卷一第12題）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上， 是邊長為2的正三角形，分別是的中點，則球的體積為（ ） B. C. D.問：先依題意畫圖，從題目對于三棱錐的描

5、述，可以知道這是什么樣的三棱錐呢？答：正三棱錐。問：正三棱錐有什么性質(zhì)？答：底面是正三角形，頂點在底面的投影是底面的中心（外心），到三角形各頂點的距離相等。問：求外接球的體積，關(guān)鍵先找出球心，那么此時正三棱錐的球心位于哪里？答：在上，因為球心在截面上的投影就在截面圓的圓心（底面三角形的外心）。師：我們就可以利用球的截面性質(zhì)得出這樣一個關(guān)系，建立方程求出外接球半徑?！景鍟慷⒍嗝骟w外接球問題的解決方法：找出球心位置底面多邊形的外心勾股關(guān)系（右邊板書本題分析過程）， （如何求側(cè)棱長？）且 （能否推出線面垂直？）由于正三棱錐對棱垂直，則 解得師：此題中的正三棱錐側(cè)面實際上是直角三角形，從而發(fā)現(xiàn)此正

6、三棱錐的側(cè)棱有何特征？答：三條側(cè)棱兩兩垂直。問；這樣的三棱錐畫圖時你會想用什么幾何體來襯托？答：正方體、長方體。師：很好！我們可以很形象的稱它為“墻角”模型，本題正三棱錐就可以看成由正方體分割出的一個墻角。問：所以本題還可以怎么解決此三棱錐外接球的體積？答：正方體的外接球就是此三棱錐的外接球。方法探究，模型化思想解決問題師：利用模型化思想，可以把此類問題轉(zhuǎn)化成長方體的外接球問題。大家再想想有哪些特殊的三棱錐或者四棱錐，甚至是棱柱，可以在長方體（正方體）中找出，那么解決此類多面體的外接球問題就可以用“長方體”模型解決。合作交流、動手操作：現(xiàn)在大家在紙上的長方體中找出與這個長方體同一個外接球的多面

7、體！【用授課助手上傳學(xué)生的作圖利用“蒙層”找出學(xué)生所作的多面體名稱】【板書】2、“長方體”模型學(xué)以致用（高考題改編）已知三棱錐，則此三棱錐外接球的半徑為_.問：能否運用“長方體”模型？答：不行。還是得找出球心位置。師：因此我們先研究底面三角形的外心?！居檬谡n助手上傳學(xué)生的解答過程】分析：本題的關(guān)鍵是三條側(cè)棱都相等時頂點在底面的投影是底面三角形的外心，從而頂點、球心、外心共線，找出關(guān)系解出.（變式1）已知三棱錐，平面，則此三棱錐外接球半徑為（ ）A. B. C. D.師:本題底面的外心不變，但頂點在底面的投影是點，仍有平面，找出關(guān)系。問：答：此三棱錐可以補成直三棱柱，那么外接球的球心到上下底面的

8、距離就相等， 【用“優(yōu)教”截屏探究顯示學(xué)生的答題情況】答案是選C（變式2）已知三棱錐，二面角的大小為，且和都是邊長為 的正三角形，則此三棱錐的外接球表面積為（ ）A. B. C. D.分析：本題中提到了二面角，那么這兩個半平面所在的面也就是外接球的截面，球心在這兩個面的投影都是正三角形的中心，此時可以轉(zhuǎn)化成這樣一個四邊形解決問題，先求出，【本題可留給學(xué)生課后先自行練習(xí)，從中發(fā)現(xiàn)新的問題，在第二課時復(fù)習(xí)時再次講評，進一步類型歸納】模型歸納基本關(guān)系，方程（組）思想解決問題?；貧w高考題，鞏固練習(xí)（可作為課后練習(xí)）練1.（2018全國卷三第10題）設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（ ） B. C. D