二維隨機變量的定義、分布函數(shù)課件

第三章多維隨機變量及其分布第三章多維隨機變量及其分布1體重X身高Y例2：檢查某大學的全體學生的身體狀況,例1飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標)來確定的.從其中隨機抽取一個學生，分別以X

和Y

表示其體重和身高.多個隨機變量舉例體重X身高Y例2：檢查某大學的全體學生的身體狀況,例1飛23.1二維隨機變量及其分布例如E：抽樣調查15-18歲青少年的身高X與體重Y,以研究當前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。任務：需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質，更需要了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約關系。3.1二維隨機變量及其分布例如E：抽樣調查15-1833.1.1二維隨機變量的定義、分布函數(shù)定義3.1.1

設X、Y為定義在同一樣本空間Ω上的隨機變量，則稱為Ω上的一個二維隨機變量。向量（X，Y）3.1.1二維隨機變量的定義、分布函數(shù)定義3.1.14二維隨機變量（X,Y）的幾何意義二維隨機變量(X,Y)的取值可看作平面上的點（x，y）A二維隨機變量（X,Y）的幾何意義二維隨機變量(X,Y)的取5二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)6定義3.1.2稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機變量，對于任意的實數(shù)x,y.定義3.1.2稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨7二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的含義幾何解釋：

F(x,y)表示隨機點(X

,Y)落在以(x,y)為頂點,且位于該點左下方的無窮矩形內的概率.二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的含義幾何解釋8x1x2y1y2

P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Y9性質（1）性質（2）性質（3）性質（4）二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的性質F(x,y)分別關于X和Y

.

≤F(x,y)≤.

F(x,－

∞)=

；F(－

∞,y)=.

F(－

∞,－

∞)=

；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分別關于X和Y.單調不減；010001右連續(xù)；性質（1）性質（2）性質（3）性質（4）二維隨機變量的聯(lián)合分103.1.2二維離散型隨機變量定義3.1.3

若二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值只有限對或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機變量。3.1.2二維離散型隨機變量定義3.1.311（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達式形式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達式形式表格形式P{X12Pij的性質Pij的性質13例題講解例題講解14例1一個口袋中有三個球，依次標有數(shù)字1，2，2，從中任取一個，不放回袋中，再任取一個，設每次取球時，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。(X,Y)的可能取值為(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).

P{X＝1，Y＝1}=

P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0例1一個口袋中有三個球，依次標有數(shù)字1，2，151/31/31/30(X,Y)的聯(lián)合分布律X/Y12121/31/31/30(X,Y)的聯(lián)合分布律X/Y121216箱內裝有12只開關，其中2只是次品，現(xiàn)從箱內隨機抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。其中：練一練箱內裝有12只開關，其中2只是次品，練一練171010X

Y(X,Y)的聯(lián)合分布律10X(X,Y)的聯(lián)合分布律18例2.設隨機變量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整數(shù)值,求(

X,

Y

)的分布列及F(2,2).解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900例2.設隨機變量X在1,2,3中等可能地取值,Y19=++=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)=++=2/320例：(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：YX-1012

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?+++k=1

k

=例：(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：Y-121YX-1012

-1120XY0Y-101222YX-1012

-1120XYY-101223YX-1012

-1120XYY-101224YX-1012

-1120XYY-101225YX-1012

-1120XYY-101226

Y=-1Y=0X=1X=2

Y=-1Y=0X=1X273.1.3二維連續(xù)型隨機變量3.1.3二維連續(xù)型隨機變量28定義3.1.4(二元連續(xù)型隨機變量)

若存在非負函數(shù)f（x，y），使對任意實數(shù)x，y，二元隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示成如下形式

則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機變量。f（x，y）稱為二元隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).定義3.1.4(二元連續(xù)型隨機變量)若存在非負29二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度的性質

（1）非負性（2）正則性（3）可導性二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度的性質（1）非負性（230幾何解釋=曲頂柱體的體積xof(x,y)G（4）（X,Y)落在平面區(qū)域G上的概率幾何解釋=曲頂柱體的體積xof(x,y)G（4）（X,31例題講解例題講解32例1：已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度

求：⑴系數(shù)A；⑵F(x,y)；⑶P{X<2,Y<1};

(4)P{2X+3Y≤6}例1：已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度33求：⑵F(x,y)；求：⑵F(x,y)；34xy解(3):

P{X<2,Y<1}21{x<2,y<1}f(x,y)≠0xy解(3):P{X<2,Y<1}21{x<2,35322x+3y=6xy0解(4):f(x,y)≠022x+3y=6xy0解(4):f(x,y)≠036二維均勻分布設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為則稱（X,Y)在D上服從均勻分布.其中G是平面上的有界區(qū)域，其面積為SG二維均勻分布設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為則稱（X,37例題講解例題講解38例1：設二維隨機變量（X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，其中G是曲線y=x2和y=x所圍成的區(qū)域，則(X,Y)的聯(lián)合概率密度fx,y=01例1：設二維隨機變量（X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，其39例2、設隨機變量（X，Y）在區(qū)域上服從均勻分布，則=例2、設隨機變量（X，Y）在區(qū)域上服從均勻分布，則=40二維隨機變量的定義、分布函數(shù)課件41二維隨機變量的定義、分布函數(shù)課件42二維隨機變量的定義、分布函數(shù)課件43第三章多維隨機變量及其分布第三章多維隨機變量及其分布44體重X身高Y例2：檢查某大學的全體學生的身體狀況,例1飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標)來確定的.從其中隨機抽取一個學生，分別以X

和Y

表示其體重和身高.多個隨機變量舉例體重X身高Y例2：檢查某大學的全體學生的身體狀況,例1飛453.1二維隨機變量及其分布例如E：抽樣調查15-18歲青少年的身高X與體重Y,以研究當前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。任務：需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質，更需要了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約關系。3.1二維隨機變量及其分布例如E：抽樣調查15-18463.1.1二維隨機變量的定義、分布函數(shù)定義3.1.1

設X、Y為定義在同一樣本空間Ω上的隨機變量，則稱為Ω上的一個二維隨機變量。向量（X，Y）3.1.1二維隨機變量的定義、分布函數(shù)定義3.1.147二維隨機變量（X,Y）的幾何意義二維隨機變量(X,Y)的取值可看作平面上的點（x，y）A二維隨機變量（X,Y）的幾何意義二維隨機變量(X,Y)的取48二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)49定義3.1.2稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機變量，對于任意的實數(shù)x,y.定義3.1.2稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨50二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的含義幾何解釋：

F(x,y)表示隨機點(X

,Y)落在以(x,y)為頂點,且位于該點左下方的無窮矩形內的概率.二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的含義幾何解釋51x1x2y1y2

P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Y52性質（1）性質（2）性質（3）性質（4）二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的性質F(x,y)分別關于X和Y

.

≤F(x,y)≤.

F(x,－

∞)=

；F(－

∞,y)=.

F(－

∞,－

∞)=

；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分別關于X和Y.單調不減；010001右連續(xù)；性質（1）性質（2）性質（3）性質（4）二維隨機變量的聯(lián)合分533.1.2二維離散型隨機變量定義3.1.3

若二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值只有限對或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機變量。3.1.2二維離散型隨機變量定義3.1.354（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達式形式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達式形式表格形式P{X55Pij的性質Pij的性質56例題講解例題講解57例1一個口袋中有三個球，依次標有數(shù)字1，2，2，從中任取一個，不放回袋中，再任取一個，設每次取球時，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。(X,Y)的可能取值為(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).

P{X＝1，Y＝1}=

P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0例1一個口袋中有三個球，依次標有數(shù)字1，2，581/31/31/30(X,Y)的聯(lián)合分布律X/Y12121/31/31/30(X,Y)的聯(lián)合分布律X/Y121259箱內裝有12只開關，其中2只是次品，現(xiàn)從箱內隨機抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。其中：練一練箱內裝有12只開關，其中2只是次品，練一練601010X

Y(X,Y)的聯(lián)合分布律10X(X,Y)的聯(lián)合分布律61例2.設隨機變量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整數(shù)值,求(

X,

Y

)的分布列及F(2,2).解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900例2.設隨機變量X在1,2,3中等可能地取值,Y62=++=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)=++=2/363例：(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：YX-1012

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?+++k=1

k

=例：(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：Y-164YX-1012

-1120XY0Y-101265YX-1012

-1120XYY-101266YX-1012

-1120XYY-101267YX-1012

-1120XYY-101268YX-1012

-1120XYY-101269

Y=-1Y=0X=1X=2

Y=-1Y=0X=1X703.1.3二維連續(xù)型隨機變量3.1.3二維連續(xù)型隨機變量71定義3.1.4(二元連續(xù)型隨機變量)

若存在非負函數(shù)f（x，y），使對任意實數(shù)x，y，二元隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)可