直線的方程兩直線的交點坐標與距離公式課件

名稱方程適用范圍斜截式不能表示垂直于x軸的直線點斜式不能表示垂直于x軸的直線兩點式不能表示垂直于坐標軸的直線截距式不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)能表示平面上任何直線y＝kx＋by－y1＝k(x－x1)提示：截距和距離的區(qū)別：截距可為一切實數(shù)，縱截距是直線與y軸的交點的縱坐標，橫截距是直線與x軸的交點的橫坐標；距離是一個非負數(shù)．名稱方程適用范圍斜截式不能表示垂直于x軸的直線點斜式不能表線段的中點坐標公式若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)且線段P1P2的中點M的坐標為(x，y)，則x＝

且y＝

.

直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點坐標就是方程組

的.2．解3．線段的中點坐標公式2．解3．距離公式(1)兩點間的距離公式：已知點A(x1，y1)、B(x2，y2)，|AB|＝

；(2)點到直線的距離公式：已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0，則d＝

；(3)兩平行線間的距離公式：已知直線l1：Ax＋By＋C1＝0，直

線l2：Ax＋By＋C2＝0，則d＝

.4．距離公式(2)點到直線的距離公式：已知點P(x0，y0)，【思考】

在應(yīng)用點到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么問題？答案：(1)求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；(2)求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計算．【思考】在應(yīng)用點到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式1．過點(1，－1)和(0，－3)的直線在y軸上的截距為(

) A．

B. C．3 D．－3 解析：由斜率公式求得k＝2，∴直線方程為：y＋3＝2x 令x＝0，∴y＝－3. 答案：D1．過點(1，－1)和(0，－3)的直線在y軸上的截距為(若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋＝0相交于一點，則k等于(

)解析：由

得(－1，－2)，代入x＋ky＋k＋得k＝－答案：B2．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋已知點A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方程為(

)A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5解析：kAB＝

則線段AB的垂直平分線的斜率k＝2，又線段AB的中點坐標為

則線段AB的垂直平分線方程為y－＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：B3．已知點A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方已知點(a,2)(a＜0)到直線l：x－y＋1＝0的距離為2，則a等于________．解析：由點到直線的距離公式得：∴|a－1|＝2，又a＜0，∴a＝1－2答案：1－24．已知點(a,2)(a＜0)到直線l：x－y＋1＝0的距離為2確定一條直線需要兩個獨立條件，故求直線方程時就應(yīng)圍繞如何根據(jù)已知條件確定或找出能確定直線方程的兩個條件，從而達到求出直線方程的目的．一般地，已知直線過一點，一般考慮點斜式或斜截式；已知直線過兩點，一般考慮兩點式；已知直線與兩坐標軸相交得到的三角形的相關(guān)條件，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式．確定一條直線需要兩個獨立條件，故求直線方程時就應(yīng)圍繞如何根據(jù)求經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程．思維點撥：選擇截距式和斜截式均可．解：解法一：設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為∵l過點P(3,2)，∴∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【例1】求經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等的直解法二：由題意，所求直線的斜率存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝∴直線l的方程為：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法二：由題意，所求直線的斜率存在且k≠0，求經(jīng)過點A(1,2)，并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程．解：當直線過原點時，截距相等且均為零截距，∴直線方程為y＝2x.當直線不過原點時，可設(shè)方程為：＝1，將(1,2)代入可求得a＝3或a＝－1，∴直線方程為x＋y＝3或x－y＝－1.故所求直線方程為2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.拓展1：求經(jīng)過點A(1,2)，并且在兩個坐標軸上的求直線的方程，要善于根據(jù)條件，合理選用直線方程的形式，用待定系數(shù)法確定其中的參數(shù)，待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)出所求直線方程；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)的方程．求直線的方程，要善于根據(jù)條件，合理選用直線方程的形式，用待定直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，△OAB的面積為12，求直線l的方程．思維點撥：題中△OAB的面積與截距有關(guān)，自然聯(lián)想到直線方程的截距式．【例2】解：解法一：設(shè)直線l的方程為＝1(a>0，b>0)，∴A(a,0)，B(0，b)，∴∴所求直線l的方程為

＝1，即2x＋3y－12＝0.直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x，y軸的正半軸分解法二：設(shè)直線l的方程為y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得直線l在x軸的正半軸上的截距a＝3－令x＝0，得直線l在y軸的正半軸上的截距b＝2－3k，∴ (2－3k)＝24，解得k＝－∴所求直線l的方程為y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.解法二：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－3)，一條直線l過點P(1,4)，且分別交x軸，y軸的正半軸于A、B兩點，O為原點，求△AOB的面積最小時直線l的方程．解：設(shè)直線l：＝1(a，b>0)．因為點P(1,4)在l上，所以

＝1.由1＝所以S△AOB＝ab≥8.當

即a＝2，b＝8時取等號，且此時△AOB的面積最小．故4x＋y－8＝0為所求直線l的方程.變式2：一條直線l過點P(1,4)，且分別交x軸，y應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線的距離公式處理問題時，直線方程應(yīng)化為一般式，特別是兩平行線距離公式中x、y系數(shù)必須相等．過點P(－1,2)引一直線，使它與兩點A(2,3)，B(－4,5)的距離相等，求這條直線方程．【例3】應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線的距離公式處理問題時，直線方解：解法一：設(shè)直線l的方程為y－2＝k

(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－

∴直線l的方程為y－2＝－

即x＋3y－5＝0.當直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝－1，也適合題意．故所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：當AB∥l時，有k＝kAB＝－直線l的方程為y－2＝－

即x＋3y－5＝0.當l過AB中點時，AB中點為(－1,4)．∴直線AB方程為x＝－1，故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0，或x＝－1.解：解法一：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，解法二：在對稱問題中，點關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱，處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個幾何條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解；也可以先求出過點A與l垂直的直線方程，再求中點坐標，處理線關(guān)于線的對稱可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決；直線關(guān)于點的對稱都可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱來處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個通法．在對稱問題中，點關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱，處理求直線l1：y＝2x＋3關(guān)于直線l：y＝x＋1對稱的直線l2的方程．思維點撥：轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱，利用方程組求解．解：解法一：由

知直線l1與l的交點坐標為(－2，－1)，∴設(shè)直線l2的方程為y＋1＝k

(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直線l上任取一點(1,2)，由題設(shè)知點(1,2)到直線l1、l2的距離相等，由點到直線的距離公式得解得k＝(k＝2舍去)，∴直線l2的方程為x－2y＝0.【例4】求直線l1：y＝2x＋3關(guān)于直線l：y＝x＋1解法二：設(shè)所求直線上一點P(x，y)，則在直線l1上必存在一點P1(x0，y0)與點P關(guān)于直線l對稱．由題設(shè)：直線PP1與直線l垂直，且線段PP1的中點P2在直線l上．代入直線l1：y＝2x＋3，得x＋1＝2×(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直線方程為x－2y＝0.解法二：設(shè)所求直線上一點P(x，y)，代入直線l1：y＝2x【方法規(guī)律】1．直線一定有傾斜角，但不一定都存在斜率；因此在求直線方程時，一 定要判斷所求直線是否存在斜率，若斜率存在時再選擇適當?shù)姆匠绦问?求直線方程．2．求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的 系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法．3．重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線上設(shè)一任意點P(x，y)， 再找出x，y的一次關(guān)系式，例如求直線關(guān)于點對稱的直線方程、求直線關(guān) 于直線對稱的直線方程就可用軌跡法來求.【方法規(guī)律】1．直線一定有傾斜角，但不一定都存在斜率；因此在【高考真題】(2009·全國Ⅰ卷)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2

則m的傾斜角可以是①15°

②30°

③45°

④60°

⑤75°其中正確答案的序號是

．(寫出所有正確答案的序號)【高考真題】(2009·全國Ⅰ卷)若直線m被兩平行線l1：x【規(guī)范解答】解析：兩平行線間的距離為d＝

如圖所示，可知直線m與l1、l2的夾角為30°，l1、l2的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.答案：①⑤點評：最常出現(xiàn)的錯誤就是漏解．【規(guī)范解答】解析：兩平行線間的距離為d＝ 如圖所示，【探究與研究】本題的目的是考查考生利用直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間的距離等基礎(chǔ)知識靈活解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想的運用．【探究與研究】本題的目的是考查考生利用直線的斜率、直線的傾斜該類問題的一般解決方法是通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角問題．如圖所示，設(shè)直線m被兩條平行線l1、l2所截得的線段長度為l

，兩平行線間的距離是d.當l=d時，直線m與l1、l2垂直，根據(jù)垂直關(guān)系解決；當l

>d時，根據(jù)圖中的直角三角形可以求出直線m與直線l1、l2的夾角，根據(jù)這個夾角和直線l1、l2的傾斜角就可以求出直線m的傾斜角．該類問題的一般解決方法是通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩直線本題也可以直接設(shè)出直線方程求解：當直線m的斜率不存在時，不妨設(shè)直線m的方程為x＝0，此時直線m與直線l1，l2的交點是(0,1)，(0,3)，這兩點之間的距離為2，不等于2 故直線m的斜率一定存在．設(shè)直線m：y＝kx(這樣設(shè)不失一般性)，與l1的方程聯(lián)立得交點坐標是

與l2的方程聯(lián)立得交點坐標是

根據(jù)兩點間的距離公式得

,化簡，得k2－4k＋1＝0，解得k＝2±

故直線m的傾斜角是15°或75°.本題也可以直接設(shè)出直線方程求解：當直線m的斜率不存在時，不妨名稱方程適用范圍斜截式不能表示垂直于x軸的直線點斜式不能表示垂直于x軸的直線兩點式不能表示垂直于坐標軸的直線截距式不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)能表示平面上任何直線y＝kx＋by－y1＝k(x－x1)提示：截距和距離的區(qū)別：截距可為一切實數(shù)，縱截距是直線與y軸的交點的縱坐標，橫截距是直線與x軸的交點的橫坐標；距離是一個非負數(shù)．名稱方程適用范圍斜截式不能表示垂直于x軸的直線點斜式不能表線段的中點坐標公式若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)且線段P1P2的中點M的坐標為(x，y)，則x＝

且y＝

.

直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點坐標就是方程組

的.2．解3．線段的中點坐標公式2．解3．距離公式(1)兩點間的距離公式：已知點A(x1，y1)、B(x2，y2)，|AB|＝

；(2)點到直線的距離公式：已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0，則d＝

；(3)兩平行線間的距離公式：已知直線l1：Ax＋By＋C1＝0，直

線l2：Ax＋By＋C2＝0，則d＝

.4．距離公式(2)點到直線的距離公式：已知點P(x0，y0)，【思考】

在應(yīng)用點到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么問題？答案：(1)求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；(2)求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計算．【思考】在應(yīng)用點到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式1．過點(1，－1)和(0，－3)的直線在y軸上的截距為(

) A．

B. C．3 D．－3 解析：由斜率公式求得k＝2，∴直線方程為：y＋3＝2x 令x＝0，∴y＝－3. 答案：D1．過點(1，－1)和(0，－3)的直線在y軸上的截距為(若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋＝0相交于一點，則k等于(

)解析：由

得(－1，－2)，代入x＋ky＋k＋得k＝－答案：B2．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋已知點A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方程為(

)A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5解析：kAB＝

則線段AB的垂直平分線的斜率k＝2，又線段AB的中點坐標為

則線段AB的垂直平分線方程為y－＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：B3．已知點A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方已知點(a,2)(a＜0)到直線l：x－y＋1＝0的距離為2，則a等于________．解析：由點到直線的距離公式得：∴|a－1|＝2，又a＜0，∴a＝1－2答案：1－24．已知點(a,2)(a＜0)到直線l：x－y＋1＝0的距離為2確定一條直線需要兩個獨立條件，故求直線方程時就應(yīng)圍繞如何根據(jù)已知條件確定或找出能確定直線方程的兩個條件，從而達到求出直線方程的目的．一般地，已知直線過一點，一般考慮點斜式或斜截式；已知直線過兩點，一般考慮兩點式；已知直線與兩坐標軸相交得到的三角形的相關(guān)條件，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式．確定一條直線需要兩個獨立條件，故求直線方程時就應(yīng)圍繞如何根據(jù)求經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程．思維點撥：選擇截距式和斜截式均可．解：解法一：設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為∵l過點P(3,2)，∴∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【例1】求經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等的直解法二：由題意，所求直線的斜率存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝∴直線l的方程為：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法二：由題意，所求直線的斜率存在且k≠0，求經(jīng)過點A(1,2)，并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程．解：當直線過原點時，截距相等且均為零截距，∴直線方程為y＝2x.當直線不過原點時，可設(shè)方程為：＝1，將(1,2)代入可求得a＝3或a＝－1，∴直線方程為x＋y＝3或x－y＝－1.故所求直線方程為2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.拓展1：求經(jīng)過點A(1,2)，并且在兩個坐標軸上的求直線的方程，要善于根據(jù)條件，合理選用直線方程的形式，用待定系數(shù)法確定其中的參數(shù)，待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)出所求直線方程；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)的方程．求直線的方程，要善于根據(jù)條件，合理選用直線方程的形式，用待定直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，△OAB的面積為12，求直線l的方程．思維點撥：題中△OAB的面積與截距有關(guān)，自然聯(lián)想到直線方程的截距式．【例2】解：解法一：設(shè)直線l的方程為＝1(a>0，b>0)，∴A(a,0)，B(0，b)，∴∴所求直線l的方程為

＝1，即2x＋3y－12＝0.直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x，y軸的正半軸分解法二：設(shè)直線l的方程為y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得直線l在x軸的正半軸上的截距a＝3－令x＝0，得直線l在y軸的正半軸上的截距b＝2－3k，∴ (2－3k)＝24，解得k＝－∴所求直線l的方程為y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.解法二：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－3)，一條直線l過點P(1,4)，且分別交x軸，y軸的正半軸于A、B兩點，O為原點，求△AOB的面積最小時直線l的方程．解：設(shè)直線l：＝1(a，b>0)．因為點P(1,4)在l上，所以

＝1.由1＝所以S△AOB＝ab≥8.當

即a＝2，b＝8時取等號，且此時△AOB的面積最?。?x＋y－8＝0為所求直線l的方程.變式2：一條直線l過點P(1,4)，且分別交x軸，y應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線的距離公式處理問題時，直線方程應(yīng)化為一般式，特別是兩平行線距離公式中x、y系數(shù)必須相等．過點P(－1,2)引一直線，使它與兩點A(2,3)，B(－4,5)的距離相等，求這條直線方程．【例3】應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線的距離公式處理問題時，直線方解：解法一：設(shè)直線l的方程為y－2＝k

(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－

∴直線l的方程為y－2＝－

即x＋3y－5＝0.當直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝－1，也適合題意．故所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：當AB∥l時，有k＝kAB＝－直線l的方程為y－2＝－

即x＋3y－5＝0.當l過AB中點時，AB中點為(－1,4)．∴直線AB方程為x＝－1，故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0，或x＝－1.解：解法一：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，解法二：在對稱問題中，點關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱，處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個幾何條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解；也可以先求出過點A與l垂直的直線方程，再求中點坐標，處理線關(guān)于線的對稱可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決；直線關(guān)于點的對稱都可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱來處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個通法．在對稱問題中，點關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱，處理求直線l1：y＝2x＋3關(guān)于直線l：y＝x＋1對稱的直線l2的方程．思維點撥：轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱，利用方程組求解．解：解法一：由

知直線l1與l的交點坐標為(－2，－1)，∴設(shè)直線l2的方程為y＋1＝k

(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直線l上任取一點(1,2)，由題設(shè)知點(1,2)到直線l1、l2的距離相等，由點到直線的距離公式得解得k＝(k＝2舍去)，∴直線l2的方程為x－2y＝0.【例4】求直線l1：y＝2x＋3關(guān)于直線l：y＝x＋1解法二：設(shè)所求直線上一點P(x，y)，則在直線l1上必存在一點P1(x0，y0)與點P關(guān)于直線l對稱．由題設(shè)：直線PP1與直線l垂直，且線段PP1的中點P2在直線l上．代入直線l1：y＝2x＋3，得x＋1＝2×(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直線方程為x－2y＝0.解法二：設(shè)所求直線上一點P(x，y)，代入直線l1：y＝2x【方法規(guī)律】1．直線一定有傾斜角，但不一定都存在斜率；因此在