第4章離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與濾波器設(shè)計(jì)3fir

1、寫(xiě)出帕塞瓦爾定理2、給出hd(n)3、求W(ejw)124.4

FIR濾波器設(shè)計(jì)方法無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器存在明顯的缺點(diǎn)：相位的非線性。日常生活中，像圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸?shù)榷家笮诺谰哂芯€性相位特性。若要逼近線性相位，則需采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，又將大大增加系統(tǒng)的復(fù)雜度。3優(yōu)點(diǎn)：可以具有嚴(yán)格的線性相位，同時(shí)具有任意的幅度特性。FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列，因而濾波器一定是穩(wěn)定的。對(duì)于任何非因果有限長(zhǎng)序列，只要經(jīng)過(guò)一定的延時(shí)都能變成因果的有限長(zhǎng)序列，因而總能用因果系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)?？梢杂每焖俑道锶~變換(FFT)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，提高運(yùn)算效率。缺點(diǎn)：取得很好的幅度衰減特性，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)的階次比IIR濾波器高。FIR濾波器特點(diǎn)4最感興趣的是具有線性相位的FIR濾波器。對(duì)相位不作特殊要求的FIR濾波器，一般可以用IIR濾波器來(lái)代替IIR濾波器設(shè)計(jì)中的各種變換法對(duì)FIR濾波器設(shè)計(jì)是不適用的，這是因?yàn)镮IR濾波器是利用有理分式的系統(tǒng)函數(shù)，而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是多項(xiàng)式。注意：5一、FIR濾波器最優(yōu)化準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIR濾波器主要有兩種最優(yōu)化準(zhǔn)則均方誤差最小準(zhǔn)則最大誤差最小化準(zhǔn)則此處我們主要介紹均方誤差最小準(zhǔn)則下的濾波器設(shè)計(jì)。6均方誤差最小準(zhǔn)則誤差能量最小若用，表示要求的頻率響應(yīng)，用表示實(shí)際得到的濾波器頻率響應(yīng)，以表示頻率響應(yīng)誤差，即則均方誤差為：設(shè)計(jì)目的選擇一組，便均方誤差最小。7由于：用FIR濾波器來(lái)逼近，故長(zhǎng)度是有限長(zhǎng)的，可得：8按照帕塞瓦公式有：要使e2最小，就必須使第一項(xiàng)求和式最小，即希望有：即：9結(jié)論:最小均方誤差準(zhǔn)則所要求的設(shè)計(jì)結(jié)果為矩形窗設(shè)計(jì)法。矩形窗設(shè)計(jì)的濾波器過(guò)渡帶最窄由于吉布斯（Gibbs）效應(yīng)，窗譜的肩峰過(guò)大，造成所設(shè)計(jì)出的濾波器:通帶起伏不均勻且過(guò)大，阻帶衰減不夠小，不能滿足某些工程要求。10設(shè)計(jì)具有有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)h(n)的濾波器來(lái)逼近理想濾波器頻率響應(yīng)。指標(biāo)是在頻域提出的設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的二、

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法11我們以一個(gè)截止頻率為的線性相位的理想低通濾波器為例來(lái)加以討論。設(shè)濾波器的群延時(shí)為,即：12hd(n)是中心點(diǎn)在α的偶對(duì)稱無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，要得到有限長(zhǎng)的h(n)，一種最簡(jiǎn)單的辦法就是取矩形窗RN(n)，即：若有線性相位的約束，窗函數(shù)的選擇必須保證所截取h(n)是對(duì)稱的。13為分析方便，選取，所以有：14Hd(n)及W(n)的頻譜特性15窗函數(shù)的頻率特性為：對(duì)矩形窗，則有：可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)：加窗對(duì)濾波器頻率響應(yīng)的影響16

在之內(nèi)為一個(gè)主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣17如果將理想頻率響應(yīng)也寫(xiě)成：其中：因此，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)為：顯然，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)也是線性相位的。

矩形窗所設(shè)計(jì)濾波器的頻率特性18FIR數(shù)字濾波器的幅度函數(shù)19總結(jié):(1)理想幅度特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)的主瓣寬度此處過(guò)渡帶是指兩個(gè)肩峰之間的寬度，與濾波器的真正過(guò)渡帶有一些區(qū)別濾波器的過(guò)渡帶比這個(gè)數(shù)值要小(2)在截止頻率的兩邊的地方出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)面積20主瓣帶寬和過(guò)渡帶寬的關(guān)系21（3）增加截取長(zhǎng)度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為改變N只能：改變幅度絕對(duì)值大小改變窗譜的主瓣寬度、濾波器過(guò)度帶寬不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例，最大肩峰則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。22矩形窗截?cái)嘣斐杉绶鍨?.95%，則阻帶最小衰減為這個(gè)衰減量在工程上常常是不夠的。為了加大阻帶衰減，需要改善窗函數(shù)。（二）、各種常用窗函數(shù)23通常希望窗函數(shù)滿足兩項(xiàng)要求:窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶;盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)面積，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。在濾波器階數(shù)給定的情況下，這兩項(xiàng)要求往往不能同時(shí)得到滿足的通常采用增加主瓣寬度（犧牲過(guò)渡帶寬）以換取對(duì)旁瓣的抑制，為了得到平坦的通帶幅度響應(yīng)和較小的阻帶波紋。24若窗函數(shù)在邊沿處(n=0和n=N-l附近)比矩形窗變化要平滑而緩慢：窗邊沿不再陡峭，則高頻分量減小，阻帶衰減增大。但窗譜的主瓣寬度卻比矩形窗的要寬，造成濾波器幅度函數(shù)過(guò)渡帶的加寬。251、矩形窗2、三角形（Bartlett）窗

“

”在時(shí)成立；此時(shí)主瓣寬度為,阻帶最小衰減為25db。常用的窗函數(shù)26

3、漢寧（Henning）窗（升余弦窗）2728當(dāng)時(shí)，，窗譜的幅度函數(shù)為：主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為，但是阻帶最小衰減變?yōu)?4db。29對(duì)升余弦改進(jìn)，可得到旁瓣更小的效果：

99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，主瓣寬度相同為，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%，此時(shí)阻帶最小衰減為53db

。4、海明（Hamming）窗（改進(jìn)的升余弦窗）30為抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為，此時(shí)，阻帶最小衰減為74db

。5、布拉克曼窗（Blackman）31一種適應(yīng)性強(qiáng)的窗，其窗函數(shù)的表示式為是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)，它可以同時(shí)調(diào)整主瓣寬度與旁瓣電平越大，則窗越尖銳，而頻譜的旁瓣相對(duì)越小，但主辯寬度也相應(yīng)增加。主瓣寬度同時(shí)也可以由窗口長(zhǎng)度調(diào)節(jié)6、凱澤窗（Kaiser）32

過(guò)渡帶通帶紋波阻帶最小衰減/dB2.1203.3844.5385.6586.7647.8658.96010.0563.00/N4.46/N5.86/N7.24/N8.64/N10.0/N11.4/N12.8/N0.270.08680.02740.008680.002750.0008680.0002750.000087-30-40-50-60-70-80-90-100

凱澤窗性能一覽表33當(dāng)=0時(shí)，相當(dāng)于矩形窗，這是因?yàn)椤．?dāng)=5.44時(shí)，相當(dāng)于海明窗，但凱澤窗旁瓣頻譜收斂得更快。海明窗主瓣之外的能量為0.037%

，凱澤窗主瓣之外的能量為0.012%，因而能量更加集中在主瓣中。當(dāng)=8.5時(shí)，相當(dāng)于布拉克曼窗。凱澤窗函數(shù)是以n=（N-1）/2為對(duì)稱中心呈偶對(duì)稱的，即從n=（N-1）/2這一中點(diǎn)向兩邊變化時(shí)逐漸減小，最邊上兩點(diǎn)34

窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值/Db主瓣寬度/過(guò)渡帶寬度/（阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-572444650.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80

六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較3536給定過(guò)渡帶寬，阻帶衰減，則可求得凱澤窗FIR濾波器的階數(shù)N（M=N-1)和形狀參數(shù)

，即最小阻帶衰減只由窗形狀決定，不受N的影響而過(guò)渡帶的寬度則隨窗寬N的增加而減小。凱澤窗經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)法37（1）首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)；（2）其次，求（3）再次，由過(guò)渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗的形狀及N的大小，一般N要通過(guò)幾次試探而最后確定；（4）求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)（5）求，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求，否則需重新設(shè)計(jì)。（三）、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟38窗函數(shù)設(shè)計(jì)舉例低通濾波器所要求設(shè)計(jì)的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：39關(guān)鍵參數(shù)確定由于窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的通帶波紋與阻帶波紋相同，因此為達(dá)到預(yù)期指標(biāo)，需要以阻帶波紋指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)。由于窗函數(shù)設(shè)計(jì)法在幅度間斷點(diǎn)處逼近的對(duì)稱性，因此所對(duì)應(yīng)的理想低通濾波器的截止頻率為：40由凱澤窗的設(shè)計(jì)公式可以得到：因此，濾波器的單位沖激響應(yīng)為：41第II類線性相位系統(tǒng)421、四大類FIR線性相位濾波器的長(zhǎng)度，對(duì)稱特性，及特殊零點(diǎn)2、求h(n)3、求h(n)4344高通濾波器和多通帶濾波器1G2G3G4w1w2w3πG3wcπ45具有廣義線性相位的理想高通濾波器的頻率響應(yīng)為：其單位沖激響應(yīng)為：高通濾波器46所要求設(shè)計(jì)的高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：根據(jù)凱澤窗設(shè)計(jì)公式可得到：由窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的對(duì)稱性可得：47第I類線性相位高通濾波器4849通過(guò)驗(yàn)證計(jì)算可得此時(shí)的通帶逼近誤差為0.0213，高于預(yù)定指標(biāo)0.021，可以通過(guò)增大β的方法而達(dá)到預(yù)定指標(biāo)；也可以保持β不變將M增大至25，調(diào)整過(guò)渡帶變窄而滿足指標(biāo)，但是此時(shí)為II類線性相位系統(tǒng)，在ω=π處為零，不適合高通系統(tǒng)，因此可以將M增大至26就會(huì)解決此問(wèn)題。5051關(guān)于高通濾波器設(shè)計(jì)的討論可以推廣到多通帶和多阻帶的情況。G1G2G3G4w1w2w3π52如果令多頻帶濾波器的相位為線性則相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為：注意：逼近誤差與跳變幅度成正比，在設(shè)計(jì)時(shí)需要進(jìn)行指標(biāo)的歸一化，利用最苛刻的指標(biāo)進(jìn)行凱澤窗設(shè)計(jì)53離散時(shí)間微分器理想的連續(xù)時(shí)間微分器的頻率響應(yīng)為：其理想沖激響應(yīng)為：54零相微分器55M=10,b=2.456M=5,b=2.457頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejw)加以等間隔抽樣，即：然后以此作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即令：三、

頻率抽樣法 58有限長(zhǎng)序列的頻域重構(gòu)596061頻率抽樣點(diǎn)上濾波器實(shí)際頻率響應(yīng)嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等。抽樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是由各抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成的，有一定的逼近誤差。逼近誤差取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀和采樣的點(diǎn)數(shù).62如果設(shè)計(jì)的是線性相位的FIR數(shù)字濾波器，則其抽樣值的幅度和相位一定要滿足對(duì)稱的約束條件。第I類線性相位FIR濾波器：幅度函數(shù)應(yīng)為偶對(duì)稱的：如果抽樣值也用幅值與相角表示，則：必須滿足：線性相位的約束63對(duì)于第二類,第三類及第四類線性相位FIR濾波器，幅度和相位同樣應(yīng)滿足相應(yīng)的約束關(guān)系（幅度要滿足奇偶對(duì)稱，相位為廣義線性相位）。64對(duì)進(jìn)行頻率抽樣，就是在z平面單位圓上的N個(gè)等間隔點(diǎn)上抽取出頻率響應(yīng)值。為保證線性相位特性，在單位圓上可以有兩種抽樣方式：第一種是第一個(gè)抽樣點(diǎn)在處(或)第二種是第一個(gè)抽樣點(diǎn)在處(或)每種方式可分為N是偶數(shù)、奇數(shù)兩種頻率抽樣的兩種方法6566第一種頻率抽樣(I型)為：其內(nèi)插公式保持不變。67第二種頻率抽樣(Ⅱ型)為：H(z)??

69求離散傅里葉反變換，可得由此得出：求z變換，可得：70過(guò)渡帶抽樣優(yōu)化設(shè)計(jì)為使逼近誤差更小，也就是減小在通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的陡然變化而引起的起伏振蕩。與窗函數(shù)法的平滑截?cái)囝愃剖估硐腩l率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)的邊緣加上一些過(guò)渡的抽樣點(diǎn)；從而增加過(guò)渡帶，減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。過(guò)渡抽樣點(diǎn)上的取值不同，效果也就不同。7172一般過(guò)渡帶取二、三點(diǎn)抽樣值即可得到滿意結(jié)果。在低通設(shè)計(jì)中，不加過(guò)渡抽樣點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為-2OdB，一點(diǎn)過(guò)渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計(jì)，阻帶最小衰減可提高到-4O到-54dB左右，二點(diǎn)過(guò)渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計(jì)可達(dá)-6OdB到-75dB左右，三點(diǎn)過(guò)渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計(jì)則可達(dá)-80dB到-95dB左右。頻率抽樣法的優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接設(shè)計(jì)，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計(jì)

734.5

IIR與FIR濾波器特性比較1、在相同的技術(shù)指標(biāo)下，IIR濾波器可用比FIR濾波器較少的階數(shù)來(lái)滿足指標(biāo)的要求，所用的存儲(chǔ)單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。例如，用頻率抽樣法設(shè)計(jì)