《復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試試卷含

一．填空題（每題3分，共計(jì)15分）1．1i32k,k0,1,22的幅角是（3）；2.Ln(1i)的主值是（1ln23i）；243.f(z)1，f(5)(0)（0），1z24．z0是zsinzz4的（一級(jí)）極點(diǎn)；5．f(z)1，Res[f(z),]（-1）；z二．選擇題（每題4分，共24分）1．剖析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為（B）；（A）f(z)uxiuy；（B）f(z)uxiuy；（C）f(z)uxivy；（D）f(z)uyivx.2．C是正向圓周z3，若是函數(shù)f(z)（D），則f(z)d0．C33(z1)3(z1)3（A）z2；（B）z2；（C）(z2)2；（D）(z2)2.3．若是級(jí)數(shù)n1cnzn在z2點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在（C）（A）z2點(diǎn)條件收斂；（B）z2i點(diǎn)絕對(duì)收斂；（C）z1i點(diǎn)絕對(duì)收斂；（D）z12i點(diǎn)必然發(fā)散．４．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(B)（A）若是函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，則f(z)在z0點(diǎn)必然剖析；(B)若是f(z)在C所圍成的地域內(nèi)剖析，則Cf(z)dz0（C）若是Cf(z)dz0，則函數(shù)f(z)在C所圍成的地域內(nèi)必然剖析；（D）函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域內(nèi)剖析的充分必要條件是

優(yōu)選文檔u(x,y)、v(x,y).優(yōu)選文檔在該地域內(nèi)均為調(diào)停函數(shù)．5．以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是（D）．(A)、為sin1z的可去奇點(diǎn)；(B)、為sinz的本性奇點(diǎn)；(C)、為1的孤立奇點(diǎn).(D)、為1的孤立奇點(diǎn)；1sinzsinz三．按要求完成以下各題（每題10分，共40分）（1）．設(shè)f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是剖析函數(shù)，求a,b,c,d.解：因?yàn)閒(z)剖析，由C-R條件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。（2）．計(jì)算ezdz其中C是正向圓周：C(z1)2z解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗張開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過(guò)程因?yàn)楹瘮?shù)f(z)ez在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)z10,z21，分別以z1,z2為圓心畫互不(z1)2z相交互不包含的小圓c1,c2且位于c內(nèi)ezezez2dz(z1)2dzz2dzC(z1)zC1zC2(z1)2i(ez)2iez2izz1(z1)2z0無(wú)論采用那種方法給出公式最少給一半分，其他酌情給分。z15（3）．解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)全部奇點(diǎn)均在：z3內(nèi)，由留數(shù)定理.優(yōu)選文檔z152iRes[f(z),]z3(1z2)2(2z4)3dz-----（5分）1f(z)z2

2iRes[f(1)1]zz2(1)15z(11)2(2(1)4)3z2z

----（8分）12z1)113有唯一的孤立奇點(diǎn)z0,f(2z(1z2)2(2z41)zzRes[f(1)12,0]limzf(1)12lim(1z22141)31zzz0zzz0)(2zz15z4)3dz2i--------（10分）z3(1z2)2(2（4）函數(shù)f(z)z(z21)(z2)3(z3)2在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么種類的奇點(diǎn)？，若是有極點(diǎn)，(sinz)3請(qǐng)指出它的級(jí).解：f(z)z(z21)(z2)3(z3)2的奇點(diǎn)為zk,k0,1,2,3,，(sinz)3（1）zk,k0,1,2,3,為（sin30的三級(jí)零點(diǎn)，z）（2）z0，z1,為f(z)的二級(jí)極點(diǎn)，z2是f(z)的可去奇點(diǎn)，3）z3為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，（4）z2,3,4，為f(z)的三級(jí)極點(diǎn)；（5）為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。備注：給出全部奇點(diǎn)給5分，其他酌情給分。四、（本題14分）將函數(shù)1在以下地域內(nèi)張開成羅朗級(jí)數(shù)；f(z)z2(z1)（1）0z11，（2）0z1，（3）1z解：（1）當(dāng)0z11.優(yōu)選文檔f(z)11[1z2(z1)](z1)(z11)而[1][(1)n(z1)n](z11)n0(1)nn(z1)n1n0f(z)n0(1)n1n(z1)n2-------6分（2）當(dāng)0z1f(z)11=1znz2(z1)z2(1z)z2n0zn2-------10分n0（3）當(dāng)1zf(z)11z2(z1)31(1)zzf(z)1(1)n1------14分z3n0zn0zn3一．填空題（每題3分，共計(jì)15分）1．2,k01,2,242.Ln(1i)的主值是（1ln2i4）；23.f(z)1，f(7)(0)（0）；1z24．f(z)zsinz，Res[f(z),0]（0）；z3f(z)15．z2，Res[f(z),]（0）；.優(yōu)選文檔得分二．選擇題（每題3分，共計(jì)15分）1．x2y2是剖析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的實(shí)部，則（A）；（A）f(z)2(xiy)；（B）f(z)2(xiy)；（C）f(z)2(yix)；（D）f(z)2(yix).2．C是正向圓周z2，若是函數(shù)f(z)（A），則f(z)dz0．C1sinz；（C）(z11（A）z1；（B）z3)2；（D）(z1)2.3．若是級(jí)數(shù)cnzn在z2i點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在(C)n1（A）z2點(diǎn)條件收斂；（B）z2i點(diǎn)絕對(duì)收斂；（C）z1i點(diǎn)絕對(duì)收斂；（D）z12i點(diǎn)必然發(fā)散．４．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(C)（A）若是函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，則f(z)在z0點(diǎn)必然剖析；(B)若是fzdzf(z)C()0,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線,則在C所圍成的地域內(nèi)必然剖析；（C）函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)剖析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)必然可以張開成為zz0的冪級(jí)數(shù)，而且張開式是唯一的；（D）函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域內(nèi)剖析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該地域內(nèi)均為調(diào)停函數(shù)．5．以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是（C）．（A）lnz是復(fù)平面上的多值函數(shù)；（B）cosz是無(wú)界函數(shù)；（C）sinz是復(fù)平面上的有界函數(shù)；（D）ez是周期函數(shù)．得分三．按要求完成以下各題（每題10分，共計(jì)40分）（1）求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是剖析函數(shù)，解：因?yàn)閒(z)剖析，由C-R條件.優(yōu)選文檔uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。（2）．1dz．其中C是正向圓周z2；Cz(z1)2解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗張開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過(guò)程因?yàn)楹瘮?shù)f(z)1在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)z10,z21，分別以z1,z2為圓心畫互不(z1)2z相交互不包含的小圓c1,c2且位于c內(nèi)1121dz(z1)zdzC(z1)2zdzC2(z1)2zC12i(1)2i10zz1(z1)2z01（3）．計(jì)算z3ezdz，其中C是正向圓周z2；C(1z)解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)全部奇點(diǎn)均在：z2內(nèi)，由留數(shù)定理z2f(z)dz2iRes[f(z),]2ic1-----（5分）1z11z3ezz2ezz2(1111)(1111)(1z)1z2!z23!z3zz2z31z(z2z111)(1111)2!3!z4!z2zz2z3.優(yōu)選文檔c1(1111)832!3!zf(z)dz82i23(z21)(z2)3（4）函數(shù)f(z)(sinz)3在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么種類的奇點(diǎn)？，若是有極點(diǎn)，請(qǐng)指出它的級(jí).f(z)的奇點(diǎn)為zk,k0,1,2,3,，zk,k0,1,2,3,30的三級(jí)零點(diǎn)，為（sinz）z1,為f(z)的二級(jí)極點(diǎn)，z2是f(z)的可去奇點(diǎn)，z0,2,3,4，為f(z)的三級(jí)極點(diǎn)；為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。給出全部奇點(diǎn)給5分。其他酌情給分。得分四、（本題14分）將函數(shù)f(z)1在以下地域內(nèi)張開成羅朗級(jí)數(shù)；z2(z1)（1）0z11，（2）0z1，（3）1z（1）0z11，（2）0z1，（3）1z解：（1）當(dāng)0z11f(z)111]1)(z[z