點、線、面的投影

機械制圖第三章點、直線、平面的投影第一節(jié)投影法的基本知識第二節(jié)點的投影第三節(jié)直線的投影第四節(jié)平面的投影第五節(jié)直線與平面、平面與平面的相對位置第三章點、直線、平面的投影擂臺爭霸賽規(guī)則1、以宿舍為單位分組，小組成員合作回答問題，積分為小組內(nèi)部成員共同財產(chǎn)，小組積分按照每月結(jié)算，月初積分歸零，但是總的積分為整組成員平時成績，如果出現(xiàn)小組內(nèi)部成員沒有貢獻(xiàn)的現(xiàn)象，小組內(nèi)部可以將其分出小組；2、每組可以根據(jù)老師設(shè)定的分?jǐn)?shù)進(jìn)行選題，題目盡量根據(jù)難易程度設(shè)定分?jǐn)?shù)；3、如果出現(xiàn)小組選題紛爭現(xiàn)象，可以現(xiàn)場商議和平解決；4、如果出現(xiàn)小組解決不了問題的現(xiàn)象，其他小組可以繼續(xù)解決，分?jǐn)?shù)按照功勞大小進(jìn)行分?jǐn)偅?、小組解決完問題可以向其他小組成員挑戰(zhàn)，提問題出題目，如果對方無法回答，可以扣對方相應(yīng)分?jǐn)?shù)歸提問方。（討論稿）一、投影的概念投影——空間物體在光線的照射下，在地上或墻上產(chǎn)生的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。投影法——在投影面上作出物體投影的方法稱為投影法。§3--1

投影法的基本知識預(yù)習(xí)

2分4分4分6分1、中心投影法：全部投影線都從一點投射出。H特性：投影大小與物體和投影面之間距離有關(guān)。二、投影法的分類投射中心投射線S投影面ABCabc2、平行投影法：（1）正投影法：（主要學(xué)習(xí)此種投影方法）投射線互相平行且垂直于投影面特性：投影大小與物體和投影面之間距離無關(guān)。投射方向P投影面所有投影線都相互平行。（2）斜投影法：投射線互相平行但不垂直于投影面P特性：投影大小與物體和投影面之間距離無關(guān)。投射方向投影線傾斜于投影面三、物體的三面投影圖1、三面投影圖的形成三投影面體系由三個相互垂直的投影面所組成正立投影面簡稱正面。水平投影面簡稱水平面。側(cè)立投影面簡稱側(cè)面。兩投影面的交線稱為投影軸OX、OY、OZ。VHWXYZO2、物體在三投影面體系中的投影正面投影—由前向后投影；水平面投影—由上向下投影；側(cè)面投影—由左向右投影。3、三投影面的展開VHWOXYHZYW側(cè)面W繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90ο。水平面H繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90ο。規(guī)定：正面V保持不動。VHWXYZO俯長主高上前后下上左右下前后右左4、位置關(guān)系和投影關(guān)系：5、方位關(guān)系俯視圖——在主視圖的下方左視圖——在主視圖的右方主、俯視圖—長對正（等長）主、左視圖—高平齊（等高）俯、左視圖—寬相等（等寬）主視圖—反映物體的上下和左右俯視圖—反映物體的前后和左右左視圖—反映物體的前后和上下注：俯、左視圖靠近主視圖的一邊，表示物體的后表面；遠(yuǎn)離主視圖的一邊，表示物體的前表面。左寬主左俯4分6分預(yù)習(xí)8分§3--2點的投影一、點在兩投影面體系中的投影過A作垂直于V、H面的投射線Aa′、Aa，分別與H面交于a，與V面交于a′，a、a′即為點A的兩面投影。VHOXAaa'VVHOX實際作圖時不畫投影面邊框。aa′axa′aOXHOXAaa′Vaxax點的兩面投影規(guī)律：（1）點的兩面投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸，即aa'⊥ox；（2）點的投影到投影軸的距離，等于該點到相應(yīng)投影面的距離，即：

a'ax=Aaaax=Aa'二、點在三投影面體系中的投影aVHWOXYHYW

Za'a"XYHYWZOa'a"a規(guī)定：空間點A用大寫字母表示，在H面的投影用a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。VHWXYZOa'aa"Aaxazay點的三面投影規(guī)律：（1）點的投影連線垂直于投影軸。即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz（2）點的投影到投影軸的距離，等于該點的坐標(biāo)，也就是該點到相應(yīng)投影面的距離。三、點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系：

將投影面體系當(dāng)作空間直角坐標(biāo)系，把V、H、W當(dāng)作坐標(biāo)面，投影軸ox、oy、oz當(dāng)作坐標(biāo)軸，o作為原點。點A的空間位置可以用直角坐標(biāo)（x，y，z）來表示。點A的x坐標(biāo)值=oax=aay=a'az=Aa"反映點A到W面的距離。Y坐標(biāo)值=oay=aax=a"az=Aa'反映點A到V面的距離。Z坐標(biāo)值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映點A到H面的距離。Oa"aywXYHYWZaa'axazayxyz

a由點A的x、y值確定，a'由點A的x、Z確定，a"由點A的y、z值確定。VHWXYZOa'aa"Aaxazay例1、已知點的坐標(biāo)值為：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解：（1）量取坐標(biāo)值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作點的投影。102010練習(xí)題習(xí)題集第20頁第1—2題例2、已知各點的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點對投影面的相對位置。ab'c點A的三個坐標(biāo)值均不為0，A為一般位置。點B的Z坐標(biāo)為0，故點B為H面上的點。點C的x、y坐標(biāo)為0，故點C為z軸上的點。bb"c'c"xyHywzoa'a"z練習(xí)題習(xí)題集第21頁第3題四、兩點的相對位置和重影點：

1、兩點的相對位置要在投影圖上判斷空間兩點的相對位置，應(yīng)根據(jù)這兩點在每個的面投影關(guān)系和坐標(biāo)差來確定。例：由投影圖判斷A、B兩點的空間位置。aa'bb'XOYHYWZa"b"（1）由A、B兩點V、H面投影可確定點A在點B左方。（2）由A、B的H、W面投影可確定A在B前方。（3）由A、B的V、W面投影可確定A在B下方。因此點A位于點B左、前、下方。2、重影點重影點——空間兩點在一個面的投影重合于一點叫做重影點。如圖：C、D兩點的水平投影證明影為一點。OXc（d）c'd'又因點C在點D的正上方，C點可見，D點被遮蓋。

作圖時不可見點加括號。結(jié)論：如果兩個點的某面投影重合時，則對該投影面的投影坐標(biāo)值大者為可見，小者為不可見。例：已知點D的三面投影，點C在點D的正前方15mm，求作點C的三面投影，并判別其投影的可見性。解：由已知條件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm∴點C、D在V面上的投影重影。

c

c'c"又∵YC>YD∴C的V面投影為可見點，則D的V面投影為不可見點。YH

d'OXYWZdd"()YWZVHXOAa'a"aBb'bVHWXYZbBAb'b"a"aa'WVHXYOZABaba"b"(b')a'XYWYHZaa"bb"c"cc'a'b'1、點A在V面上，故YA=02、點B在X軸上，故ZB=YB=03、點C在原點上，故

Zc=Yc=Xc=0XYWOYHZaa"bb"a'b'XYWOYHZaa"bb"a'（b‘）點A在點B的上方（ZA＞ZB)點A在點B的右方（XA＜XB)點A在點B的前方（YA＞YB)點A在點B的正前方(XA=XBZA=ZB,YA＞YB)點A和點B稱為V面上的重影點。練習(xí)題習(xí)題集第21--22頁第4--7題§2--3直線的投影一、直線的投影：直線的投影一般為直線，可由直線上兩點的同面投影連線確定。例：已知直線AB端點坐標(biāo)為A（20，15，5）,B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaa'a"bb'b"二、各種位置直線的投影特性1、一般位置直線YWOXYHZaa'a"bb'b"直線的三面投影長度均小于實長，三面投影均傾斜于投影軸，但不反映空間直線對投影面傾角的大小。VHWXYZABβαγaba'b'a"b"2、投影面平行線OXYHYWZaa'a"bb'b"1）、水平線：平行于H面，對V、W面傾斜水平投影ab=AB正面投影a'b'∥OX，側(cè)面投影a"b"∥OYwβγab與OX、OYH的夾角β、γ等于AB對V、W面的傾角。VHWXYZbAb'b"a"aa'Bβγ2）、正平線：平行于V，對H、W傾斜O(jiān)XYHYWZcdc'd'c"d"αγ正面投影c'd'=CD水平投影cd∥OX側(cè)面投影c"d"∥OZc'd'與OX、OZ的夾角α、γ等于CD對H、W面的傾角。YWZVHXc"Dd"cdc'd'3）、側(cè)平線：平行于W面，對V、H面傾斜側(cè)面投影e"f"=EF水平投影ef∥OYH，正面投影e'f'∥OZ。e"f"與OYW、OZ的夾角α、β等于EF對V、H面的傾角。OXYHYWZαβefe'f'e"f"WVHXYOZFEfef"e"e'f'1、a′b′=AB=實長2、ab∥OX軸,a"b"∥OZ軸3、β=0°α、γ反映實際大小1、ab=AB=實長2、a′b′∥OX軸,a"b"∥OYW軸3、α=0°β、γ反映實際大小YWZVHXa"ABb"aba'b'正平線VHWXYZbAb'b"a"aa'B水平線XYWYHZaa"bb"a'b'OαγXYWOYHZaa"bb"a'b'γβWVHXYOZABaba"b"b'a'側(cè)平線XYWOYHZaa"bb"a'b'1、a"b"=AB=實長2、a′b′∥OZ軸,ab∥OYH軸3、γ=0°β、

α反映實際大小投影面平行線的投影特性1、直線在所平行的投影面上的投影反映直線的實際長度。2、直線在另外兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的軸（所平行投影面上的坐標(biāo)軸）。3、投影面垂直線1）、鉛垂線：直線⊥H面，∥V、W面。OXYHYWZa（b）a'b'a"b"水平投影積聚為一點。a'b'=a"b"=ABa'b'⊥OX，a"b"⊥OYW2）、正垂線：直線⊥V面，∥H、W面。OXYHYWZcdc'(d')c"d"正面投影積聚為一點。cd=c"d"=CD

cd⊥OX，c"d"⊥OZ3）、側(cè)垂線：直線⊥W面，∥H、V面。OXYHYWZefe'f'e''（f"）側(cè)面投影積聚為一點。ef=e'f'=EFef⊥OYH，e'f'⊥OZ。1、V面投影積聚為一點。2、a"b"=ab=AB=實長3、ab⊥OX軸,a"b"⊥OZ軸β=90°α、γ=0°XYWYHZaa"bb"Oa'b'()VHWXYZAb'b"a"a'B鉛垂線a(b)1、H面投影積聚為一點。2、a"b"=a'b'=AB=實長3、a'b'⊥OX軸,a"b"⊥OYW

軸α=90°β

、γ=0°

XYWOYHZa"b"a'b'a(b)XYWOYHZaba'b'a"(b")WVHXYZABabb'a'側(cè)垂線a"(b")1、w面投影積聚為一點。2、a'b'=ab=AB=實長3、ab⊥OYH軸,a'b'⊥OZ軸γ=90°α、β=0°YWZVHXa"ABb"ab正垂線ABa'b'()投影面垂直線的投影特性1、直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點。2、直線在另外兩個投影面上的投影垂直于相應(yīng)的軸（所垂直投影面上的坐標(biāo)軸），且反映實際長度。三、直線上的點1、從屬性：點在直線上，點的各面投影必定在該直線的同面投影上；反之，點的各面投影均在直線的同面投影上，則該點必在此直線上。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"2、定比性：直線上的點分割直線之比，在投影后保持不變。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"即：AK:KB=ak:kb=a'k':k'b'=a"k":k"b"例1、試在直線AB上取一點C，使AC:CB=1:2，求作C點。解：分點C的投影必在AB的同面投影上。且ac:cb=a'c':c'b'=1:2OXaba'b'123cc'例2、已知直線CD及點M的兩面投影，判斷M是否在CD上。解1、OXcdc'd'mm'作側(cè)平線CD和點M的側(cè)面投影，由作圖知點M的側(cè)面投影不在cd上，所以M不在CD上。c"d"m"zYHYW解2、在H面作任一直線cE，使cE=c'd'。并截取cM1=c'm'EM1連dE，過M1作dE的平行線與cd交于m1mOXcdc'd'm'm1因為m1與m不重合，所以M不在CD上。四、兩直線相對位置空間兩直線的相對位置分為平行、相交、交叉1、平行兩直線：投影特性：空間兩直線相互平行，它們的各組同面投影必定相互平行。ABCDabcd反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則兩直線在空間一定平行?！锲叫械膬芍本€是共面的直線。2、相交兩直線ab

cdABCDKkK是兩直線的共有點，∴K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。★相交的兩直線是共面的直線。OXZYHYWabcdka'b'c'd'k'a"b"c"d"k"3、交叉兩直線在空間即不平行也不相交的兩直線為交叉兩直線。同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規(guī)律。如圖示。aa'bb'cc'dd'AB兩面投影的交點連線不⊥OX軸，∴為交叉兩直線。★交叉的兩直線是異面直線。aa'bb'cc'dd'投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應(yīng)點投影的重影點。對重影點應(yīng)區(qū)分其可見性，即根據(jù)重影點對同一投影面的坐標(biāo)值大小來判斷坐標(biāo)值大者為可見點，小者為不可見點。11'22'33'44'()(

)例1、判斷兩直線的相對位置OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩直線?！遖b與cd在一直線上，而ab∥cd，∴兩直線平行?！逤D為側(cè)平線，利用點分割線段成比例進(jìn)行判斷。為交叉兩直線。Emk例2、過C點作水平線CD與AB相交。dd'先作CD的正面投影kk'aa'bb'cc'??例3、已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點?！a'bb'cc'dd'mOXnn'm'作圖：過m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過n'作n'm'∥c'd'，求得m'。點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。點與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。點分割直線成定比——定比定理。

小結(jié)§2--4平面的投影一、平面的表示法用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直線和線外一點。c'ca'ab'b相交兩直線。b'ba'ac'cdd'平行兩直線。b'ba'ac'c任意平面形。二、各種位置平面的投影鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫鎮(zhèn)绕矫嫫叫杏谀骋煌队懊娲怪庇谀骋煌队懊嫣厥馕恢闷矫鎸θ齻€投影面都傾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1、投影面垂直面垂直于某一個投影面，而傾斜于其余兩個投影面的平面為投影面垂直面。垂直的投影面上投影有積聚性其余兩投影面的投影為類似形OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"βγ1、V面投影積聚成一條直線，且反映α、γ的真實大小。β

=90°2、H、W投影均為原平面的類似形YWZVHXa"ABb"ab正垂面CDcda'(d')b'(c')c"d"1、H面投影積聚成一條直線，且反映β

、γ的真實大小。α=90°2、V、W投影均為原平面的類似形XYWYHZaa"bb"Oαγc"d"ca'(d')b'(c')dVHWXYZAb'b"a"a(c)a'B鉛垂面b(d)CDc'd'YWXOYHZa(c)a"b"a'b'γβc'd'c"d"b(d)WVHXYZABabb'a'側(cè)垂面dCDcc'd'a"(c")b"(d")1、W面投影積聚成一條直線，且反映β

、α的真實大小。γ

=90°2、V、H投影均為原平面的類似形XYWOYHZaba'b'c'd'cdb"(d")a"(c")αβ

投影面垂直面的投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線；

其余兩投影面仍為原形的類似形，但比實形小；

平面具有積聚性的投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。2、投影面平行面平行于某一個投影面的平面稱為投影面平行面，該平面必然垂直于其余兩個投影面。OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"在所平行的投影面上的投影反映實形積聚為直線，并平行于相應(yīng)的投影軸

V面投影反映實形，H、W投影積聚成一條直線，且分別平行與OX軸、OZ軸YWXYWYHZab(c)b"Oαγa'b'c'a"(c")VHWXYZAb"aa'B水平面bCc'a"(c")db'(c')cb'(c')XOYHZab"a'γβd'ba"(c")

H面投影反映實形，V、W投影積聚成一條直線，且分別平行與OYW軸、OX軸YWZVHXABb"ab(c)正平面Cda'b'c"d"a"(c")Cc'a'(c')WVHXYZABab'側(cè)平面Ca"b"b(c)c"XYWOYHZab'b"a"αβb(c)a'(c')c"

W面投影反映實形，V、H投影積聚成一條直線，且分別平行與OYH軸、OZ軸投影特性

平面在所平行的投影面上的投影反映實形；

其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應(yīng)的投影軸。3、一般位置平面對三個投影面都傾斜的平面。其特性為：

1、它的各面投影均不反映實形，也不具有積聚性。

2、不直接反映該平面與投影面的傾角。OXYWYHZaa'a"bb'b"cc'c"三、平面上的點和直線1、平面上的點和直線定理一：若點在平面內(nèi)，它必在平面內(nèi)的一條直線上。定理二：若一直線過平面內(nèi)的一點，且平行于該平面上另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。定理三：若直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。例1、已知△ABC平面內(nèi)點K的V面投影k'，求作K的H面投影。解1OXaa'bb'cc'OXaa'bb'cc'解2··d'dk'kk'm'mk例2、已知四邊形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。解1OXaa'bb'cc'd'de'eOXaa'bb'cc'd'解2e'ed2、平面上的投影面平行線凡在平面上且平行于某一投影面的直線，稱為平面上的投影面平行線。

平面內(nèi)的水平線——直線在平面內(nèi)，又平行于水平面的直線。平面內(nèi)的正平線——直線在平面內(nèi)，又平行于正平面的直線。平面內(nèi)的側(cè)平線——直線在平面內(nèi)，又平行于側(cè)平面的直線。例3、作△ABC平面內(nèi)的正平線，它距V面為8mm。OXaa'bb'cc'因為正平線的水平投影平行于OX，先作34∥OX，使其距V面8mm，再求出3'4'。3483'4'例4、在△ABC內(nèi)取一點K，使點K距V面8mm，距H面12mm。OXaa'bb'cc'解：128122'1'33'44'kk'四、特殊位置圓的投影1、與投影面平行的圓

當(dāng)圓平行于某一投影面時，圓在該投影面上的投影仍為圓，其余兩投影積聚為直線，其長度等于圓的直徑，且平行于相應(yīng)的投影軸。OXYHYWZ2、與投影面垂直的圓當(dāng)圓與投影面垂直時，圓在它所垂直的投影面上的投影積聚為直線，其余兩投影為橢圓。XOaa'bb'cc'dd'§2--5直線與平面、平面與平面

之間的相對位置一、直線與平面、平面與平面平行

1、直線與平面平行定理：直線平行于平面上的某一條直線。

即：如果直線平行于平面，則直線的各面投影必與平面上一直線的同面投影平行。例1、過點M作直線MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'無數(shù)解例2、過點M作直線MN平行于V面和△ABC。解：正平線abcmm'a'b'c'∵△ABC為正垂面，∴直線MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又∵M(jìn)N為正平線，∴mn平行于OX軸。n'n有唯一解有多少解？

當(dāng)直線與垂直于投影面的平面平行時，在平面垂直的投影面上，直線的投影平行于平面有積聚性的同面投影。2、平面與平面平行幾何條件：1）、若一個平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則兩平面相互平行。2）、若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'例3、過點K作平面平行于△ABC解：??a'ab'bc'ck'k分析：按幾何條件，只要過點K作兩相交直線KL、KH對應(yīng)地平行于已知平面的一對相交直線，此平面即為所求。作圖：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'例4、判別如圖所示的兩平面是否平行。解：1'12'(2)3'34'(4)a'ab'bc'c因兩平面均為鉛垂面，在H面的投影互相平行，所以兩平面平行。二、直線與平面、平面與平面相交1、直線與平面相交

交點是直線與平面的共有點。討論：（1）求直線與平面的交點；（2）判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

只討論平面與直線中至少有一個處于特殊位置的情況。1）一般位置直線與特殊位置平面相交例1、求直線AB與鉛垂面△DEF的交點K，并判別可見性。分析：因△DEF的水平投影def有積聚性，交點K是△DEF內(nèi)的點，它必在def上，又因K是AB上的點，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。a'ab'bd'de'ef'fkk'1'1(2')2例2、求直線AB與水平面的交點K，并判別可見性。aa'bb'k'?k由圖知：圓平面是水平面，其正面投影有積聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面投影k。由于a'k'在水平面的上方，故水平投影ak可見，kb被圓遮住的部分為不可見。2）特殊位置直線（垂直線）與一般位置平面相交例3、求鉛垂線DE與△ABC的交點K，并判別可見性。?aa'bb'cc'd'e'(e)d(k)借助于輔助線的方法求出交點。nn'?判別可見性：由V面的b'c'與d'e'的重影點1'(2')求出H面的1在直線DE上，2在BC上，1的Y坐標(biāo)大于2，所以d'k'可見，k'e'被遮住部分不可見。k'1'(2')12例4、求直線MN與平面△ABC的交點。aa'bb'cc'n'?m(m')nk'd'dk?作圖：連c'k'與a'b'交于d'，由