太原理工大學卓越班高數(shù)上第二節(jié) 正項級數(shù)

高等數(shù)學主講教師數(shù)學學院魏毅強教授聯(lián)系電mail:weiyiqiang@PowerPoint統(tǒng)計學2第七章

無窮級數(shù)

7.1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)7.2

正項級數(shù)7.3

任意項級數(shù)7.4

冪級數(shù)7.5

函數(shù)展開成冪級數(shù)7.6

函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用7.7函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)7.8傅里葉級數(shù)7.9正弦級數(shù)與余弦級數(shù)7.10以2l為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)目錄4學習的基本要求和預期目標1）理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及，理解無窮級數(shù)和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2）熟悉幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂性。3）掌握正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法，回用根式審斂法。4）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理。5）了解級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂和收斂的關(guān)系。6）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。5學習的基本要求和預期目標8）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。9）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的必要條件和充分條件。10）掌握的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)展開為冪級數(shù)。11)了解冪級數(shù)在近似計算中的簡單應(yīng)用。12）理解付氏級數(shù)的概念，狄利克雷定理，函數(shù)展開為付氏級數(shù)的充分條件，會將定義在上的函數(shù)展開為付氏級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級數(shù)，會寫出付氏級數(shù)和函數(shù)的表達式。67.2.1正項級數(shù)7.2.3比值審斂法（達朗貝爾D’Alembert判別法）比較審斂法、比較審斂法的極限形式、p級數(shù)的收斂性、比較審斂法的推論7.2

正項級數(shù)7.2.2比較審斂法7.2.4根值審斂法（柯西Cauchy判別法）正項級數(shù)定義、正項級數(shù)的性質(zhì)7.2.5積分審斂法77.2.1正項級數(shù)7.2

正項級數(shù)定義2.1如果ui>0，i=1，2，···，n，···，則u1+u2

u3

···

un

···稱為正項級數(shù)。注：有時候我們也將非負項級數(shù)歸入正項級數(shù)中討論。性質(zhì)2.1

正項級數(shù)的部分和序列是單調(diào)遞增的。定理2.1

正項級數(shù)收斂的充要條件是部分和序列有界。87.2

正項級數(shù)7.2.2比較審斂法若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂定理2.2設(shè)與兩個正項級數(shù)，且un≦vn,n=1,2,…則若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂推論2.1設(shè)與兩個正項級數(shù)，且un≦kvn,n≧N，則若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散97.2

正項級數(shù)注：比較審斂法需要有一個已知斂散性的級數(shù)作為參照，而p-級數(shù)常常作為比較的對象。舉例例2.1

討論p-級數(shù)的收斂性當q>1時級數(shù)收斂，當0<q<1時級數(shù)發(fā)散若，則級數(shù)收斂推論2.2設(shè)是正項級數(shù)，且un≦kvn,n≧N，則若，則級數(shù)發(fā)散107.2

正項級數(shù)定理2.3設(shè)與兩個正項級數(shù)，且若0<l<+∞,則級數(shù),具有相同的斂散性若l=+∞，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散若l=0，且級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂117.2

正項級數(shù)推論2.3設(shè)是正項級數(shù)

若則級數(shù)散性若則級數(shù)收斂(P>1)注;由以上定理及推論可知，影響和決定正項級數(shù)收斂的是一般項趨于零的快慢，也就是一般項（無窮?。┑碾A。一個級數(shù)收斂那么階數(shù)比它高的也一定收斂，一個級數(shù)發(fā)散那么階數(shù)比它低的一定發(fā)散。注：通項的有限系數(shù)或低階的部分舍去不影響級數(shù)的斂散性127.2

正項級數(shù)舉例例2.2

判別下列級數(shù)的斂散性137.2

正項級數(shù)7.2.3比值審斂法（達朗貝爾D’Alembert判別法）定理2.4設(shè)是正項級數(shù)，且若<1,則級數(shù)收斂若=1，則級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散若>1，則級數(shù)發(fā)散注：比值審斂法來源于比較，能用比值的一定可以用比較；比值存在失效的時候，比值的優(yōu)勢是不需要找參照級數(shù)；比值的條件是充分的，而非必要。達朗貝爾法國1717---1783147.2

正項級數(shù)舉例例2.3

判別下列級數(shù)的斂散性157.2

正項級數(shù)7.2.4根值審斂法（柯西Cauchy判別法）定理2.5設(shè)是正項級數(shù)，且若<1,則級數(shù)收斂若=1，則級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散若>1，則級數(shù)發(fā)散注：根值審斂法來源于比較，能用根值的一定可以用比較；根值存在失效的時候，根值的優(yōu)勢是不需要找參照級數(shù)；根值的條件是充分的，而非必要?？挛?/p>

法國數(shù)學家.1789---1857167.2

正項級數(shù)舉例例2.4

判別下列級數(shù)的斂散性177.2

正項級數(shù)7.2.5積分審斂法定理2.6設(shè)是區(qū)間[1,+∞]上的整值遞減連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)與反常積分同時斂散。注：積分審斂法有別于比較、用值、根值法；積分條件是充要的；給出了無窮級數(shù)與無窮積分的聯(lián)系。187.2

正項級數(shù)舉例例2.5

判別下列級數(shù)的斂散性197.2

正項級數(shù)207.2

正項級數(shù)217.2

正項級數(shù)22

ByeBye!23讓·勒朗·達朗貝爾法國數(shù)學家，哲學家。又譯達朗伯。1717年11月17日生于巴黎，1783年10月29日卒于同地。他是圣讓勒隆教堂附近的一個棄嬰（父軍官，母沙龍女主人），被一位玻璃匠收養(yǎng)，后來這個教堂的名字就成了他的教名。達朗貝爾在數(shù)學、力學和天文學等許多領(lǐng)域都作出了貢獻。數(shù)學是達朗貝爾研究的主要課題，他是數(shù)學分析的主要開拓者和奠基人。達朗貝爾為極限作了較好的定義，他是當時幾乎唯一一位把微分看成是函數(shù)極限的數(shù)學家，也是十八世紀少數(shù)幾個把收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)分開的數(shù)學家之一?！秳恿W》是達朗貝爾最偉大的物理學著作，他是十八世紀為牛頓力學體系的建立作出卓越貢獻的科學家之一。返回24數(shù)學中以他的姓名命名的有：柯西積分、柯西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函數(shù)、柯西矩陣、柯西分布、柯西變換、柯西準則、柯西算子、柯西序列、柯西系統(tǒng)、柯西主值、柯西條件、柯西形式、柯西問題、柯西數(shù)據(jù)、柯西積、柯西核、柯西網(wǎng)……等等，而其中以他的姓名命名的定理、公式、方程、準則等有