環(huán)的定義、思考、解答,環(huán)的特征

近世代數(shù)第三章環(huán)與域

§2環(huán)的定義—思考、解答、結(jié)論環(huán)的特征

2/4/2023

19:16環(huán)、交換環(huán)、有單位元的環(huán)環(huán)：

(3)關(guān)于加法構(gòu)成一個交換群;(4)乘法結(jié)合律成立;乘法滿足交換律的環(huán).存在元素,使得(2)兩個代數(shù)運算“+”與“.”;(1)非空集合;(5)乘法對加法兩個分配律成立.交換環(huán)：

有單位元的環(huán)：

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19:16思考題1、21．構(gòu)成環(huán)嗎？答：構(gòu)成環(huán)，零元=單位元=e.

是交換環(huán)、有單位元環(huán)，2．有單位元的環(huán)答：有且只有一個嗎？注：我們只討論單位元的環(huán)，即

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19:16思考題3、結(jié)論1性質(zhì)在一個無零因子環(huán)中,乘法兩個是左零因子，存在，若，則，可以是，即可以不同.（任何環(huán)加法都有消去律）消去律成立.

3．有零因子的環(huán)中，乘法有消去律嗎？答：沒有.若結(jié)論1：環(huán)是無零因子環(huán)乘法適合消去律.

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19:16思考題4、結(jié)論2除環(huán)：有單位元環(huán),且（，每個非零元都可逆.的零因子一定不是環(huán)的可逆元.你認為他的論斷對嗎?為什么?結(jié)論2：可逆元一定不是零因子，）4．有人說:一個環(huán)答：對.零因子一定不是可逆元；除環(huán)是無零因子環(huán).

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19:16思考題5、6結(jié)論35．除環(huán)的非零元對于乘法構(gòu)成群嗎？關(guān)于加法構(gòu)成交換群，所有非一定構(gòu)成除環(huán)，則是除環(huán)所有非零元關(guān)于乘法構(gòu)成乘群.答：構(gòu)成.兩個非零元的乘積是非零元，結(jié)合律成立，有單位元，每個非零元有逆元.6．若零元關(guān)于乘法構(gòu)成乘群，問答：不一定.分配律未必保證.嗎？結(jié)論3：環(huán)

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19:16結(jié)論4結(jié)論4：有單位元環(huán)的全體可逆元關(guān)于乘法做成群，稱可逆元為單位，稱此群為單位群.整數(shù)環(huán)的單位群：高斯整環(huán)的單位群：{1，-1}{1，-1，i，-i}

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19:16結(jié)論6域：交換的除環(huán)結(jié)論5：域是環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、整環(huán)、除環(huán).

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19:16一、理想的定義與判別定義1

設(shè)為環(huán),為的非空子集.滿足:則稱的一個理想.如果為●由定義可知,理想一定是子環(huán).與本身都是理想稱為平凡理想（零理想與單位理想）.的理想.這兩個●吸收律子群

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19:16的不等于它自身的理想(如果有的話)的真理想.除環(huán)只有零理想與單位理想.●●稱為

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19:16例1試求的所有理想.的全部子群為：為的理想.的全部理想為解由此知,

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19:16二、理想的運算定義2

設(shè)為環(huán),為的理想.分別稱為理想的和與交.集合定理1

環(huán)的兩個理想的和與交都是的理想.

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19:16證明

(1)是的理想.（2）是的理想.

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