第九講(邊緣分布及隨機(jī)變量的獨(dú)立性)

練習(xí)七

參考答案一解：所以可能的取值為0，1，4，9,且Y0149P0.250.400.150.10所以Y的分布律為1二解：方法一方法二由于函數(shù)在R上為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，從而有反函數(shù)2三解：1）當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)34第九講邊緣分布及隨機(jī)變量的獨(dú)立性5二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?這一節(jié)里,我們就來探求這個(gè)問題.二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)一、邊緣分布函數(shù)一般地，對(duì)離散型

r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律(X,Y)關(guān)于

Y的邊緣分布律為例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.對(duì)連續(xù)型

r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為則(X,Y)關(guān)于

X的邊緣概率密度為事實(shí)上,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為例2

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣概率密度與邊緣分布函數(shù)F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0

y<x，2x2y2–y4,

0

x<

1,x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,y1，y4,x

1,0

y<x，1,x

1,y

x，16解：=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

1當(dāng)x<0時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)170,y<0y4,0

y<

1,1,y1=v=u10uv118v=u10uv119或202122

那么要問，在什么情況下，由邊緣分布可以唯一確定聯(lián)合分布呢？24兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.

它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.因此,二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布.其中是X,Y的聯(lián)合密度，幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨(dú)立.對(duì)任意的x,y,有若(X,Y)是連續(xù)型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即若兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且又有相同的分布,不能說這兩個(gè)隨機(jī)變量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互獨(dú)立，則X-11-110.250.25Y0.250.25P{X=Y}=0.5,故不能說X=Y.注意29證對(duì)任何x,y有取相互獨(dú)立命題30故將代入即得31因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,解所以于是例4設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為Y24PY0.60.4X13PX0.70.3求隨機(jī)變量(X,Y)的分布律因此（X,Y)的聯(lián)合分布律為YX240.180.1230.420.28

例5

已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為(1)(2)討論X,Y是否獨(dú)立？34解(1)11顯然，故X,Y相互獨(dú)立35(2)顯然，故X,Y不獨(dú)立1136例63738例7

甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.如果甲來到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解:設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn),以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)39所求為P{|X-Y|5}及P{X<Y}解:設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻，Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先到的概率由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率40解一：P{|X-Y|5}=P{-5<X-Y<5}=1/6=1/2P{X<Y}41解二：P{X<Y}=1/6=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P{X>Y}P{|X-Y|5}42隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念可以推廣到n

維隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X

1,X

2,,X

n

相互獨(dú)立若43判斷二維連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的

兩個(gè)重要結(jié)論1、設(shè)f(x,y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，r(x),g(y)為非負(fù)可積函數(shù)，且則(X,Y)相互獨(dú)立且44利用此結(jié)果，不需計(jì)算即可得出(1)中的隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的.再如，服從矩形域{(x,y)|a<x<b,c<y<d}上的均勻分布的二維隨機(jī)變量(X,Y),X,Y是相互獨(dú)立的.且其邊緣分布也是均勻分布45若則X,Y是相互獨(dú)立的.且其邊緣概率密度為46若則X,Y是相互獨(dú)立的.且其邊緣概率密度為47對(duì)于分布函數(shù)也有類似的結(jié)果設(shè)F(x,y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，則(X,Y)相互獨(dú)立的充要條件為且482、設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù),則U=u(X),V=v(