2022屆黑龍江省哈爾濱市第六中學高三沖刺卷（二）數(shù)學（理）試題

/11/11/哈爾濱市第六中學2022屆高考沖刺押題卷（二）數(shù)學試卷（理工類）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量滿足，，且在方向上的投影是，則實數(shù)（）A．B．C．2D．2．已知等差數(shù)列中，，前10項的和等于前5的和，若，則（）A．10B．9C．8D．23．若為復數(shù)，，為實數(shù)，則是的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學界的震動．在1859年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名數(shù)學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結論（素數(shù)即質數(shù)，）．根據(jù)歐拉得出的結論，如下流程圖中若輸入的值為100，則輸出的值應屬于區(qū)間（）A．B．C．D．5．函數(shù)的大致圖像為（）ABCD6．已知，，，則實數(shù)的大小關系是（）A．B．C．D．7．已知不等式組表示的平面區(qū)域為，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A．1B．C．D．8．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A．B．C．D．9．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的體積為（）A．B． C．D．10．如圖，已知橢圓的左，右焦點分別為，，是軸正半軸上一點，交橢圓于，若，且的內切圓半徑為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．11．雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與圓相切，與的左、右兩支分別交于點，若，則的離心率為（）A．B．C．D．12．已知函數(shù)，，若對，，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題~23題為選考題，考生根據(jù)要求做答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，則_________14．若，二項式的展開式中項的系數(shù)為20，則定積分的最小值為_________ABDEA1CM15．如圖，長為4，寬為2的矩形紙片中，為邊的中點，將沿直線翻轉（平面），若為線段的中點，則在翻轉過程中，下列正確的命題序號是__________ABDEA1CM①平面；②異面直線與所成角是定值；③三棱錐體積的最大值是；④一定存在某個位置，使16．在平面直角坐標系中，點，動點滿足以為直徑的圓與軸相切，過作直線的垂線，垂足為，則的最小值為__________．三、解答題：本大題共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間的最大值（Ⅱ）在中，，求周長的最大值．18．（本小題滿分12分）2018年，依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負載力，短視頻快速崛起；與此同時，移動閱讀方興未艾，從側面反應了人們對精神富足的一種追求，在習慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學底蘊的嚴肅閱讀青睞有加．某讀書APP抽樣調查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長（單位：分鐘），繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．（Ⅰ）請?zhí)顚懸韵铝新?lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關？活躍用戶不活躍用戶合計城市M城市N合計（Ⅱ）以頻率估計概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．（Ⅲ）該讀書APP還統(tǒng)計了2018年4個季度的用戶使用時長（單位：百萬小時），發(fā)現(xiàn)與季度線性相關，得到回歸直線為，已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時，試以此回歸方程估計2022年第一季度（）該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時．附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82819．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，且,,為等邊三角形，平面平面；點分別為的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）過拋物線的焦點作傾斜角為45°的直線，直線與拋物線交于，若．（Ⅰ）拋物線的方程；（Ⅱ）若經過的直線交拋物線于,，若，求直線的方程．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求證：若，則；（Ⅱ）當時，試討論函數(shù)的零點個數(shù)．請考生在題（22）（23）中任選一題作答，如果多做，則按所做的的第一題計分．做題時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并填寫序號．22．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標是.（Ⅰ）求直線的極坐標方程及點到直線的距離；（2）若直線與曲線交于兩點，求的面積.23．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）當時，函數(shù)的最小值為3，求實數(shù)的值.

押題卷2理科數(shù)學參考答案5.CD2.A3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.B10.C11.A12.D13．14．15．16．17.【答案】（1）最小正周期為，在區(qū)間上的最大值為；（2）.【解析】（1），最小正周期為所以在區(qū)間的最大值是0（2）,由余弦定理得,即,當且僅當時取等號.的周長的最大值是6法二：由，得，由正弦定理可得，所以，當時，L取最大值，且最大值為618.【詳解】（1）由已知可得以下列聯(lián)表：活躍用戶不活躍用戶合計城市M6040100城市N8020100合計14060200計算，所以有99．5%的把握認為用戶是否活躍與所在城市有關．（2）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，城市M中活躍用戶占，城市N中活躍用戶占，設從M城市中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)為，則設從N城市中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)為，則服從兩點分布，其中．故，；；；．故所求的分布列為0123．（3）由已知可得，又，可得，所以，所以．以代入可得（百萬小時），即2022年第一季度該讀書APP用戶使用時長約為百萬小時．19.【詳解】（1）設的中點為，連接，為的中點，所以為的中位線，則可得，且；在梯形中，，且，，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面．法二：設為的中點，連接，為的中點，所以是的中位線，所以，又平面，平面，平面，又在梯形中，，且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，又平面，平面．（2）設的中點為，又．因為平面平面，交線為，平面，平面，又由，，．即有兩兩垂直，如圖，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系．已知點，設平面的法向量為：．則有，可得平面的一個法向量為，，可得：，所以直線與平面所成角的正弦值為．20.【詳解】（1）依題意：，則直線的方程為，由，消可得，設，則，∴，∴，故拋物線的方程為．（2）若經過的直線的斜率不存在，此時直線與拋物線交于，則關于軸對稱，滿足，即直線滿足題意．若經過的直線的斜率存在，設它為，則．由，消可得設，則，∴，∴，∵，∴點在線段的中垂線上，即線段的中垂線為：，即，即所以直線的方程為即．故直線的方程為或．21.【解析】(1)當時，，則，令，則，當時，，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，即當時，，所以當時，恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為，所以當時，對恒成立.(2)由（1）知，當時，，所以，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增函數(shù)為.所以，所以對，，即.①當時，，又，，即，所以當時，函數(shù)為增函數(shù)，又，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，且為.②當時，（?。┊敃r，，所以，所以函數(shù)在上遞增，所以，且，故時，函數(shù)在區(qū)間上無零點.(ⅱ)當時，，令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，，當時，，又曲線在區(qū)間上不間斷，所以，使，故當時，，當時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，所以對，又當時，，又，曲線在區(qū)間上不間斷.所以，且唯一實數(shù)，使得，綜上，當時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有個兩零點.2