第16章 二次根式試卷(滬科版八年級下冊數(shù)學(xué))

()()()()第16章二次根式()()()()┃知識歸納┃1．二次根式的概念我們把形式如________(≥0)的式子叫做二次根式．(1)對于二次根式的理解：①帶有根號；②被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；a是非負(fù)數(shù)，即a≥0.[易錯(cuò)點(diǎn)](1)次根式中，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，否則就沒有意義(2)9是二次根式，雖然9＝3，但3不是二次根式．因此二次根式指的是某種式子的“外在形態(tài)2．二次根式的性質(zhì)()

2

＝()；

a＝

|a|＝

a>0a＝a<0.3．最簡二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式。分母無根號根號無分，不能再方4．同類二次根式的概念幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果，這個(gè)二次根式叫做同類二次根式．

如：、與

是同類二次根式5．二次根式的運(yùn)算aa·＝(≥0，≥0)；＝b

(a≥，>0)．二次根式加時(shí)先把各二次根式成再把┃考點(diǎn)攻略┃?考點(diǎn)一二次根式有（無）意義的條件

合并．例1

函數(shù)y＝2－x＋

1x－

中自變量x取值范圍是()A．x≤B＝3C．＜2且≠3D．≤2且x≠?考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)例2如圖17－所示是實(shí)數(shù)b數(shù)軸上的位置化簡：2－b2－

a－

2

.易混辨析a2

與2

的區(qū)別：

圖17－1(1)表示的意義不同.a2

表示非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方的平方；a2

表示實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根．(2)運(yùn)算的順序不同.a2

是先求非負(fù)實(shí)數(shù)a的算術(shù)平方根后再進(jìn)行平方運(yùn)算a

則是先求實(shí)數(shù)a平方，再求2

的算術(shù)平方根．

()a與()·babddd()a與()·babddd(3)取值范圍不同．在a2

中，a只能取非負(fù)實(shí)數(shù)，a≥0；而在a

中，a可以取一切實(shí)數(shù)．()

a

的聯(lián)系：僅當(dāng)≥0時(shí)，有a2

＝

a.?考點(diǎn)三二次根式的非負(fù)性例3若實(shí)數(shù)、y滿足x＋＋(－3)2＝0，則xy值是_．方法技巧：初中段主要涉及三種非負(fù)數(shù)：a≥，

||≥0，a

≥0.果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0.即由a≥，≥0，≥0且＋b＋＝0，一定得到＝b＝＝0，這是求一個(gè)方程中含有多個(gè)未知數(shù)的有效方法之一．?考點(diǎn)四二次根式的運(yùn)算例4計(jì)算下列各題：(1)

310

5ab5c3

2ac·

－2

15(2)(1－3＋2)(1＋3－2)．a(chǎn)易錯(cuò)警示1．在二次根式的運(yùn)算中，一定要把最后結(jié)果化為最簡二次根式2．在二次根式的1ab1運(yùn)算中要靈活運(yùn)用乘法公式3(＋b)＝(＋)·＝＋但d÷(＋)≠d＋?考點(diǎn)五二次根式的化簡例5

設(shè)2＝，3＝b，含a、式子表示0.54，則下列表示正確的是()A．0.3ab

B．3ab

C．0.13

D．0.13b方法技巧化簡二次根式時(shí)注意思想的應(yīng)用．

aa＝(≥0b>0)的綜合運(yùn)用2整體代換或轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)bb

2n222第18章元二次方程2n222┃知識歸納┃1．一元二次方程的概念只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程．[注意]一元二次方程判定的條件是(1)須是整式方程(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為零a0(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是，且只含有一個(gè)未知數(shù)．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四種解法：法、法、法和法．其基本思想是.[注意]公式法其實(shí)質(zhì)是配方法，只不過省去了配方的過程，但用公式時(shí)應(yīng)注意：(1)將一元二次方程化為一般形式，即先確定、b、c的值；(2)牢記使用公式的前提是b

2

－4ac≥0.3．一元二次方程根的判別式＝b

2

－4ac(1)Δ>0ax

2

＋bx＋c＝0(a≠0)有

的實(shí)數(shù)根；(2)Δ＝0ax2＋bx＋＝0(a≠0)有

的實(shí)數(shù)根；(3)Δ<0ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

實(shí)數(shù)根．[注意](1)根的判別式是在一元二次方程的一般形式得出的，因此使用根的判別式之前，必須把一元二次方程化成一般形式(2)果說一元二次方程有實(shí)根，應(yīng)該包括有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根與兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩種情況，此時(shí)－4ac≥0，不能丟掉等號；在利用根的判別式確定方程中字母系數(shù)的取值范圍時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，要加上二次項(xiàng)系數(shù)不為零這個(gè)限制條件．4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程＋＋＝0(a0)的兩根為兩根方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：1x＋＝，x·＝121

.[注意]它成立的條件：①二次項(xiàng)系數(shù)不能為0；②方程根的判別式大于或等于0.5．一元二次方程解決實(shí)際問題用一元二次方程解決實(shí)際問題的幾個(gè)公式：均增長率b＝a(1＋x，其中b是增后的量a基礎(chǔ)量平均增長率n是增長次數(shù)公式也適用于平均降低率的問題(2)利潤問題：利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)，總利潤＝單位利潤數(shù)量，利潤率＝

利潤進(jìn)價(jià)

×100%.┃考點(diǎn)攻略?考點(diǎn)一一元二次方程的概念例若關(guān)于x的一元二次方程(m－2)x＋3m－＋60的常數(shù)項(xiàng)為0，則的值等于()A2B323D．0易錯(cuò)警示一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，切記二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.而且知數(shù)的最高次數(shù)是2”指的是將方程化簡后未知數(shù)的最高數(shù)是，不能從表面形式上判斷．?考點(diǎn)二一元二次方程的解法例2

分別使用配方法、公式法、因式分解法解方程：3(x－3)＝(x－3)．

2222221222x(x1＋22x12xxxx方法技巧解方程時(shí)，若方程缺少常數(shù)項(xiàng)或方程的右邊為0，優(yōu)先慮因式分解法x－m＝或a＝結(jié)構(gòu)時(shí)優(yōu)先考慮直接開平方法；當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，優(yōu)先考慮配方法；2222221222x(x1＋22x12xxxx?考點(diǎn)三一元二次方程根的情況例3已知關(guān)于的一元二次方程(m－＋1＝有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是________．方法技巧根的判別式主要應(yīng)用(1)不解方程判別一元二次方程根的情況(2)已知一元二次方程根的情況，確定方程中某些字母的取(圍)．解題時(shí)一定要注意不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0.?考點(diǎn)四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例4已知關(guān)于x的一元二次方程＋xm1＝請你為m選取一合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；設(shè)α、β是(你所得到的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求α

＋β

2

＋αβ的值．方法技巧利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值時(shí)，關(guān)鍵是把所給的代數(shù)式通過恒等變形，化為含xxx的形式，然后把＋x和xx的值代入所求代數(shù)式中即12122111x＋可求出其值．常見的代數(shù)式恒等變形有：(1)＋x＝(＋x)－2xx；＋＝；12xx12(3)＋＝12?考點(diǎn)五一元二次方程的應(yīng)用例52009年某市實(shí)現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為億元，計(jì)劃全市國民生產(chǎn)總值在以后三年都以相同的增長率來實(shí)現(xiàn)，到全市國民生產(chǎn)總值達(dá)到元．求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增長率精確到1%)；求2010至年全市三年可實(shí)現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億元？精確到億元)

2222222第192222222┃知識歸納1勾股定理(1)勾股定理的語言敘述：直角三角形兩條直角邊的_______，等于斜邊的(2)勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式：如果直角三角形的兩直角邊用a、b表示，斜邊用表示，那么_勾股定理a＋＝有如下幾種變形：變形①a＝________形②＝________形③＝________形④a＝變形⑤＝[易錯(cuò)點(diǎn)](1)勾定理適用范圍，局限于直角三角形，銳角和鈍角三角形不能用；(2)注意分清直角邊和斜邊，避免盲目代值而導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．勾股定理的逆定理如果三角形______________等_________________，那么個(gè)三角形是直角三角形.勾股定理和勾股定理的逆定理是一對___________.溫馨提示注意勾股定理及其逆定理的聯(lián)系與區(qū)別．聯(lián)系是二者都與三邊關(guān)系＋b＝c有關(guān)；區(qū)別是前者是以一個(gè)三角形是直角三角形為條件，進(jìn)而得到三邊的平方關(guān)系，后者是以一個(gè)三角形三邊的平方關(guān)系為條件，進(jìn)而得到這個(gè)三角形是直角三角形．3．勾股數(shù)能夠成為直角三角形三邊長度的三個(gè)________，稱為勾股數(shù).溫馨提示(1)常見的勾股數(shù)有、4、5,5、、13,8、15、17,724、25,9、40、41.學(xué)們應(yīng)熟記這些勾股數(shù)，因?yàn)樗鼈儾粌H在勾股定理及其逆定理中廣泛應(yīng)用，而且還能幫助同學(xué)們分析思路，找到解決問題的途徑和方法；(2)每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍也是勾股數(shù)．考點(diǎn)一勾股定理的驗(yàn)證例1如圖19－1是邊長為c的正方形，由四個(gè)兩直角邊為、的直角三角形和邊長b－)的方形組成，因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e表示________大正方形的面積也可表示為，所________＝________，由此可得a、b

2

、

三者之間的關(guān)系：例2如圖192三個(gè)直角三角形拼成直角梯形eq\o\ac(△,()CED是直角三角形)梯形面積不變，所以，

梯

＝________＝，化簡可驗(yàn)證

2方法技巧勾股定理的驗(yàn)證方法很多，利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理是將形的問題與數(shù)的問題聯(lián)系起來，其主導(dǎo)思想是通過面積之間的關(guān)系，驗(yàn)證勾股定理，即用整體計(jì)算和分割計(jì)算面2積的方法列出等式，然后化簡，即可證得勾股定理．?考點(diǎn)二勾股定理及其逆定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例3如圖193△和△都是等腰直角三角形，∠ACB＝ECD＝D為邊上一點(diǎn)，求證：△ACE≌△；AD＋DB＝方法技巧由三邊的平方關(guān)系可聯(lián)想到勾股定理，若三邊不在同一個(gè)三角形中，則設(shè)法轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中去，再證明該三角形是直角三角形