2023屆廣東省新高考專題復(fù)習(xí)專題5圓錐曲線解答題專項(xiàng)提分計(jì)劃含解析

2023屆廣東省新高考復(fù)習(xí)專題5圓錐曲線解答題專項(xiàng)提分計(jì)劃1．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，，.(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.(1)當(dāng)，且為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)分別在橢圓和直線上，，為的中點(diǎn)，若為直線與直線的交點(diǎn)．是否存在一個(gè)確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)為K，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（2022·廣東江門(mén)·校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：與橢圓有相同的焦點(diǎn)，，且右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積．6．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知圓O：x2+y2＝4與x軸交于點(diǎn)，過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為H，N是MH的中點(diǎn)，記N的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)作與x軸不重合的直線l交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)直線AP，AS的斜率分別為k1，k2.證明：k1＝4k2．7．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過(guò)點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．8．（2022·廣東·校聯(lián)考二模）已知橢圓C：，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，分別與直線：交于P，Q兩點(diǎn)，證明：四邊形為菱形．9．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)點(diǎn)為軌跡與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)．若，的橫坐標(biāo)之積是2，問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.11．（2022·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知圓的圓心為M，圓的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，證明：．12．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)（不在軸上）為直線上一點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn).(1)證明：；(2)設(shè)直線交曲線于另一點(diǎn)，若圓（是坐標(biāo)原點(diǎn)）與直線相切，求該圓半徑的最大值.13．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知C：的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線m的方程為：，過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線m交直線m于點(diǎn)E.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)①若線段EN必過(guò)定點(diǎn)P，求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.14．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.15．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）設(shè)拋物線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)在軸上方.(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求；(2)點(diǎn)在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點(diǎn).直線交軸于點(diǎn)，且.若的重心在軸上，求的取值范圍.16．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓，直線l：與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)位于第一象限.(1)若點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：直線和的斜率之積為定值；(2)當(dāng)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，軸上是否存在定點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.17．（2022·廣東深圳·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作直線與橢圓相交，另一交點(diǎn)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，求證：直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．18．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積．19．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，四邊形的面積和周長(zhǎng)分別為和8，橢圓的短軸長(zhǎng)大于焦距．(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)M作直線垂直于x軸，垂足為E．連接PE并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)Q，則直線MP的斜率與直線MQ的斜率的乘積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2022·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為、，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，與軸交于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)、為橢圓上異于點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、，記以為直徑的圓為⊙，試判斷是否存在直線截⊙的弦長(zhǎng)為定值，若存在請(qǐng)求出該直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，四邊形的周長(zhǎng)為8，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交曲線與，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，求出這個(gè)定點(diǎn)；如果不是，說(shuō)明理由．22．（2022·廣東·統(tǒng)考三模）已知橢圓E：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E上異于左?右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線l：交x軸于點(diǎn)P，直線PB交橢圓E于另一點(diǎn)C，直線BA和CA分別交直線l于點(diǎn)M和N，若O?A?M?N四點(diǎn)共圓，求t的值.23．（2022·廣東深圳·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，點(diǎn)F在線段AB上，且，.(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)；在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由.24．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，在橢圓上．(1)求橢圓C的方程．(2)若A，B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，問(wèn)△OAB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考二模）已知P是離心率為的橢圓上任意一點(diǎn)，且P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，直線AP交y軸于點(diǎn)D，E為線段AP的中點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得直線DM與OE交于Q，且點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上，若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)與該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．26．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點(diǎn)，C2的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程；(2)如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補(bǔ)角，求△F1QR面積S的最大值.27．（2022·廣東廣州·校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距最小值為．(1)求拋物線的方程．(2)若點(diǎn)在圓上，、是拋物線的兩條切線，、是切點(diǎn)，求面積的最大值．28．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)F為，過(guò)橢圓左頂點(diǎn)和上項(xiàng)點(diǎn)的直線的斜率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若為平面上一點(diǎn)，C，D分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線NC，ND與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q.試判斷點(diǎn)F到直線PQ的距離是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.29．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l交C的左支于A，B兩點(diǎn)．(1)若，求l的方程；(2)若點(diǎn)，直線AP交直線于點(diǎn)Q．設(shè)直線QA，QB的斜率分別，，求證：為定值．30．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：，經(jīng)過(guò)圓O：上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線．切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．(1)求證：M，O，N三點(diǎn)共線；(2)求△OAB面積的最大值．2023屆廣東省新高考復(fù)習(xí)專題5圓錐曲線解答題專項(xiàng)提分計(jì)劃1．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，，.(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）由題意得，求解即可；（2）設(shè)：，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角形面積求解即可【詳解】（1）由題意，得，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)：，聯(lián)立，消，得，由，解得.設(shè)，，則.所以，所以的面積，由，化簡(jiǎn)，得，解得，，，，所以直的方程為或或或.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.(1)當(dāng)，且為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn),連接.利用幾何法，分別證明出,為的角平分線，即可證明；（2）利用“設(shè)而不求法”分別表示出，解方程求出.【詳解】（1）如圖示：當(dāng)時(shí)，恰為拋物線的焦點(diǎn).由拋物線的定義可得：.取的中點(diǎn),連接,則為梯形的中位線，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,所以.在中，由可得：.因?yàn)闉樘菪蔚闹形痪€，所以，所以，所以.同理可證：.在梯形中，,所以，所以，所以,即.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.由直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，可設(shè).設(shè),則，消去可得：，所以，.則.而.所以，解得：.3．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)分別在橢圓和直線上，，為的中點(diǎn)，若為直線與直線的交點(diǎn)．是否存在一個(gè)確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)，表示出直線OQ的方程，定點(diǎn)和.進(jìn)而求出，把代入得，從而，判斷出點(diǎn)始終在以O(shè)F為直徑的圓上，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，得．故，從而橢圓C的方程為．（2）設(shè)，則直線AP的斜率為.因?yàn)?，所以直線OQ的方程為.令可得，所以，又M是AP的中點(diǎn)，所以.從而，所以①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，故，代入式①可得，從而，所以，點(diǎn)始終在以為直徑的圓上，且該圓方程為4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)為K，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）首先表示，的坐標(biāo)，即可得到，，根據(jù)及，求出，即可求出，從而得解；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到直線的方程為，令求出，同理得到，則，代入計(jì)算可得.【詳解】（1）解：依題意，，，所以，，由，可得，即，解得或（舍去），故，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，所以，，直線的方程為，令，得，同理可得，所以，故為定值.5．（2022·廣東江門(mén)·?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：與橢圓有相同的焦點(diǎn)，，且右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)題意可得，，所以，即可求得橢圓的方程；設(shè)，，過(guò)且斜率為的直線方程為：，直線與橢圓方程聯(lián)立，消得的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求的面積．（1）橢圓的焦點(diǎn)為，，半焦距，橢圓的右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，，橢圓的方程為．（2）設(shè)，，過(guò)且斜率為的直線方程為：，代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)可得，，則，.6．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知圓O：x2+y2＝4與x軸交于點(diǎn)，過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為H，N是MH的中點(diǎn)，記N的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)作與x軸不重合的直線l交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)直線AP，AS的斜率分別為k1，k2.證明：k1＝4k2．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法即可求曲線C的方程；(2)首先對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論,再根據(jù)幾何關(guān)系分別求出P、Q、S三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線AP，AS的斜率，再根據(jù)斜率的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算,得出結(jié)論.(1)設(shè)N（x0，y0），則H（x0，0），∵N是MH的中點(diǎn)，∴M（x0，2y0），又∵M(jìn)在圓O上，，即；∴曲線C的方程為：；(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：，若點(diǎn)P在軸上方，則點(diǎn)Q在x軸下方，則，直線OQ與曲線C的另一交點(diǎn)為S，則S與Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，；若點(diǎn)P在x軸下方，則點(diǎn)Q在x軸上方，同理得：，，∴k1＝4k2；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：，由與聯(lián)立可得，其中，設(shè)，則，則，∴則，∴k1＝4k2.7．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過(guò)點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解證明即可.（2）轉(zhuǎn)化為證明向量分別與向量的夾角相等,應(yīng)用向量夾角余弦公式，即可證明結(jié)論.(1)由對(duì)稱性可知交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(-1，1)，代入拋物線方程可得2p=1，所以拋物線的方程為x2=y，設(shè)A，B，所以，所以直線AB的方程為，即，因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)C(0，2)，所以，所以①.因?yàn)?，所以直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，直線PA的方程為，即，同理直線PB的方程為，聯(lián)立兩直線方程，可得P由①可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-2.(2)，，注意到兩角都在內(nèi)，可知要證，即證，，，所以，又，所以，同理式得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程是解題的關(guān)鍵.8．（2022·廣東·校聯(lián)考二模）已知橢圓C：，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，分別與直線：交于P，Q兩點(diǎn)，證明：四邊形為菱形．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）與x軸垂直時(shí)M的坐標(biāo)代入橢圓方程和聯(lián)立可得答案；（2）設(shè)的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得直線的方程、直線的方程，再由求出、，可證得可得答案．（1）由題可知．當(dāng)與x軸垂直時(shí)，不妨設(shè)M的坐標(biāo)為，所以，解得，．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的方程為，，，聯(lián)立得消去x，得，易知恒成立，由韋達(dá)定理得，，由直線的斜率為，得直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，由直線的斜率為，得直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，若四邊形為菱形，則對(duì)角線相互垂直且平分，下面證，因?yàn)?，代入韋達(dá)定理得，所以，即PQ與相互垂直平分，所以四邊形為菱形．9．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)點(diǎn)為軌跡與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)．若，的橫坐標(biāo)之積是2，問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)直線過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）利用定義法求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，再根據(jù)得，即得解.(1)解：由題得,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓.所以，所以橢圓的方程為.所以點(diǎn)的軌跡的方程為.(2)解：由題得點(diǎn),設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程為得，所以.設(shè)，所以.所以直線方程為，令得，同理,因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).10．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)且；(2)存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用斜率兩點(diǎn)式，結(jié)合直線斜率之積為定值列方程，即可求M的軌跡為曲線C，注意.（2）設(shè)、直線AM為，聯(lián)立曲線C，應(yīng)用韋達(dá)定理求坐標(biāo)，進(jìn)而應(yīng)用表示、，結(jié)合二倍角正切公式判斷與的數(shù)量關(guān)系，即可得解.(1)設(shè)，則且，所以M的軌跡為曲線C方程為且.(2)設(shè)，則直線AM為，聯(lián)立曲線C得：，整理得：，由題設(shè)知：，則，故，又，，所以，即，所以存在，使.11．（2022·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知圓的圓心為M，圓的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，證明：．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用兩圓相切的性質(zhì)及雙曲線的定義可得解.（2）把證轉(zhuǎn)化為證，再代入消元韋達(dá)定理，整體處理即可.(1)如圖，設(shè)圓E的圓心，半徑為r，則，，所以．由雙曲線定義可知，E的軌跡是M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線右支，所以曲線C的方程為，．(2)設(shè)，，直線l的方程為，由于曲線l與曲線C交于兩點(diǎn)，故，又，所以，故，又，，，，即，所以，得證.12．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)（不在軸上）為直線上一點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn).(1)證明：；(2)設(shè)直線交曲線于另一點(diǎn)，若圓（是坐標(biāo)原點(diǎn)）與直線相切，求該圓半徑的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)，寫(xiě)出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由（1）可知，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與韋達(dá)定理計(jì)算出的值，求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得圓半徑的最大值.【詳解】（1）證明：易知點(diǎn)、，設(shè)，則，直線的方程為，令，得，則，又因?yàn)?，且，則，則，所以，.（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上，則直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，若，則直線過(guò)點(diǎn)，則、必有一點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合乎題意，故，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，，，由（1）可知，，，解得，即直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓的半徑取最大值，且圓半徑的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)求圓的半徑的最大值，解題的關(guān)鍵就是求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.13．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知C：的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線m的方程為：，過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線m交直線m于點(diǎn)E.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)①若線段EN必過(guò)定點(diǎn)P，求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)①；②.【分析】(1)橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為,離心率為,列出方程,求解,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)①設(shè)直線方程:,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理求解直線方程,然后得到定點(diǎn)坐標(biāo).②由（1）中,利用弦長(zhǎng)公式,求解三角形的面積表達(dá)式,然后求解最大值即可.【詳解】（1）由題意可得:故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明:①由題意知,,設(shè)直線方程:,聯(lián)立方程,得,所以,所以,又,所以直線方程為:,令,則.所以直線過(guò)定點(diǎn).②由①中,所以,又，所以,令,則,令,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,所以時(shí),.14．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.【答案】(1)拋物線的方程為，圓的方程為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得的值，即可得拋物線方程；根據(jù)圓的性質(zhì)確定圓心與半徑，即可得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相切，切線與拋物線相交聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得所滿足的方程.【詳解】（1）解：由題設(shè)得，所以拋物線的方程為.因此，拋物線的焦點(diǎn)為，即圓的圓心為由圓與軸相切，所以圓半徑為，所以圓的方程為.（2）證明：由于，每條切線都與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.故設(shè)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線方程為，即.依題意得，整理得①；設(shè)直線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故，②，由得③，因?yàn)辄c(diǎn)，則④，⑤由②，④，⑤三式得：，即，則，即，所以點(diǎn)在圓.15．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）設(shè)拋物線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)在軸上方.(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求；(2)點(diǎn)在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點(diǎn).直線交軸于點(diǎn)，且.若的重心在軸上，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，利用切線方程與拋物線方程可得，，進(jìn)而即得；或利用條件可得切點(diǎn)所在直線，利用韋達(dá)定理法即得；（2）設(shè)，根據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件可表示，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】（1）解法一：設(shè)，，，由，可得，所以，直線PA的斜率，直線PA：，又在上，，所以，又，所以，同理可得，，；解法二：設(shè)，，，由，可得，所以，直線PA的斜率，直線PA：，又在上，故，即，因?yàn)?，所以，同理可得，故直線的方程為，聯(lián)立消去，得，故，故；（2）設(shè)，由條件知，，，∴，，當(dāng)時(shí)，，AC重合，不合題意，或，的取值范圍為.16．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓，直線l：與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)位于第一象限.(1)若點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：直線和的斜率之積為定值；(2)當(dāng)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，軸上是否存在定點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)存在，.【分析】(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，由韋達(dá)定理可得的關(guān)系，再由計(jì)算即可得證；(2)由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得，由韋達(dá)定理之間的關(guān)系，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)，由題意可得.代入計(jì)算，如果有解，則存在，否則不存在.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以直線l：，聯(lián)立直線方程和橢圓方程：，得，設(shè)，則有，所以，又因?yàn)?，所以，，所?=所以直線和的斜率之積為定值；（2）解：假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)，所以,即有，所以直線的方程為.由，可得，設(shè)，則有；因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，所以平分,所以.即==，又因?yàn)椋裕耄从?，解?故軸上存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.17．（2022·廣東深圳·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作直線與橢圓相交，另一交點(diǎn)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，求證：直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)由條件列方程求，由此可得橢圓方程；(2)設(shè)直線的斜率為，由條件求出,，的坐標(biāo)，再證明即可.(1)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，依題意得：所以，而所以根據(jù)橢圓的定義得：，即又因?yàn)樗?/p>

所以的方程為；(2)因?yàn)?，所以三點(diǎn)不共線，所以設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由得：又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗灾本€的方程為：，由

得：所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)所以所以即所以所以所以故直線與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，且該圓方程為．即直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的坐標(biāo).18．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積．【答案】(1)，離心率為(2)【分析】（1）依題意用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得c，然后由漸近線斜率和幾何量關(guān)系列方程組可解；（2）設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線方程消元，利用韋達(dá)定理表示出直線，的斜率可得直線的方程，數(shù)形結(jié)合可解.【詳解】（1）由題意知焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則因?yàn)橐粭l漸近線方程為，所以，又，解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為．（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立則，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面積為19．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，四邊形的面積和周長(zhǎng)分別為和8，橢圓的短軸長(zhǎng)大于焦距．(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)M作直線垂直于x軸，垂足為E．連接PE并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)Q，則直線MP的斜率與直線MQ的斜率的乘積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是，【分析】（1）根據(jù)四邊形的面積和周長(zhǎng)分別為和8，列出的方程組，可直接求解；（2）設(shè)點(diǎn)，、用坐標(biāo)表示，直線PE方程用坐標(biāo)表示，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，帶入直線MP的斜率與直線MQ的斜率的乘積化簡(jiǎn)求解．(1)由題意可知，，且，解得，所以橢圓C的方程為．(2)設(shè)點(diǎn)，，則，，所，所以直線PE的方程為，聯(lián)立所以，所以，，所以，，而代入，，可得，所以直線MP的斜率與直線MQ的斜率之積為定值．20．（2022·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為、，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，與軸交于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)、為橢圓上異于點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、，記以為直徑的圓為⊙，試判斷是否存在直線截⊙的弦長(zhǎng)為定值，若存在請(qǐng)求出該直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，且直線方程為【分析】（1）寫(xiě)出以點(diǎn)為圓心為半徑的圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，求出的值，進(jìn)一步求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出以為直徑的圓的方程，并化簡(jiǎn)圓的方程為，令，求出的值，可的結(jié)論.【詳解】（1）解：以點(diǎn)為圓心為半徑的圓的方程為．因?yàn)樵搱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可得，所以，．從而可得橢圓的方程為．（2）解：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則直線的方程為，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．取圓上任意一點(diǎn)，則，，由圓的幾何性質(zhì)可知，則，則以為直徑的圓的方程為．化簡(jiǎn)可得：，結(jié)合橢圓的方程可得，代入上式可得：．令，可得恒成立．據(jù)此可知存在直線，該直線截的弦長(zhǎng)為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．21．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，四邊形的周長(zhǎng)為8，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交曲線與，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，求出這個(gè)定點(diǎn)；如果不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)（）(2)直線過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）定義法求軌跡方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出直線的方程，令y=0，得到x為定值，從而得到定點(diǎn).(1)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，四邊形的周長(zhǎng)為8，所以，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓（去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)），設(shè)其方程為其中半焦距，所以所以曲線的方程為（）(2)設(shè)，，，設(shè)直線聯(lián)立方程組，整理得所以，又因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的方程為令得所以，即直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出直線方程，求出定點(diǎn).22．（2022·廣東·統(tǒng)考三模）已知橢圓E：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E上異于左?右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線l：交x軸于點(diǎn)P，直線PB交橢圓E于另一點(diǎn)C，直線BA和CA分別交直線l于點(diǎn)M和N，若O?A?M?N四點(diǎn)共圓，求t的值.【答案】(1)；(2)6．【分析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求解；(2)設(shè)B(，)，C(，)，設(shè)BC為，與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系.表示出BA、CA的方程，令x=t分別求出M、N的坐標(biāo).當(dāng)O?A?M?N四點(diǎn)共圓時(shí)，由割線定理可得，代入各點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)即可得t的值．【詳解】（1）依題意：，解得：，，故橢圓C的方程為；（2）設(shè)B(，)，C(，)，∵點(diǎn)B為橢圓E上異于左?右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則直線BC不與x軸重合，則可設(shè)BC為，與橢圓方程聯(lián)立得，則，可得，由韋達(dá)定理可得．直線BA的方程為，令得點(diǎn)M縱坐標(biāo)同理可得，點(diǎn)N縱坐標(biāo)當(dāng)O?A?M?N四點(diǎn)共圓時(shí)，由割線定理可得，即，∵．由，故，解得．23．（2022·廣東深圳·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，點(diǎn)F在線段AB上，且，.(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)；在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，即可表示出，，根據(jù)得到方程，即可求出，從而得到，再根據(jù)及，求出、，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，，分別求出直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)的值，根據(jù)為定值，得到方程，即可求出及的坐標(biāo)，再對(duì)直線不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為、，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出從而計(jì)算可得；【詳解】（1）解：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.因?yàn)?，則，.由已知，，即，即.因?yàn)?，則，即.因?yàn)闉闈u近線OA的傾斜角，則，即.又，則，.所以雙曲線C的方程是.（2）解：解法一：設(shè)點(diǎn)，.當(dāng)軸時(shí)，直線l的方程為，代入，得.不妨設(shè)點(diǎn)，，則.當(dāng)軸時(shí)，直線l的方程為，代入，得.不妨設(shè)點(diǎn)，，則.令，解得，此時(shí).當(dāng)直線不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，得，即.設(shè)點(diǎn)，，則，.對(duì)于點(diǎn)，.所以存在定點(diǎn)，使為定值.解法二：當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)了的方程為，代入，得，即.設(shè)點(diǎn)，，則，.在△PMO中，由余弦定理，得，設(shè)點(diǎn)，則，令，得，此時(shí)，.當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，則點(diǎn)P，Q為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，.對(duì)于點(diǎn)，.所以存在定點(diǎn)，使為定值.24．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，在橢圓上．(1)求橢圓C的方程．(2)若A，B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，問(wèn)△OAB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題目所給條件，列出關(guān)于的方程，解出即可（2）先分斜率存在和不存在兩種情況討論，①斜率不存在時(shí)，，此時(shí)三角形面積為定值；②斜率存在，先利用弦長(zhǎng)公式求出，再寫(xiě)出三角形面積的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性求出面積的取值范圍即可【詳解】（1）為其左焦點(diǎn),又在橢圓上，又解得，橢圓方程為：（2）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)易求此時(shí)（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)的斜率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)直線的方程為：

聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：

同理可求得令，則令，則又，綜上，△OAB的面積有最大值，最大面積為25．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考二模）已知P是離心率為的橢圓上任意一點(diǎn)，且P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，直線AP交y軸于點(diǎn)D，E為線段AP的中點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得直線DM與OE交于Q，且點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上，若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)與該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由橢圓定義和離心率可得答案；（2）設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)出直線AP的方程為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得直線OE的方程、直線DM方程，再聯(lián)立兩個(gè)方程可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，故橢圓方程為：．（2）設(shè)存在定點(diǎn)，滿足條件．由已知，設(shè)直線AP的方程為，由消去y整理得，，所以，，時(shí)，，所以直線OE的方程為，①由中，令，得，從而，又，所以，所以直線DM方程為，②由①②消去參數(shù)k，得，即，③方程③要表示圓，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)圓的方程為，時(shí)，在上述圓上，所以存在定點(diǎn)使直線DM與OE的交點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上，且定圓方程為：.26．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點(diǎn)，C2的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程；(2)如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補(bǔ)角，求△F1QR面積S的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線角點(diǎn)可得橢圓半焦距，結(jié)合離心率可解；（2）由題可知，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程消元，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出面積，化簡(jiǎn)，由基本不等式可得.【詳解】（1）由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的半焦距，又橢圓的離心率，所以，則，即，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，，∵與互補(bǔ)，∴，所以，化簡(jiǎn)整理得①，設(shè)直線PQ為，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡(jiǎn)整理可得，，可得②，由韋達(dá)定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，∴PQ的方程為，且由②可得，，即，由點(diǎn)到直線PQ的距離，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積S最大值為.27．（2022·廣東廣州·校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距最小值為．(1)求拋物線的方程．(2)若點(diǎn)在圓上，、是拋物線的兩條切線，、是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，可求得的值，由此可得出拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出切線、的方程，可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出以及點(diǎn)到直線的距離，求出面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.(1)解：拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，，所以，且與圓上點(diǎn)的距最小值為，解得，因此，拋物線的方程為.(2)解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，所以，直線的方程為，即，同理可知直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)為直線、的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立可得，由可得，所以，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，令，所以，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．28．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)F為，過(guò)橢圓左頂點(diǎn)和上項(xiàng)點(diǎn)的直線的斜率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若為平面上一點(diǎn)，C，D分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線NC，ND與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q.試判斷點(diǎn)F到直線PQ的距離是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，直接求出a，b的值作答.（2）當(dāng)時(shí)，求出直線的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立求出點(diǎn)