正余弦定理知識點總結(jié)及題型分析

正定和弦理c2ABb=2RsinB,c=2RsinC

是三角形徑

bcA2cosBc

abC

A

22a2222BCac

.a

A

2

=

2

2

A

22

2

A

S

1sinCbcsinAsinB2）已知兩角一邊用正弦定理）已經(jīng)兩邊及一邊對角用正弦定理；）已知兩邊及兩邊的夾角用余弦定理）已知三邊用余弦定理例1在

ABC

中，已知

A30

45

求

B例2已知下列各三角形中的兩邊及一角，判斷三角形是否有解，并作出解答（1）

23,6,A30

（2

b3,A120（3）（4）

bA60

-1-

中，已知=中，若試判斷的形狀中，已知=中，若試判斷的形狀。中，若試判斷的形狀。中，已知ABC例3在

ABC22

，則A=

；（2）若△的周長等于20面積是

，°，則邊

=（3知銳角三角形的邊長分別為2、3、

xx，則的取值范圍是=（4）在△中，已知

a

2

2

2

，則=題型二：判斷三角形的形狀例4在

ABCC（2）在

acoscosABC例5在

ABCb

2

2

，且

BsinC

34

，判斷三角形的形狀；（2）在

中，

()()bc

且

sinA2C

，判斷其形狀；例、已知關(guān)于

的方程

2

cosB2sin

2

2

的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是（）（A直角三角形（B）鈍角三角形（）等腰三角形（D）等邊三角形題型三：三角形的面積的問題例6已知ABC（2）在△

中，，B)中，已知

．

,求、、

及外接圓的半徑。（Ⅰ）求角

A

；（Ⅱ）若

，△的面積是

，求

AB

．-2-

的面積，求的周長．的面積，求的周長．題型四、正余弦定理的綜合應用1、在

中，角

的對邊分別為

a,b,,B

3

，

4Ab35

（Ⅰ）求

的值；（Ⅱ）求

的面積2、設

△

的內(nèi)角A、B所對的邊長分別為、，且bsinA=4．（）邊長a（）

△S△ABCl高考題一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一(或二角一邊或三)，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線(高線、角平分線、中)及周長等基本問題．例1(2005年全國高考江蘇卷)

中，A

3

，＝3，ABC的周長為（）A．

4

3sinB．4．6sinD．6sin6

6

例2(2005年全國高考湖北卷)在ΔABC中，已知

466,B3

，邊上的中線BD，求的值．-3-

二、判斷三角形的形狀：給出三角中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．例3(2005年北京春季高考題)ABC中，已sin

ABsin，那一定是（）A直角三角形

B．等腰三角形

．等腰直角三角形

D．正三角形三、解決與面積有問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合角形的面積公式來解題．例4(2005年全國高考上海卷)在ABC中則的面積S＝_________四、求值問題

，

AB，BC例5(2005年全國高考天津卷)在ABC中A、、

所對的邊長分別為

、b、

，設

、、c滿足條

2

和

1，求A和tan的值．b2例6全國卷IABC的角ABC對邊分別為abcabc等比數(shù)列且

c

則A

B

C

24

D．

23五、正余弦定理解三角形的實際應利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）量問題例如圖所示，為了測河的寬度，在一岸邊選AB兩點對岸標記物C得∠CAB=30°CBA=75°，求河的寬度。

CA

D

B圖-4-

例1.分：由正弦定理，求出及，或整體求出c，則周長為＋b＋c而得到結(jié)果．解：由正弦定理得：

3sin

3

bcbsinsinsin

bsin)3

，得b＋＝

3

[sinB

3

－)]＝

6sin(

6

)

．故三角形的周長為：3b＝

6sin

，D例2.解：設為中點，連接DE則DEAB，

DE

12

，設x在ΔBDE中利用余弦定理可得：

2

2

ED

2

cos

，5x

86，得，x（舍去）3故BC=2，從而

22

28，即3

2213

又

sinB

306

，故A

7014-5-

=例3.解法1：由=

sincosB

＝＋B＝AB＋cosA，即sincosB－cossinB＝0，得－B)＝0，＝B．故選(B)．解法2由題意，得＝

sinC2sinA2

，再由余弦定理，得cos＝

2

2

2

．∴

22

＝

c2a

，即a＝b，得＝b故選B)．評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判(如法1)⑵統(tǒng)一化為邊，再判(如解法2)．1例4.分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，運用面積公式S

2

A即解決．解：

由余弦定理，得＝

2AC22AC24912

，解得AC＝3．∴S＝

12

ACsinA

1534

．∴

12

1A＝h，h＝2

322

，故選(A)．例5.分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運用正、余弦定理．解：由余弦定理

A

21，因此A在△ABC，∠A∠由已知條件，應用正弦定理

1csinC32bsinBsin

cos12011cot解得cotB從tan.B2答案】由題意可知：

11C22

，從而cosBcos()cosBsinBAcossinB

A)

又因為

所以

AB

所以

ABC

一定是等腰三形選C例6解：ABC中，、b、c成等比數(shù)列，且

a，則b2

a，

a222ac44

，選B.-6-

例分析：求