實(shí)驗(yàn)人口預(yù)測(cè)與數(shù)據(jù)擬合

實(shí)驗(yàn)人口預(yù)測(cè)與數(shù)據(jù)擬合第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四實(shí)驗(yàn)13人口預(yù)測(cè)與數(shù)據(jù)擬合2、了解利用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的基本思想，掌握用數(shù)據(jù)擬合法尋找最佳擬合曲線的方法。3、了解多元函數(shù)的極值在數(shù)據(jù)擬合法中的應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。4、通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析研究，初步掌握建立數(shù)據(jù)擬合數(shù)學(xué)模型的方法。第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四據(jù)人口統(tǒng)計(jì)年鑒，知我國(guó)從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料如下：(人口數(shù)單位為：百萬(wàn))（1）在直角坐標(biāo)系上作出人口數(shù)的圖象。（2）建立人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系，并估算1999年的人口數(shù)。實(shí)驗(yàn)問(wèn)題年份

1949

1954

1959

1964

1969

人口數(shù)

541.67

602.66

672.09704.99

806.71

年份1974

1979

1984

1989

1994人口數(shù)

908.59

975.421034.75

1106.76

1176.74

第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如何確定a,b?線性模型第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、曲線擬合問(wèn)題的提法:

已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的n個(gè)點(diǎn)),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）)(xfy=，使)(xf在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好，如圖:

xy0++++++++一、曲線擬合確定f(x)使得

達(dá)到最小

最小二乘準(zhǔn)則

第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)據(jù)插值已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的n個(gè)點(diǎn)),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）)(xfy=

數(shù)據(jù)插值第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四２、用什么樣的曲線擬合已知數(shù)據(jù)?擬合基函數(shù)：１．畫圖觀察；２．理論分析指數(shù)函數(shù)類：

冪函數(shù)類：

擬合函數(shù)：——多項(xiàng)式擬合—指數(shù)函數(shù)擬合三角函數(shù)類：

擬合函數(shù)確定后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小值問(wèn)題：第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四３、擬合函數(shù)組中系數(shù)的確定第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四MATLAB中的數(shù)據(jù)擬合命令簡(jiǎn)單使用格式：X=lsqcurvefir(@fun,x0,xdata,ydata);[X,res]=lsqcurvefir(fun,x0,xdata,ydata);功能：對(duì)數(shù)據(jù)xdata,ydata按函數(shù)fun(文件)，以x0為初值做最小二乘擬合。返回fun中的系數(shù)向量和殘差平方和的范數(shù)。曲線擬合：lsqcurvefit第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四曲線擬合舉例例：已知觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示求最小二乘意義的曲線f(x)擬合，其中：X00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Y3.13.273.814.55.1867.058.569.6911.2513.17第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四實(shí)驗(yàn)過(guò)程：編寫擬合函數(shù)文件：functionf=nihefun(x,xdata)f=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3保存為nihefun.m編寫下面的程序：——sy09_01.mxdata=0:0.1:1;ydata=[3.13.273.814.55.1867.058.56…9.6911.2513.17];x0=[000];[x,resn]=lsqcurvefit(@nihefun,x0,xdata,ydata)

xdata=0:0.01:1;nihef=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3;pauseplot(xdata,nihef)

第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四MATLAB中的數(shù)據(jù)擬合命令簡(jiǎn)單使用格式：p=polyfit(xdata,ydata,m);

功能：對(duì)xdata,ydata用m次多項(xiàng)式擬合。

返回：擬合多項(xiàng)式的系數(shù)向量p。（從高到低）y0=polyval(p,x0)可以求得多項(xiàng)式在x0處的值。由于高次多項(xiàng)式曲線變化不穩(wěn)定，所以多項(xiàng)式次數(shù)的選取不宜過(guò)高。

多項(xiàng)式擬合：polyfit第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四多項(xiàng)式擬合舉例例：已知觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示分別用3次和6次多項(xiàng)式擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)。X00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Y-.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.311.2第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四實(shí)驗(yàn)過(guò)程：編寫下面的程序：——sy09_02.m

x=0:0.1:1;

y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.66…9.569.489.311.2];plot(x,y,’k.’,’markersize’,25);p3=polyfit(x,y,3);p6=polyfit(x,y,6);

t=0:0.01:1.2;s=polyval(p3,t);s1=polyval(p6,t);holdonplot(t,s,’k-’,’linewidth’,2)plot(t,s1,’k--’,’linewidth’,2)gridon

第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、人口預(yù)測(cè)線性模型

對(duì)于開始提出的實(shí)驗(yàn)問(wèn)題，代入數(shù)據(jù)，計(jì)算得從而得到人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系為把x=1999代如，估算出1999年的人口數(shù)為y=1252.1（百萬(wàn)）＝12.52億1999年實(shí)際人口數(shù)量為１２.６億。線性預(yù)測(cè)模型第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四英國(guó)人口學(xué)家Malthus根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于1798年提出了著名的人口自然增長(zhǎng)的指數(shù)增長(zhǎng)模型。三、人口預(yù)測(cè)的Malthus模型基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r

是常數(shù)x(t)~時(shí)刻t的人口,t=0時(shí)人口數(shù)為x0指數(shù)增長(zhǎng)模型實(shí)際中，常用第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.由前100年的數(shù)據(jù)求出美國(guó)的人口增長(zhǎng)Malthus模型。2.預(yù)測(cè)后100年（每隔10年）的人口狀況。3.根據(jù)預(yù)測(cè)的人口狀況和實(shí)際的人口數(shù)量,討論人口模型的改進(jìn)情況。美國(guó)1790年－1980年每隔10年的人口記錄226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口(百萬(wàn))1980197019601950194019301920191019001890年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口(百萬(wàn))1880187018601850184018301820181018001790年份例１第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：取得最小值.其中,表示人口數(shù)量。表示年份,解方程組:即得參數(shù)的值.使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四％sy09_3.m%%Thisprogramistopredictthenumberofpopulation%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);

A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2];

ab=inv(A)*D;

disp('a=');disp(ab(1));

disp('b=');disp(ab(2));

fori=1:10

xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i));

end

fori=1:10

xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i));

end

plot(t1,x1,'r*--',t1,xx1,'b+-',t2,x2,'g*--',t2,xx2,'m+-');

第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四a=-49.79535457790735b=0.02859807120038擬合結(jié)果表明：人口的指數(shù)模型在短期內(nèi)基本上能比較準(zhǔn)確地反映人口自然增長(zhǎng)的規(guī)律，但長(zhǎng)期預(yù)測(cè)誤差很大，需要修正預(yù)測(cè)模型。擬合曲線原始數(shù)據(jù)曲線第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、人口預(yù)測(cè)的Logistic模型如果人口的增長(zhǎng)符合Malthus模型，則人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用1838年，荷蘭生物學(xué)家Verhulst對(duì)Malthus模型作了進(jìn)一步分析后指出：導(dǎo)致上述不符合實(shí)際情況的主要原因是未能考慮“密度制約”因素。即最終導(dǎo)致地球上人口爆炸，這與實(shí)際是不相符的。且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大r是x的減函數(shù)第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))k~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2中國(guó)人口預(yù)測(cè)yearpopupopu_fit19718.5238.61919728.7188.76019738.9218.90119749.0869.04219759.2429.18319769.3729.32419779.4979.46619789.6269.60719799.7549.74919809.8719.890198110.00710.031198210.16510.172yearpopupopu_fit198310.30110.313198410.43610.453198510.58510.593198610.75110.732198710.93010.871198811.10311.009198911.27011.147199011.43311.284第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四中國(guó)人口Logistic模型—zgrk_lgstic.mclear;clc;clfloadzgrk_data;k=19;cpopu1=1./cpopu-1/k;n=15;a=sum(year(1:n));b=sum(year(1:n).*year(1:n));c=sum(log(cpopu1(1:n)));d=sum(year(1:n).*log(cpopu1(1:n)));A=[na;ab];B=[c;d];p=inv(A)*Bx=1971:2006;y=1./(1/k+exp(p(1)+p(2)*x));cpopu_new=[11.582,11.717,11.852,11.985,12.112,12.239,...

12.363,12.476,12.519,12.634,12.763,12.845,12.923,...

12.999,13.076,13.145];cpoputj=[cpopu,cpopu_new];

scatter(x,cpoputj,'k*')axis([19712010615]);grid;holdon；plot(x,y,'r-','linewidth',2)fprintf('yearpopupopu_fit\n');fori=1:20year=i+1970;fprintf('%6.0f%8.3f%8.3f\n',year,cpoputj(i),y(i))endfprintf('==============\n');fprintf('yearopu_tjpopu_pred\n');fori=21:36year=i+1970;fprintf('%6.0f%8.3f%8.3f\n',year,cpoputj(i),y(i));end第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四中國(guó)人口預(yù)測(cè)的Logistic模型結(jié)果：假設(shè)中國(guó)人口容納量為19億時(shí)，Logistic模型為：年份201020152020人口數(shù)（億）13.798914.342214.8458第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四多項(xiàng)式擬合人口模型——sy09_04.m%Thisprogramistopredictthemodelofpopulationby4-degreepolynomial%%prog42.m%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];t=[t1;t2];P1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];P2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];P=[P1;P2];n=4;%Thedegreeofthefittingpolynomial%[a,s]=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);%aisthecoefficientsvectorfromn-degreeto0-degree%plot(t,P,'r*--',t,y,'b+-');第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四a=1.0e+006*-0.000000000000140.0000000