線性規(guī)劃的基本概念與基本定理詳解演示文稿

線性規(guī)劃的基本概念與基本定理詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有53頁\編輯于星期三（優(yōu)選）線性規(guī)劃的基本概念與基本定理現(xiàn)在是2頁\一共有53頁\編輯于星期三解：問題的可行域是上圖所示的無界凸多邊形區(qū)域，在此無界可行域上，目標函數(shù)值無上界，所以這個線性規(guī)劃問題有無界解。定義5：對于極大化目標函數(shù)的標準線性規(guī)劃問題，定義其無界解如下：對于任何給定的正數(shù)M，存在可行解X

滿足AX=b，X≥0，使cX>M。那么稱該線性規(guī)劃問題有無界解。由定義可知，無界解的意思是：若是極大化目標函數(shù)，則在可行域上目標函數(shù)值無上界；若是極小化目標函數(shù)，則在可行域上目標函數(shù)值無下界。那么，有無界解的線性規(guī)劃問題一定沒有最優(yōu)解。 maxs.t例1.考慮線性規(guī)劃問題：現(xiàn)在是3頁\一共有53頁\編輯于星期三例2.maxf=s.t解：此問題的可行域如上圖，是一個無界的多邊形。但極大化目標函數(shù)卻以1為上界。因此這個線性規(guī)劃問題沒有無界解，而且事實上，此問題目標函數(shù)最優(yōu)值maxf=1在可行域射線 上均可達到。三.基、基本可行解定義6：對于約束條件Ax=b，設A是秩m的mｘn矩陣，用(Pj,j=1~n)表示A的第j列向量。即A=(

)。由A的m個列向量構成的m階方陣B=(

)若B是非奇異的，即detB?0，則稱B為一個基或稱為一個基矩陣。因為SLP問題中含有約束條件Ax=b，因此也通常稱B為線性規(guī)劃SLP的一個基?，F(xiàn)在是4頁\一共有53頁\編輯于星期三解：A=使minf=滿足例3.求x1----x5由上面定義可知，B中m個列向量是線性無關的，并且它是A的列向量組的一個最大無關組。按定義，A中m個列向量，只要是線性無關的就可以構成一個基。定義7：若變量對應A中列向量包含在基B中，則稱為B的基變量；若變量對應A中的列向量不包含在基B中，則稱為B中的非基變量。現(xiàn)在是5頁\一共有53頁\編輯于星期三定義8：設Ax=b,x0一個基，其對應的基變量構成的m維列向量記為這時若全非基是線性無關，因此是一組基。而不在這個基中，所以x1,

x2為非基變量。的列是線性無關的，即則現(xiàn)在是6頁\一共有53頁\編輯于星期三于是得到方程組Ax=b的一個解：非基變量稱之為對應于基B的基本解。這個定義也告訴我們怎樣找一個基本解）變量等于0，則Ax=bBxB=b,得唯一解xB=B-1b.記為如：上面例2中，非基變量x1=x2=0.則可得x3=5,x4=-2,x5=21.所以x0=(0,0,5,-2,21)是對應于基B的一個基本解，但由于x4=-2<0.不能滿足約束條件，所以這個基本解不是原問題的可行解。（為什么？）這是因為，按照定義，基本解中的n-m個非基變量必須取0值只有m個基變量取值才可能不等于0。但可以取負值。因此基本解不一定滿足SLP的非負要求。

定義9：對應于基B的基本解，若基變量取非負值，即xB=B-1b>=0，則稱它為滿足約束Ax=b,x>=o的基本可行解。對應地稱B為可行基，因SLP中具有此約束條件。也通常稱為SLP的基本可行解?，F(xiàn)在是7頁\一共有53頁\編輯于星期三上面我們講到基本解中有n-m個分量必須取零值，而只有m個基變量取非零值。而基本可行解，它一方面是基本解，另一方面又是可行解，因為它是基本解，所以n-m個非基變量取0值；它是可行解，則m個基變量取非負值，從而基本可行解正分量是個數(shù)不超過m.定義10：使目標函數(shù)達到最優(yōu)值的基本可行解，稱為基本最優(yōu)值。例4：（SLP)如例3，試找一個基本可行解。解：是其一個基矩陣.p1,p3,p5是一個基。

則x1,x3,x5為基變量。X2,x4為非基變量。令x2=x4=0.得x1=2,x3=3,x5=9.故x1=(2,0,3,0,9)是原問題的一個基本可行解，B1為基可行基。現(xiàn)在是8頁\一共有53頁\編輯于星期三那么滿足Ax=b,

x0的正分量個數(shù)不超過m的可行解（Rank(Amn)=m）是否一定是基本可行解呢？我們舉例說明這個問題。它有正分量個數(shù)等于m(m=2)的可行解:x1=3,x2=1,x3=0,x4=0但它不是基本可行解。證：（反證法）假設可行解x=(3,1,0,0)T是上面約束的基本可行解。因為基本可行解中非基變量取0值，基變量取非負值。在這個可行解中x1,x2非零正值，因此x1,x2不可能是非基變量，只能是基變量。按定義，基變量對應的系數(shù)矩陣中的列向量p1,p2應構成一個基矩陣B.但這里p1,p2

是線性相關的（p1=p2),這與B是基矩陣矛盾。故知x=(2,1,0,0)T不是基可行解。例5.已知約束條件為：現(xiàn)在是9頁\一共有53頁\編輯于星期三其可行域如上圖，可行解（3，1，0，0）T。用x1,

x2表示則為圖上點（3，1）。由圖可見這不是可行域的頂點。而我們將證明基本可行解是可行域的頂點。而在例4中p1,p3線性無關，所以B=(p1,p3)是一個基矩陣，對應的基本解為（4，0，0，0）T。用坐標x1,

x2表示則為平面上的點（4，0），是上圖可行域的頂點。由此例可見，雖然可行解（3，1，0，0）T

正分量個數(shù)不超過m，但它的正分量對應的列向量不是線性無關的，不能與一基矩陣相聯(lián)系，所以它不是一個基本可行解?，F(xiàn)在我們把例4中松弛變量x3,

x4去掉，約束變?yōu)楝F(xiàn)在是10頁\一共有53頁\編輯于星期三對于這個基B=(p1,p3)的基本可行解（4，0，0，0）T。除了非基變量x2=x4=0外，還有基變量x3=0,這樣的基本可行解稱為退化的基本可行解。定義11：有基變量取0值的基本可行解，稱為退化的基本可行解，它對應的基B稱為退化的可行基。

m個基變量均取正值的基本可行解，稱為非退化的基本可行解對應基B稱為非退化的可行基。如果一個線性規(guī)劃問題的所有基本可行解都是非退化的，則稱這個線性規(guī)劃問題是非退化的。

由以上定義可知，如果約束問題有m個基變量，則在退化的基本可行解中，正分量個數(shù)一定小于m。在基本可行解中取正值的變量一定是基變量。這樣基本可行解中正分量個數(shù)也不會超過m。但是上面的例4已經(jīng)說明，正分量個數(shù)不超過m的可行解不一定是基本可行解，還要看可行解中正分量對應的列向量是否線性無關而定。然而基本可行解中正分量對應的系數(shù)矩陣的列向量一定線性無關?，F(xiàn)在是11頁\一共有53頁\編輯于星期三

定理1：設A是mn矩陣，秩為m,對于Ax=b,x0有：（1）可行解x0=是基本可行解的充要條件是x0的分量對應A中的列向量線性無關。（2）如果x=(0,0….0)T即x=0是可行解，則它一定是基本可行解。證明：（1）必要性.假定x0是基本可行解，由基本可行解定義可知，x0中的正分量一定是基變量，基變量對應系數(shù)矩陣A中的列向量一定在基B中，則線性無關。充分性.假定x0正分量對應A中的列向量線性無關，只要證明x0是基本可行解。因為矩陣A的秩m，則km（k是x0的正分量個數(shù)）現(xiàn)在是12頁\一共有53頁\編輯于星期三當k<m時，因rank(A)=m

現(xiàn)在線性無關，可以再從A的其余列中找出適當m-k個向量，不妨設使

線性無關，從而構成A的一個基，對應x0中的基變量取值為：因為有取0值的基變量，所以x0是對應于基（）的一個退化基本可行基解。當k=m時，只要m個線性無關的向量構成一個基，而對應x0中的分量取正值的列向量線性無關。因此也構成一個基，所以x0就是對應于該基的一個非退化的基本可行解?，F(xiàn)在是13頁\一共有53頁\編輯于星期三定義１２：設A是mn矩陣，秩為m，對于Ax=b,x0的可行解x，如果滿足：（１）x的正分量個數(shù)小于或等于m（２）x的正分量對應A中的列向量線性無關。

則稱x是一個基本可行解。若x=0是可行解，則定義它是一個基本可行解。注：定義９與定義１２的等價性可由定義７推出。（2）因為A的秩為m,所以在A中一定存在m個線性無關的列向量，將其構成一個B,對應于可行解x=(0,0,…0)T中的基變量取０值，所以可行解x=0是對應于基B的退化的基本可行解。根據(jù)這個定理，基本可行解也可以定義如下：現(xiàn)在是14頁\一共有53頁\編輯于星期三四.凸集我們先考察二維平面上直線段上任意一點的表示形式。取x.y為平面上兩點，用以原點為起點的向量來表示x和y。

并設z是線段xy上任意一點，得向量z-y.它與向量x-y平行且方向相同。于是有

當時，z=y；時，z=x當由0連續(xù)變動到1時，點z由y沿此直線連續(xù)的變動到x，且因z-y平行x-y，則有：于是有：這說明當時，表示以x.y為端點的直線段上的所有點，因而它代表以x.y為端點的直線段。一般地，如果x.y是n維歐氏空間Rn中的兩點，則有如下定義：現(xiàn)在是15頁\一共有53頁\編輯于星期三定義13：如果x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意兩點，定義

的點所構成的集合為以x,y為端點的線段，對應的點x,y叫做這線段的端點，而對應的點叫做這線段的內(nèi)點。

定義14：設R是Rn中的一個點集，（即），對于任意兩點以及滿足的實數(shù),恒有

則稱R為凸集。

根據(jù)以上定義12及13可以看到，凸集的幾何意義是：連接凸集中任意兩點的直線段仍在此集合內(nèi)。

例如實心的圓，實心的矩形，實心的球體，實心的長方體等等均是凸集，圓周不是凸集。

直觀地看，凸集是沒有凹入的部分，其內(nèi)部沒有孔洞?，F(xiàn)在是16頁\一共有53頁\編輯于星期三

例5：集合是R3中的一個凸集。（可按定義證明）例7：（LP）問題：的可行域證明：設由定義知，只要證明x1,x2的任意凸組合即可。因例6：是R2中的一個凸集。上圖中(a)(b)是凸集，而(c)(d)不是凸集。(a)(b)(c)(d)現(xiàn)在是17頁\一共有53頁\編輯于星期三定義15：設x1,x2…xk是Rn中的k個點，若存在實數(shù)滿足使則稱x是x1,x2…xk的凸組合。

定理2(SLP)問題的可行集

是Rn中的一個凸集（證明與例7相似）

定義16：設A是矩陣，b是m維列向量，集合如果R是凸集，則稱R為多面凸集。注：此處b的分量可取負值。有可見故知R是凸集。注：可以用歸納法證明：如果R是凸集，則R中任意有限個點的凸組合均在R中?，F(xiàn)在是18頁\一共有53頁\編輯于星期三約束條件為Ax=b，x>=0，則可寫成：因此，（SLP）問題的可行集是一個多面凸集。多面凸集可以有界，亦可無界。例8：將下面的約束條件：寫成Ax<=b的形式一般地，我們可以把任何線性規(guī)劃問題的條件都寫成Ax<=b的形式。例如：現(xiàn)在是19頁\一共有53頁\編輯于星期三解：上面的約束條件可以轉(zhuǎn)化為：其圖如下（1），是一個二維有界的多面凸集。（1）（2）現(xiàn)在是20頁\一共有53頁\編輯于星期三所確定的是一個無界的多面凸集。如上圖（2）

§2.2線形規(guī)劃的基本定理一基本可行解與極點解的等價性例如多邊形，多面體的頂點，圓周上，球面上的頂點等都是頂點?，F(xiàn)在是21頁\一共有53頁\編輯于星期三若x≠0是可行域的極點，設x的正分量要證明x是基本可行解，由上節(jié)的定理1知，只需證明這些數(shù)分量對應A中的列向量線性無關。上面我們已經(jīng)說（SLP）的可行域是由直線，平面或超平面為邊界構成的凸多邊形或凸多面體（亦即多面凸集）因此線形規(guī)劃問題可行域的頂點就是極點。定理3

x是線形規(guī)劃（SLP）可行域R的極點的充要條件是：x是基本可行解。證明：必要性。設x是可行域的極點，要證明x是基本可行解。若x=0是可行域的極點。則x=0是可行解，由上節(jié)定理1中（2）即知x是基本可行解?，F(xiàn)在是22頁\一共有53頁\編輯于星期三現(xiàn)在構造一個n維列向量y，它的第分量分別為，其余分量為0，則有y≠0。且

Ay==0由于≠0。（1<=i<=k），取可見〉0且xy>=0因而是兩個可行解。分別記為：

有：現(xiàn)在是23頁\一共有53頁\編輯于星期三因故取則這表明：x可以表示成R中其它點的凸組合。這與x是R的極點相矛盾。故必要性得證。充分性：設x是（SLP）的基本可行解。要證x是可行域的極點。若x=0是基本可行解，而存在可行域中的點，使x=0能表成：的形式。即=0因此這表明x=0不能表成可行域中兩點的凸組合，因此是極點。若x≠0是基本可行解。由定理1知，x的正分量對應A中列向量線形無關。反證法：若基本可行解x不是可行域的極點。則可行域中現(xiàn)在是24頁\一共有53頁\編輯于星期三存在異于x的不同兩點設為y和z。或且時=0所以上式變?yōu)椋憾室蚨鴜與z是可行解，應滿足兩式相減得因為y與z是不相同的兩點。他們的分量至少有一個不相等。即不全為0。因此線性相關。這與x是基本可行解相矛盾。故x是基本可行解。則必為可行域的頂點。現(xiàn)在是25頁\一共有53頁\編輯于星期三證明：（1）設有可行解若=0，則由定理1（2）知就是基本可行解。若≠0，不妨設的正分量為前k個。二基本定理

定理4假定線性規(guī)劃（SLP）的A是m×n的矩陣。秩為m，且A的列向量均不是零向量。（1）若有可行解，則必有基本可行解（即非空可行集R必有極點）（2）若有最優(yōu)解，則目標函數(shù)必定在基本可行解上（極點）達到極值。（即若有最優(yōu)解，則必有基本最優(yōu)解）（3）若目標函數(shù)在多于一個極點上達到最優(yōu)，則必在這些極點的凸組合上達到最優(yōu)?，F(xiàn)在是26頁\一共有53頁\編輯于星期三由于線性相關，于是存在不全為零的數(shù)使得不妨設至少有一個,否則可取構造n維列向量,則知

因為存在則可取而如果正分量對應A中列向量線性無關，則由定理1（1）知就是基本可行解。如果正分量A中的列向量線性相關，有定理1（1）知不是基本可行解。（下面的證明思想就是構造比正分量要少的新可行解，考慮是不是基本可行解。）現(xiàn)在是27頁\一共有53頁\編輯于星期三這樣得出一個正分量是個數(shù)比少的可行解，它除了后面的n-k個分量等于0外，前面k個分量中的第l個分量也等于0。這樣我們便可以在線性相關向量組中去掉向量如果剩下的向量線性無關，由定理1（1）即知就是基本可行解。否則再重復上面的步驟，可以得到可行解它的正分量個數(shù)越來越少，經(jīng)過有限步，必然得到一個可行解。則可見是可行解。它的第l個分量令現(xiàn)在是28頁\一共有53頁\編輯于星期三或者則它必為基本可行解（定理1（2））或者但其正分量個數(shù)或者大于1對應的列向量線性無關，或者正分量個數(shù)等于1，這時對應A中只有一個列向量，因為已假定A的列向量不是零向量，而一個非零向量必然線性無關。因此不論怎樣就是基本可行解（定理1（1））（2）設是（SLP）最優(yōu)解。并設是目標函數(shù)最優(yōu)值，即?，F(xiàn)在證明是存在基本可行解是最優(yōu)解。如果，則因是最優(yōu)解，首先必須是可行解。因此，就是基本可行解（定理1（2）），取就得到基本最優(yōu)解。如果則中必有正分量不妨設,其中。若正現(xiàn)在是29頁\一共有53頁\編輯于星期三分量對應A中的列向量線性無關，則就是基本可行解（定理1（1）），取即得到基本最優(yōu)解.若正分量對應A中的列向量線性相關，則存在不全為零的數(shù)使：。構造n維列向量y使其第1，2，……k分量分別為而其余分量為0，則有y≠0且取可見>0且即和是兩個可行解，分別記為及。它們的目標函數(shù)值分別為：現(xiàn)在是30頁\一共有53頁\編輯于星期三因為是最優(yōu)解，所以：,又因為故于是有;這表明及均為最優(yōu)解。又由的取法知

當時,這時中第l分量等于0，當時,這時中第l分量等于0。所以至少有一個的正分量個數(shù)比的正分量個數(shù)要少，記這個解為。那么也是最優(yōu)解?？梢?，如果不是基本最優(yōu)解，即的正分量對應A中的列向量線性相關，那么總可以令一個最優(yōu)解，其正分量個數(shù)比正分量個數(shù)少。如果是基本最優(yōu)解，即的正分量對應A中的列向量線性無關，則取,即證明3（2）?，F(xiàn)在是31頁\一共有53頁\編輯于星期三（ii）只有唯一的一個正分量，因A的列向量均為非零故的正分量對應A中的列向量線性無關。同（I）一樣可知即為基本最優(yōu)解。（iii）=0這時=0是可行解。由上面的證明已知=0就是基本最優(yōu)解。到此，我們證明了定理的第（2）部分。（i）的正分量對應A中的列向量線性無關，因此是基本可行解。取即為基本最優(yōu)解（3）假定目標函數(shù)在極點上達到最優(yōu)值又設它們的任意凸組合為：如果的正分量對應A中的列向量線性相關，則可重復上述步驟，得到最優(yōu)解經(jīng)過有限步必達到下面的三種情形之一：現(xiàn)在是32頁\一共有53頁\編輯于星期三上面，定理3，定理4是線性規(guī)劃的兩個很重要的定理。證明了線性規(guī)劃的基本可行解等同于可行域的頂點。并且，如果線性規(guī)劃有最優(yōu)解，則必在可行域的頂點上達到最優(yōu)。這樣，一個有最優(yōu)解的（SLP）問題，是一定可以從可行域的極點中（即基本可行解中）求得最優(yōu)解的。而又故知的凸組合也是目標函數(shù)的最優(yōu)值點。至此，我們?nèi)孀C明了定理4?，F(xiàn)在是33頁\一共有53頁\編輯于星期三而基本可行解是對應A中的m個線性無關的列向量。A只有n個列向量。從n個列向量中取出m個線性無關向量相成的向量組。其數(shù)目上有限的。因此基本可行解的數(shù)量也是有限的。它不會超過：個。這樣對一個有最優(yōu)解的線性規(guī)劃利用窮舉法可以在有限步內(nèi)找到基本最優(yōu)解。但運算是很大的。我們后面要學習的單純形方法就是根據(jù)這一基本定理在有限個基本可行解中尋找基本最優(yōu)解。另外，定理4還告訴我們，若目標函數(shù)在多于一個極點上達到最優(yōu)，則在這些極點的凸組合上也達到最優(yōu)。現(xiàn)在是34頁\一共有53頁\編輯于星期三例：考慮線性規(guī)劃：解：可行域極點為：M1（0.0），M2（2.0）M3（1.2）M4（0.1），其目標函數(shù)值分別為f1=0f2=2f3=2f4=1/2，在M2M3的凸組合上（即在線段M2M3上）也達到最優(yōu)。事實上，可以用圖解法來說明這一點。因目標函數(shù)等值線x1+1/2x2=2與可行域的邊重合，該直線段上的點對應目標函數(shù)值均有f=2。

現(xiàn)在是35頁\一共有53頁\編輯于星期三§2.3極射向、可行解的表示定理一極射向設A是m×n矩陣，rank（A）=m。A=（p1p2……pn）對于A的一個基B=（pj1pj2……pjm)相應有。設這在單純形算法里是一個重要矩陣。其中=I是m階單位矩陣。它的每一列（i=1~m）是第I個分量為1的單位向量。若x是非基變量。對應中的第j列向量為：現(xiàn)在是36頁\一共有53頁\編輯于星期三定義極方向：其中定義18（極方向）設B是（SLP）的一個基。對于非基變量xj下面通過對非基變量xj對應列中的元素來定義極方向?，F(xiàn)在是37頁\一共有53頁\編輯于星期三

因此，如果xj是基B的非基變量，就有極方向Dj存在，而Dj的分量由

列中反號及1和0組成。具體的說，Dj中第分量取值為的第i分量的反號即-.Dj中第j分量取值為1，其余非基變量下標（除去j）所對應的分量取值為0。下面舉例說明極方向的概念：例：考慮線性規(guī)劃問題：現(xiàn)在是38頁\一共有53頁\編輯于星期三顯然

是一個基陣，B-1=B先將它化為標準形式：問題的可行域如上圖所示。現(xiàn)在是39頁\一共有53頁\編輯于星期三問題是哪個取，哪個取。因為B=（p4，p3）=（pj1,pj2)即j1=4，j2=3。由定義即知：于是，可得D1。并同理可得D2的表示式如下：則對應非基變量的極方向分別為：我們來看它們的分量是怎樣取值先考慮,由定義=1，是非基變量所以=0,再看基變量對應中的怎樣取值，按定義，應取元素的值及。現(xiàn)在是40頁\一共有53頁\編輯于星期三定理5（極方向性質(zhì)）設Dj是基B的非基變量xj極方向，則有ADj=0.證明：設

易驗證：一般的我們有：因為現(xiàn)在是41頁\一共有53頁\編輯于星期三即（*）=又由極方向定義及（*）式有：在上例中由已知A及D1的表達式得AD1=0即為下式現(xiàn)在是42頁\一共有53頁\編輯于星期三

定義19：對于極方向若滿足≥0。則稱為極方向。因此上例中是極方向，而不是。定理6設B是線形規(guī)劃（SLP）的一個可行基，對應基本可行解為。若對某個非基變量，存在極射向≥0且滿足C>0。則此線形規(guī)劃問題目標函數(shù)無上界，故無最優(yōu)解。上例中≥0在線形規(guī)劃中這種極方向比較重要。事實上，我的以上例中線形規(guī)劃存在可行性解，同時又存在極方向≥0。由圖象又可見其可行域是無界的。此方程由知可由及表示出來。當取=1，=0時，得到=1，=0。這就是D1由D1及P2的前兩個坐標構成平面上向量分別為也畫在前面的坐標圖中?，F(xiàn)在是43頁\一共有53頁\編輯于星期三證明：因為≥0而由Th.5.A=0則對實數(shù)λ>0。滿足：A（+

λ）=A=b+

λ≥0因此+λ是可行解。由定理中的條件C>0當λ→∞時，目標函數(shù)f=C（+λ）=C+λC→

∞這表明目標函數(shù)無上界。無最優(yōu)解。證畢。這個定理告訴我們，當存在極射向0時那么+λ，也是可行解，而中一定有正分是（因為至少有=1）但由于a>0可以取任意大的正數(shù)。所以可行解+λ對于中正分量的那些坐標隨λ→+∞而趨于+∞這表示只要存在,可行域必是無界的?，F(xiàn)在是44頁\一共有53頁\編輯于星期三但我們已經(jīng)說過，有無界可行域并不意味就有無界解，而加上條件CDj>0后，目標函數(shù)就無上界了。這時就有無界解。因而無最優(yōu)解。我們在回過頭來考慮上面的例子：在上面的例子中=（1,0,1,0)T

及C=（1.-1.0.0)T

故滿足CD1=1>0。而這個線形規(guī)劃又存在基可行解=（0,0,1,2)T當λ>0時，+=（

,0,1+,2)T

也是可行解。但當→∞時，坐標x=→∞因此可行域是無界的而目標函數(shù)f=C（+）=→∞無上界，現(xiàn)在是45頁\一共有53頁\編輯于星期三二可行解的表示定理當可行域無界時，除了考慮可行域的極點外，還要考慮極射向。上節(jié)已經(jīng)分析出結(jié)論：（SLP）可行域的極點（基可行解）不超過個是有限的。設共有r個極點：如果（SLP）存在極射向，一樣的分析可知，極射向也是有限個。設為：于是有下面的表示定理：

定理7設

非空。A是m×n陣，rankA=m且A的列向量均不為零向量。則x是可行解(即x∈R)的充要條件是：存在非負實數(shù)使得現(xiàn)在是46頁\一共有53頁\編輯于星期三

證明：先證充分性。若x能表示成（*）式，要證x∈R?？梢妜∈R再證必要性。即x∈R，要證x能表成（*）式。現(xiàn)在是47頁\一共有53頁\編輯于星期三

知x可以表成（*）式，即現(xiàn)