中考數(shù)學(xué)幾何題總匯

中考數(shù)學(xué)幾何題總匯1.三角形的有關(guān)概念知識(shí)考點(diǎn)：理解三角形三邊的關(guān)系及三角形的主要線(xiàn)段（中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)）和三角形的內(nèi)角和定理。關(guān)鍵是正確理解有關(guān)概念，學(xué)會(huì)概念和定理的運(yùn)用。應(yīng)用方程知識(shí)求解幾何題是這部分知識(shí)常用的方法。精典例題：【例1】已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是、，且，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是（）A、B、C、D、分析：涉及構(gòu)成三角形三邊關(guān)系問(wèn)題時(shí)，一定要同時(shí)考慮第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和。答案：B變式與思考：在△ABC中，AC＝5，中線(xiàn)AD＝7，則AB邊的取值范圍是（）A、1＜AB＜29B、4＜AB＜24C、5＜AB＜19D、9＜AB＜評(píng)注：在解三角形的有關(guān)中線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，如果不能直接求解，則常將中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，借助全等三角形知識(shí)求解，這也是一種常見(jiàn)的作輔助線(xiàn)的方法?！纠?】如圖，已知△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝AC，延長(zhǎng)CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度數(shù)?！締?wèn)題二】如圖，已知P是等邊△ABC的BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別作AB、AC的垂線(xiàn)PE、PD，垂足為E、D。問(wèn)：△AED的周長(zhǎng)與四邊形EBCD的周長(zhǎng)之間的關(guān)系？分析與結(jié)論：（1）DE是△AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD＋AE＝BE＋BC＋CD（2）既有等邊三角形的條件，就有600的角可以利用；又有垂線(xiàn)，可造成含300角的直角三角形，故本題可借助特殊三角形的邊角關(guān)系來(lái)證明。略解：在等邊△ABC中，∠B＝∠C＝600又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D∴∠BPE＝∠CPD＝300不妨設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，BE＝，CD＝，那么：BP＝，PC＝，，而AE＝，AD＝∴AE＋AD＝又∵BE＋CD＋BC＝∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD從而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE即△AED的周長(zhǎng)等于四邊形EBCD的周長(zhǎng)。評(píng)注：本題若不認(rèn)真分析三角形的邊角關(guān)系，而想走“全等三角形”的道路是很難奏效的。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、三角形的三邊為1，，9，則的取值范圍是。2、已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別為1和2，如果第三邊的長(zhǎng)也是整數(shù)，那么第三邊的長(zhǎng)為。3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），則∠C＝度。4、如果△ABC的一個(gè)外角等于1500，且∠B＝∠C，則∠A＝。5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB邊上的高，則與∠A相等的角是。6、如圖，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，那么∠BDC＝。7、如圖，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周長(zhǎng)為28cm，則DB＝。8、紙片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)（如圖），若∠1＝200，則∠2的度數(shù)為。9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于點(diǎn)O，則∠BOC＝。10、若△ABC的三邊分別為、、，要使整式，則整數(shù)應(yīng)為。二、選擇題：1、若△ABC的三邊之長(zhǎng)都是整數(shù)，周長(zhǎng)小于10，則這樣的三角形共有（）A、6個(gè)B、7個(gè)C、8個(gè)D、9個(gè)2、在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A的度數(shù)為（）A、300B、360C、450D、3、等腰三角形一腰上的中線(xiàn)分周長(zhǎng)為15和12兩部分，則此三角形底邊之長(zhǎng)為（）A、7B、11C、7或11D、不能確定4、在△ABC中，∠B＝500，AB＞AC，則∠A的取值范圍是（）A、00＜∠A＜1800B、00＜∠A＜800C、500＜∠A＜1300D、800＜∠A＜13005、若、、是三角形的三個(gè)內(nèi)角，而，，，那么、、中，銳角的個(gè)數(shù)的錯(cuò)誤判斷是（）A、可能沒(méi)有銳角B、可能有一個(gè)銳角C、可能有兩個(gè)銳角D、最多一個(gè)銳角6、如果三角形的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個(gè)三角形一定是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、正三角形三、解答題：1、有5根木條，其長(zhǎng)度分別為4，8，8，10，12，用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？2、長(zhǎng)為2，3，5的線(xiàn)段，分別延伸相同長(zhǎng)度的線(xiàn)段后，能否組成三角形？若能，它能構(gòu)成直角三角形嗎？為什么？3、如圖，在△ABC中，∠A＝960，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線(xiàn)相交于，∠BC與∠CD的平分線(xiàn)相交于，依此類(lèi)推，∠BC與∠CD的平分線(xiàn)相交于，則∠的大小是多少？4、如圖，已知OA＝，P是射線(xiàn)ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可在射線(xiàn)ON上運(yùn)動(dòng)），∠AON＝600，填空：（1）當(dāng)OP＝時(shí)，△AOP為等邊三角形；（2）當(dāng)OP＝時(shí)，△AOP為直角三角形；（3）當(dāng)OP滿(mǎn)足時(shí)，△AOP為銳角三角形；（4）當(dāng)OP滿(mǎn)足時(shí)，△AOP為鈍角三角形。一、填空題：1、；2、2；3、1200；4、300或1200；5、∠DCB；6、500；7、8cm；8、600；9、1300；10、偶數(shù)。二、選擇題：CBCBCB三、解答題：1、6種（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）2、可以，設(shè)延伸部分為，則長(zhǎng)為，，的三條線(xiàn)段中，最長(zhǎng)，∵∴只要，長(zhǎng)為，，的三條線(xiàn)段可以組成三角形設(shè)長(zhǎng)為的線(xiàn)段所對(duì)的角為，則為△ABC的最大角又由當(dāng)，即時(shí)，△ABC為直角三角形。3、304、（1）；（2）或；（3）＜OP＜；（4）0＜OP＜或OP＞2.全等三角形知識(shí)考點(diǎn)：掌握用三角形全等的判定定理來(lái)解決有關(guān)的證明和計(jì)算問(wèn)題，靈活運(yùn)用三角形全等的三個(gè)判定定理來(lái)證明三角形全等。精典例題：【例1】如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。求證：CE＝CD。分析：作AF⊥CD的延長(zhǎng)線(xiàn)（證明略）評(píng)注：尋求全等的條件，在證明兩條線(xiàn)段（或兩個(gè)角）相等時(shí)，若它們所在的兩個(gè)三角形不全等，就必須添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，常見(jiàn)輔助線(xiàn)有：①連結(jié)某兩個(gè)已知點(diǎn)；②過(guò)已知點(diǎn)作某已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)；③延長(zhǎng)某已知線(xiàn)段到某個(gè)點(diǎn)，或與已知直線(xiàn)相交；④作一角等于已知角?！纠?】如圖，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD。分析：采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，延長(zhǎng)AC至 E，使AE＝AB，連結(jié)DE；也可在AB上截取AE＝AC，再證明EB＝CD（證明略）。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題一】閱讀下題：如圖，P是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，E是AP上的一點(diǎn)，若EB＝EC，∠1＝∠2，求證：AP⊥BC。證明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2∴△ABE≌△ACE（第一步）∴AB＝AC，∠3＝∠4（第二步）∴AP⊥BC（等腰三角形三線(xiàn)合一）上面的證明過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)寫(xiě)出每一步的推理依據(jù)；若不正確，請(qǐng)指出關(guān)鍵錯(cuò)在哪一步，并寫(xiě)出你認(rèn)為正確的證明過(guò)程。略解：不正確，錯(cuò)在第一步。正確證法為：∵BE＝CE∴∠EBC＝∠ECB又∵∠1＝∠2∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4又∵AB＝AC∴AP⊥BC評(píng)注：本題是以考查學(xué)生練習(xí)中常見(jiàn)錯(cuò)誤為閱讀材料設(shè)計(jì)而成的閱讀性試題，其目的是考查學(xué)生閱讀理解能力，證明過(guò)程中邏輯推理的嚴(yán)密性。閱讀理解題是近幾年各地都有的新題型，應(yīng)引起重視。【問(wèn)題二】眾所周知，只有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，你能想辦法安排和外理這三個(gè)條件，使這兩個(gè)三角形全等嗎？請(qǐng)同學(xué)們參照下面的方案（1）導(dǎo)出方案（2）（3）（4）。解：設(shè)有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形，方案（1）：若這個(gè)角的對(duì)邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個(gè)三角形全等。方案（2）：若這個(gè)角是直角，則這兩個(gè)三角形全等。方案（3）：若此角為已知兩邊的夾角，則這兩個(gè)三角形全等。評(píng)注：這是一道典型的開(kāi)放性試題，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角為鈍角，則這兩個(gè)三角形全等。（5）：若這兩個(gè)三角形都是銳解（鈍角）三角形，則這兩個(gè)三角形全等。能有效考查學(xué)生對(duì)三角形全等概念的掌握情況，這類(lèi)題目要求學(xué)生依據(jù)問(wèn)題提供的題設(shè)條件，尋找多種途徑解決問(wèn)題。本題要求學(xué)生著眼于弱化題設(shè)條件，設(shè)計(jì)讓命題在一般情況不成立，而特殊情況下成立的思路。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，則∠A＝度。2、如圖，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么圖中有全等三角形對(duì)。3、如圖，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分線(xiàn)交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，則點(diǎn)D到AB的距離是。4、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使△AEH≌△CEB。5、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處，BE與AD相交于點(diǎn)O，寫(xiě)出一組相等的線(xiàn)段（不包括AB＝CD和AD＝BC）。6、如圖，∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF。給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）。二、選擇題：1、如圖，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，則下列結(jié)論中正確的是（）A、△ADF≌△AEGB、△ABE≌△ACDC、△BMF≌△CNGD、△ADC≌△ABE2、如圖，AE＝AF，AB＝AC，EC與BF交于點(diǎn)O，∠A＝600，∠B＝250，則∠EOB的度數(shù)為（）A、600B、700C、750D、3、如果兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角（）A、相等B、不相等C、互余D、互補(bǔ)或相等4、如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線(xiàn)，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，則與的大小關(guān)系是（）A、＞B、＜C、＝D、無(wú)法確定三、解答題：1、如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求證：△ABE和△BDC是等腰三角形。2、如圖，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)。（1）求證：AF⊥CD；（2）在你連結(jié)BE后，還能得出什么新結(jié)論？請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)。3、（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求證：△ABC≌△DEF；（2）上問(wèn)中，若將條件改為AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，結(jié)論是否還成立，為什么？4、如圖，已知∠MON的邊OM上有兩點(diǎn)A、B，邊ON上有兩點(diǎn)C、D，且AB＝CD，P為∠MON的平分線(xiàn)上一點(diǎn)。問(wèn)：（1）△ABP與△PCD是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）△ABP與△PCD的面積是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由。5、如圖，已知CE⊥AB，DF⊥AB，點(diǎn)E、F分別為垂足，且AC∥BD。（1）根據(jù)所給條件，指出△ACE和△BDF具有什么關(guān)系？請(qǐng)你對(duì)結(jié)論予以證明。（2）若△ACE和△BDF不全等，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，使得兩個(gè)三角形全等，并給予證明。參考答案一、填空題：1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③二、選擇題：BBDA三、解答題：1、略；2、（1）略；（2）AF⊥BE，AF平分BE等；3、（1）略；（2）不成立，舉一反例即能說(shuō)明；4、（1）不一定全等，因△ABP與△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和邊都有可能不相等，故兩三角形不一定全等。（2）面積相等，因?yàn)镺P為∠MON平分線(xiàn)上一點(diǎn)，故P到邊AB、CD上的距離相等，即△ABP中AB邊上的高與△PCD中CD邊上的高相等，又根據(jù)AB＝CD（即底邊也相等）從而△ABP與△PCD的面積相等。5、（1）△ACE和△BDF的對(duì)應(yīng)角相等；（2）略4.直角三角形、勾股定理、面積知識(shí)考點(diǎn)：了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關(guān)系，掌握用勾股定理解某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。它的有關(guān)性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線(xiàn)段計(jì)算、證明線(xiàn)段倍分關(guān)系、證明線(xiàn)段平方關(guān)系及與面積有關(guān)的問(wèn)題等方面。精典例題：【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，則AB＝？分析：通過(guò)作輔助線(xiàn)，將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決，其關(guān)鍵是對(duì)內(nèi)分割還是向外補(bǔ)形。答案：【例2】如圖，P為△ABC邊BC上一點(diǎn)，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度數(shù)。分析：本題不能簡(jiǎn)單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，而應(yīng)綜合運(yùn)用條件PC＝2PB及∠APC＝600來(lái)構(gòu)造出含300角的直角三角形。這是解本題的關(guān)鍵。答案：∠ACB＝750（提示：過(guò)C作CQ⊥AP于Q，連結(jié)BQ，則AQ＝BQ＝CQ）探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題一】如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝300，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160米，假設(shè)汽車(chē)行駛時(shí)，周?chē)?00米以?xún)?nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么汽車(chē)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲的影響？如果受影響，已知汽車(chē)的速度為分析：從學(xué)校（A點(diǎn)）距離公路（MN）的最近距離（AD＝80米）入手，在距A點(diǎn)方圓100略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以這所學(xué)校會(huì)受到噪聲的影響。以A為圓心，100米為半徑作圓交MN于E、F，連結(jié)AE、AF，則AE＝AF＝100，根據(jù)勾股定理和垂徑定理知：ED＝FD＝60，EF＝120（小時(shí)）＝24（秒）評(píng)注：本題是一道存在性探索題，通過(guò)給定的條件，判斷所研究的對(duì)象是否存在?！締?wèn)題二】臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)鷶?shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．如圖12，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米／時(shí)的速度沿北偏東300（1）該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)?（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)?解：（1）如圖1，由點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D?！逜B＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米（2）由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響。則AE＝AF＝160。當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從E處移到F處時(shí)，該城市都會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響。由勾股定理得：?！郋F＝60（千米）。∵該臺(tái)風(fēng)中心以15千米／時(shí)的速度移動(dòng)?！噙@次臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為（小時(shí)）。（3）當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí)，A市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12－＝6.5（級(jí)）。評(píng)注：本題是一道幾何應(yīng)用題，解題時(shí)要善于把實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形，并領(lǐng)會(huì)圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)中心不超過(guò)160千米時(shí)，會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，若過(guò)A作AD⊥BC于D，設(shè)E，F(xiàn)分別表示A市受臺(tái)風(fēng)影響的最初，最后時(shí)臺(tái)風(fēng)中心的位置，則AE＝AF＝160；當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí)，A跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是6、8、，則的取值范圍是。2、如圖，D為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，則BC＝。3、如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，則∠DAB＝。4、等腰△ABC中，一腰上的高為3cm，這條高與底邊的夾角為300，則＝。5、如圖，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D點(diǎn)在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，則BD的長(zhǎng)為。6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為2，且AC＋BC＝6，則＝。7、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰長(zhǎng)為8cm，AC、BD相交于O點(diǎn)，且∠AOD＝600，設(shè)E、F分別為CO、AB的中點(diǎn)，則EF＝。8、如圖，點(diǎn)D、E是等邊△ABC的BC、AC上的點(diǎn)，且CD＝AE，AD、BE相交于P點(diǎn)，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，則AD＝。9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是。二、選擇題：1、如圖，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個(gè)結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（）A、全部正確B、僅①和②正確C、僅①正確D、僅①和③正確2、如果一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)是另一條邊的長(zhǎng)的2倍，并且有一個(gè)角是300，那么這個(gè)三角形的形狀是（）A、直角三角形B、鈍角三角形C、銳角三角形D、不能確定3、在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，則∠ACB的度數(shù)是（）A、大于900B、小于900C、等于9004、如圖，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝，OA＝OC＝，則∠OAB的度數(shù)為（）A、100B、150C、200D、三、解答題：1、閱讀下面的解題過(guò)程：已知、、為△ABC的三邊，且滿(mǎn)足，試判斷△ABC的形狀。解：∵……①∴……②∴……③∴△ABC是直角三角形。問(wèn)：（1）上述解題過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)；（2）錯(cuò)誤的原因是；（3）本題的正確結(jié)論是。2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的長(zhǎng)。3、如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線(xiàn)，DC＝BE，DG⊥CE于G。（1）求證：G是CE的中點(diǎn)；（2）∠B＝2∠BCE。4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出入口E到C點(diǎn)的最短路線(xiàn)，并求最短路線(xiàn)CE的長(zhǎng)（保留整數(shù)）；（2）若線(xiàn)段CD是一條水渠，并且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠造價(jià)為50元／米，水渠路線(xiàn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使造價(jià)最低？請(qǐng)你畫(huà)出水渠路線(xiàn)，并求出最低造價(jià)。參考數(shù)據(jù)：sin360＝0.5878，sin540＝0.80905、已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC＝5。（1）為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（2）為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，求出此時(shí)其中一個(gè)三角形的面積。參考答案一、填空題：1、10或；2、16.9；3、1350；4、cm2；5、；6、5；7、48、7；9、49二、選擇題：BDCB三、解答題：1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：過(guò)A作AD⊥BC于D，則AB＝，AC＝3、提示：連結(jié)ED4、（1）51米；（2）若要水渠造價(jià)最低，則水渠應(yīng)與AB垂直，造價(jià)24275、（1）2；（2）＝4或3，當(dāng)＝4時(shí)，面積為12。5.角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)知識(shí)考點(diǎn)：了解角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)和定理，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。精典例題：【例題】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝300，AB的垂直平分線(xiàn)EF交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，求證：CF＝2BF。分析一：要證明CF＝2BF，由于BF與CF沒(méi)有直接聯(lián)系，聯(lián)想題設(shè)中EF是中垂線(xiàn)，根據(jù)其性質(zhì)可連結(jié)AF，則BF＝AF。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300，這就等價(jià)于要證∠CAF＝900，則根據(jù)含300角的直角三角形的性質(zhì)可得CF＝2AF＝2BF。分析二：要證明CF＝2BF，聯(lián)想∠B＝300，EF是AB的中垂線(xiàn)，可過(guò)點(diǎn)A作AG∥EF交FC于G后，得到含300角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位線(xiàn)，因此BG＝2BF＝2AG，再設(shè)法證明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。分析三：由等腰三角形聯(lián)想到“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，作AD⊥BC于D，則BD＝CD，考慮到∠B＝300，不妨設(shè)EF＝1，再用勾股定理計(jì)算便可得證。以上三種分析的證明略。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題】請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題：三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)分對(duì)邊所得的兩條線(xiàn)段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。如圖，△ABC中，AD是角平分線(xiàn)。求證：。分析：要證，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在同一條直線(xiàn)上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。我們注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過(guò)C作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，從而得到BD、CD、AB的第四比例項(xiàng)AE，這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化為證AE＝AC。證明：過(guò)C作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于ECE∥AD∠E＝∠3AE＝ACCE∥AD∴（1）上述證明過(guò)程中，用了哪些定理（寫(xiě)出兩個(gè)定理即可）；（2）在上述分析、證明過(guò)程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個(gè)填入后面的括號(hào)內(nèi)（）①數(shù)形結(jié)合思想②轉(zhuǎn)化思想③分類(lèi)討論思想答案：②轉(zhuǎn)化思想（3）用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理解答問(wèn)題：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分線(xiàn)，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，求BD的長(zhǎng)。答案：cm評(píng)注：本題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如圖，∠A＝520，O是AB、AC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，那么∠OCB＝。2、如圖，已知AB＝AC，∠A＝440，AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC＝。3、如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂線(xiàn)DE交BC于D點(diǎn)，E為垂足，若BD＝8，則AC＝。4、如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線(xiàn)，△BCE的周長(zhǎng)為24，BC＝10，則AB＝。5、如圖，EG、FG分別是∠MEF和∠NFE的角平分線(xiàn)，交點(diǎn)是G，BP、CP分別是∠MBC和∠NCB的角平分線(xiàn)，交點(diǎn)是P，F(xiàn)、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝680，那么∠P＝。二、選擇題：1、如圖，△ABC的角平分線(xiàn)CD、BE相交于點(diǎn)F，且∠A＝600，則∠BFC等于（）A、800B、1000C、1200D、2、如圖，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝360，則∠C的度數(shù)為（）A、820B、720C、620D、3、某三角形有一個(gè)外角平分線(xiàn)平行于三角形的一邊，而這三角形另一邊上的中線(xiàn)分周長(zhǎng)為2∶3兩部分，若這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為30cm，則此三角形三邊長(zhǎng)分別是（）A、8cm、8cm、14cmB、12cm、12cm、6cmC、8cm、8cm、14cm或12cm、12cm、6cmD、以上答案都不對(duì)4、如圖，Rt△ABC中，∠C＝900，CD是AB邊上的高，CE是中線(xiàn)，CF是∠ACB的平分線(xiàn)，圖中相等的銳角為一組，則共有（）A、0組B、2組C、3組D、4組5、如果三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在第三邊上，那么這個(gè)三角形是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定三、解答題：1、如圖，Rt△ABC的∠A的平分線(xiàn)與過(guò)斜邊中點(diǎn)M的垂線(xiàn)交于點(diǎn)D，求證：MA＝MD。2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，過(guò)D作DF∥BA交AE于點(diǎn)F，DF＝AC，求證：AE平分∠BAC。3、如圖，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，BD＝，AE⊥BC于點(diǎn)E，求EC的長(zhǎng)。4、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD，垂足為E，BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證AB垂直平分DF。參考答案一、填空題：1、380；2、240；3、4；4、14；5、680二、選擇題：CBCDB三、解答題：1、過(guò)A作AN⊥BC于N，證∠D＝∠DAM；2、延長(zhǎng)FE到G，使EG＝EF，連結(jié)CG，證△DEF≌△CEG3、連結(jié)AD，DF為AB的垂直平分線(xiàn)，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6又∵∠C＝600∴EC＝4、證△ACD≌△CBF6.平行四邊形知識(shí)考點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)精典例題：【例1】已知如圖：在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，點(diǎn)E、F分別在BC和AD邊上，AF＝CE，EF和對(duì)角線(xiàn)BD相交于點(diǎn)O，求證：點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)。分析：構(gòu)造全等三角形或利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明BO＝DO略證：連結(jié)BF、DE在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AD＝BC又∵AF＝CE∴FD∥BE，F(xiàn)D＝BE∴四邊形BEDF是平行四邊形∴BO＝DO，即點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)?！纠?】已知如圖：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)條件需從邊上著手分析，由E、F、G、H分別是各邊上的中點(diǎn)，可聯(lián)想到三角形的中位線(xiàn)定理，連結(jié)AC后，EF和GH的關(guān)系就明確了，此題也便得證。（證明略）變式1：順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。變式2：順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。變式3：順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。變式4：順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。變式5：若AC＝BD，AC⊥BD，則四邊形EFGH是正方形。變式6：在四邊形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，求證：EFGH是菱形。變式7：如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形PQMN是菱形。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題】已知如圖，在△ABC中，∠C＝900，點(diǎn)M在BC上，且BM＝AC，點(diǎn)N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度數(shù)。分析：條件給出的是線(xiàn)段的等量關(guān)系，求的卻是角的度數(shù)，為此，我們由條件中的直角及相等的線(xiàn)段，可聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，從而應(yīng)該平移AN。略證：過(guò)M作ME∥AN，且ME＝AN，連結(jié)NE、BE，則四邊形AMEN是平行四邊形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中，ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC∴△BEM≌△AMC∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE∴△BEN是等腰直角三角形∴∠BNE＝450∵AM∥NE∴∠BPM＝∠BNE＝450跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度分別為5和7，則它的一條邊長(zhǎng)的取值范圍是。2、□ABCD的周長(zhǎng)是30，AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB的周長(zhǎng)比△OBC的周長(zhǎng)大3，則AB＝。3、已知□ABCD中，AB＝2AD，對(duì)角線(xiàn)BD⊥AD，則∠BCD的度數(shù)是。4、如圖：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，則△BOC的周長(zhǎng)為。5、如圖：□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O，EF過(guò)點(diǎn)O，且EF⊥BC于F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝，則AC的長(zhǎng)為。6、如圖：過(guò)□ABCD的頂點(diǎn)B作高BE、BF，已知BF＝BE，BC＝16，∠EBF＝300，則AB＝。7、如圖所示，□ABCD的周長(zhǎng)為30，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，則平行四邊形ABCD的面積為。二、選擇題：1、若□ABCD的周長(zhǎng)為28，△ABC的周長(zhǎng)為17cm，則AC的長(zhǎng)為（）A、11cmB、5.5cmC、4cmD2、如圖，□ABCD和□EAFC的頂點(diǎn)D、E、F、B在同一條直線(xiàn)上，則下列關(guān)系中正確的是（）A、DE＞BFB、DE＝BFC、DE＜BFD、DE＝FE＝BF3、如圖，已知M是□ABCD的AB邊的中點(diǎn)，CM交BD于E，則圖中陰影部分的面積與□ABCD的面積之比是（）A、B、C、D、4、如圖，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD于E，則∠DAE＝（）A、200B、250C、300D、5、在給定的條件中，能作出平行四邊形的是（）A、以60cm為對(duì)角線(xiàn)，20cm、34cm為兩條鄰邊B、以20cm、36cm為對(duì)角線(xiàn)，22cm為一條邊C、以6cm為一條對(duì)角線(xiàn)，3cm、10cm為兩條鄰邊D、以6cm、10cm為對(duì)角線(xiàn)，8cm為一條邊6、如圖，□ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的中點(diǎn)，直線(xiàn)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)，直線(xiàn)DF交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn)，CG、DH交于點(diǎn)O，若□ABCD的面積為4，則＝（）A、3.5B、4C、4.5D、57、在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是銳角，將△ACD沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)D落在△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處，如果AE過(guò)BC的中點(diǎn)O，則□ABCD的面積等于（）A、48B、C、D、三、解答題：1、如圖，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝600，BE＝2，CF＝1，連結(jié)DE交AF于點(diǎn)P，求EP的長(zhǎng)。2、在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且＝＝＝＝（＞0），閱讀下列材料，然后回答下面的問(wèn)題：如上圖，連結(jié)BD∵＝，＝∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD①連結(jié)AC，則EF與GH是否一定平行，答：；②當(dāng)值為時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；③在②的情形下，對(duì)角線(xiàn)AC和BD只需滿(mǎn)足條件時(shí)，EFGH為矩形；④在②的情形下，對(duì)角線(xiàn)AC和BD只需滿(mǎn)足條件時(shí)，EFGH為菱形；3、已知，在四邊形ABCD中，從①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請(qǐng)你具體寫(xiě)出這些組合。4、如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，D、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠CDE＝∠A。（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；（2）若，四邊形EBFD的周長(zhǎng)為22，求DE的長(zhǎng)。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、1＜＜6；2、9；3、600；4、12；5、8；6、或12.8；7、cm2；二、選擇題：DBCABCC三、解答題：1、提示：由∠B＝∠ADC＝600，BE＝2，AE⊥BC可得AB＝4，再證DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝1200，∴∠EDC＝300，求得∠APE＝∠EAP＝600，△AEP為等邊三角形，EP＝AE＝。2、①是；②任意正數(shù)；③BD⊥AC；④AC＝BD3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③4、（1）證EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝57.矩形、菱形知識(shí)考點(diǎn)：理解并掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能利用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題。精典例題：【例1】如圖，已知矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度數(shù)。分析：本題充分利用矩形對(duì)角線(xiàn)把矩形分成四個(gè)等腰三角形的基本圖形進(jìn)行求解。解略，答案450?！纠?】如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE＝2AB，連結(jié)EC并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)。分析：本題利用菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)定理，可使問(wèn)題得解。解略，答案AF＝4.5?！纠?】如圖，在矩形ABCD中，M是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AM，垂足為E，3AB＝2BC，并且AB、BC的長(zhǎng)是方程的兩根。（1）求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)M離開(kāi)點(diǎn)B多少時(shí)，△ADE的面積是△DEM面積的3倍？請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：用韋達(dá)定理建立線(xiàn)段AB、AC與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系，求出。略解：（1）由韋達(dá)定理可得AB＋BC＝，AB·BC＝，又由BC＝AB可消去AB，得出一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解得＝12，＝，因AB＋BC＝＞0，∴＞2，故＝應(yīng)舍去。（2）當(dāng)＝12時(shí)，AB＋BC＝10，AB·BC＝＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝6，由可得AE＝3EM＝AM。易證△AED∽△MBA得＝，設(shè)AE＝，AM＝，則MB＝，而AB2＋BM2＝AM2，故，解得＝2，MB＝＝4。即當(dāng)MB＝4時(shí)，。評(píng)注：本題將幾何問(wèn)題從“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化，這類(lèi)綜合題既有幾何證明中的分析和推理，又有代數(shù)式的靈活變換、計(jì)算，其解題過(guò)程層次較多，步驟較復(fù)雜，書(shū)寫(xiě)過(guò)程也要加強(qiáng)訓(xùn)練。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題一】如圖，四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道AD的長(zhǎng)嗎？分析：這個(gè)四邊形是一個(gè)不規(guī)則四邊形，應(yīng)將它補(bǔ)割為規(guī)則四邊形才便于求解。略解：作AE⊥CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，DF⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，再作AG⊥DF于G∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450∴△ABE是等腰直角三角形又∵AB＝，∴AE＝BE＝∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600∴△DCF是含300的直角三角形∵CD＝6，CF＝3，DF＝∴EF＝＝8由作圖知四邊形AGFE是矩形∴AG＝EF＝8，F(xiàn)G＝AE＝從而DG＝DF－FG＝在△ADG中，∠AGD＝900∴AD＝＝＝＝【問(wèn)題二】把矩形ABCD沿BD折疊至如上圖所示的情形，請(qǐng)你猜想四邊形ABDE是什么圖形，并證明你的猜想。分析與結(jié)論：本題根據(jù)題設(shè)并結(jié)合圖形猜想該四邊形是等腰梯形，利用對(duì)稱(chēng)及全等三角形的有關(guān)知識(shí)易證。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、若矩形的對(duì)稱(chēng)中心到兩邊的距離差為4，周長(zhǎng)為56，則這個(gè)矩形的面積為。2、已知菱形的銳角是600，邊長(zhǎng)是20cm，則較短的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是cm。3、如圖，矩形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝cm，則DE＝cm。4、如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PD＝4，PC＝5，則PB＝。5、如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，則∠CEF＝。二、選擇題：6、在矩形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)E、F、G、H，使EFGH為矩形，則這樣的矩形（）A、僅能作一個(gè)B、可以作四個(gè)C、一般情況下不可作D、可以作無(wú)窮多個(gè)7、如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P點(diǎn)在AD邊上以每秒1cm的速度從A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在CB間往返運(yùn)動(dòng)，二點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，待P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)為止，在這段時(shí)間內(nèi)，線(xiàn)段PQ有（）次平行于AB。A、1B、2C、3D、48、如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長(zhǎng)和折痕EF的長(zhǎng)分別是（）A、4cm、cmB、5cm、cmC、4cm、cmD、5cm、cm9、給出下面四個(gè)命題：①對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形；②對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形；③有一個(gè)角是直角且對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是矩形；④菱形的對(duì)角線(xiàn)的平方和等于邊長(zhǎng)平方的4倍。其中正確的命題有（）A、①②B、③④C、③D、①②③④10、平行四邊形四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)，如果能?chē)梢粋€(gè)四邊形，那么這個(gè)四邊形一定是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形三、解答題：11、如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根據(jù)上述條件，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論。12、如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線(xiàn)AE交CD于F，EG⊥AB于G，求證：四邊形GECF是菱形。13、如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。請(qǐng)回答下列問(wèn)題（不要求證明）：（1）四邊形ADEF是什么四邊形？（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在？跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200提示：4題過(guò)點(diǎn)P作矩形任一邊的垂線(xiàn)，利用勾股定理求解；5題連結(jié)AC，證△ABE≌△ACF得AE＝AF，從而△AEF是等邊三角形。二、DDBBA三、解答題：11、可證△DEA≌△ABF12、略證：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF。四邊形GECF是平行四邊形，又因EG＝FG，故GECF是菱形。13、（1）平行四邊形；（2）∠BAC＝1500；（3）當(dāng)∠BAC＝600時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在。8.正方形知識(shí)考點(diǎn)：理解正方形的性質(zhì)和判定，并能利用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。精典例題：【例1】如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且EF∥AC，在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)G，使AG＝AD，EG與DF相交于點(diǎn)H。求證：AH＝AD。分析：因?yàn)锳是DG的中點(diǎn)，故在△DGH中，若AH＝AD，當(dāng)且僅當(dāng)△DGH為直角三角形，所以只須證明△DGH為直角三角形（證明略）。評(píng)注：正方形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還特別注意其直角的條件。本例中直角三角形的中線(xiàn)性質(zhì)使本題證明簡(jiǎn)單?！纠?】如圖，在正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD上的點(diǎn)，若∠PAQ＝450，求證：PB＋DQ＝PQ。分析：利用正方形的性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)證明。變式：若條件改為PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你還能得到哪些結(jié)論？探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題一】如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過(guò)A作AG⊥EB于G，AG交BD于點(diǎn)F，則OE＝OF，對(duì)上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AG⊥EB，交EB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線(xiàn)交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，說(shuō)明理由。分析：對(duì)于圖1通過(guò)全等三角形證明OE＝OF，這種證法是否能應(yīng)用到圖2的情境中去，從而作出正確的判斷。結(jié)論：（2）的結(jié)論“OE＝OF”仍然成立。提示：只須證明△AOF≌△BOE即可。評(píng)注：本題以正方形為背景，突破了單純的計(jì)算與證明，著重考查了學(xué)生觀察、分析、判斷等多種能力?！締?wèn)題二】操作，將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線(xiàn)DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為。（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線(xiàn)段PQ與線(xiàn)段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上滑行時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的值；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由（題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用）。分析：（1）實(shí)驗(yàn)猜測(cè)：PQ＝PB，再利用正方形性質(zhì)證明；（2）將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求；（3）可能。略解：（1）如圖1，易證BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝1800－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ∴PB＝PD＝PQ（2）如圖2，易證△BOP≌△PEQ∴QE＝PO＝AO－AP＝∴∴（0≤＜）（3）△PCQ可能成為等腰三角形。①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此時(shí)＝0；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且CP＝CQ時(shí)，△PCQ是等腰三角形（如圖3）。此時(shí)，QN＝PM＝，CN＝CP＝，所以CQ＝QN－CN＝，當(dāng)時(shí)，解得。評(píng)注：本題是一道新穎別致的好題，它考查學(xué)生實(shí)踐操作能力和探究問(wèn)題的能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、給出下面三個(gè)命題：①對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形；②對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形；③對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形。其中真命題是（填序號(hào)）。2、如圖，將正方形ABCD的BC邊延長(zhǎng)到E，使CE＝AC，AE與CD邊相交于F點(diǎn)，那么CE∶FC＝。3、如圖，把正方形ABCD沿著對(duì)角線(xiàn)AC的方向移動(dòng)到正方形的位置，它們的重疊部分的面積是正方形ABCD面積的一半，若AC＝，則正方形移動(dòng)的距離是。4、四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，給出以下題設(shè)條件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判斷它是正方形的題設(shè)條件是（把正確的序號(hào)填在橫線(xiàn)上）。二、選擇題：1、如圖，把正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC分成段，以每一段為對(duì)角線(xiàn)作正方形，設(shè)這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)和為，正方形ABCD的周長(zhǎng)為，則與的關(guān)系式是。A、＜B、＞C、＝D、與無(wú)關(guān)2、如圖，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，則下列關(guān)系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正確的是（）A、①②③B、僅①C、僅②和③D、僅①和③3、如圖，正方形ABCD的面積為256，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，Rt△CEF的面積為200，則BE的值為（）A、10B、11C、12D、154、有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形紙片，表中所列四種方案能拼成邊長(zhǎng)為的正方形的是（）數(shù)量（張）卡片方案（1）（2）（3）A112B111C121D211三、解答題：1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，BD與CE交于F點(diǎn)，求證：AF⊥BE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，MN⊥DM且交∠CBE的平分線(xiàn)于N。（1）求證：MD＝MN；（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，則結(jié)論“MD＝MN”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。3、如圖，ABCD是正方形，P是對(duì)角線(xiàn)上的一點(diǎn)，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求證：（1）AP＝EF；（2）AP⊥EF。4、如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE∥CA，作AE＝AC，又CF∥AE，求證：∠BCF＝∠AEB。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、③；2、；3、；4、②二、選擇題：CDCA三、解答題：1、易證△ABF≌△CFB和△BAE≌△CDE，由△ABF≌△CFB∠AFB＝∠BFC∠FAD＝∠DCE；由△BAE≌△CDE∠DCE＝∠ABF。所以∠DAF＝∠EAB，故∠EHA＝∠EAB＝900，AF⊥BE。2、（1）如圖1，取AD中點(diǎn)F，連結(jié)MF，由MN⊥DM得∠DAM＝900，易證∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－∠2＝450－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝450－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，故MD＝MN。（2）成立，如圖2，在AD上取DF＝MB，則易知：∠1＝900－∠DMA，又∠2＋∠DMA＝900，∴∠1＝∠2，又∠DMF＝450－∠1，∠MNB＝450－∠2，∴∠DMF＝∠MNB，又DF＝MB，∴△DMF≌△MNB，故MD＝MN。3、略證：延長(zhǎng)AP與EF相交于點(diǎn)H，連結(jié)PC，因?yàn)锽D是對(duì)角線(xiàn)，易證PA＝PC，∠1＝∠2，根據(jù)PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC＝EF，且∠DAH＝∠FPH，又因?yàn)椤?＝∠2＝∠3，所以在△PHF中，∠FPH＋∠3＝∠4＋∠1＝900，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF。4、提示：證AEFC是菱形，過(guò)A點(diǎn)作BE的垂線(xiàn)構(gòu)造300角的直角三角形。9.梯形知識(shí)考點(diǎn)：掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性質(zhì)，并能熟練解決實(shí)際問(wèn)題。精典例題：【例1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，中位線(xiàn)EF＝7，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，∠BDC＝300，求梯形的高AH。分析：根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直，將對(duì)角線(xiàn)平移后可構(gòu)造直角三角形求解。略解：過(guò)A作AM∥BD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M。∵AB∥DC，∴DM＝AB，∠AMC＝∠BDC＝300又∵中位線(xiàn)EF＝7∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝2EF＝14又∵AC⊥BD，∴AC⊥AM，AC＝CM＝7∵AH⊥CD，∴∠ACD＝600∴AH＝＝評(píng)注：平移梯形對(duì)角線(xiàn)、平移梯形的腰是解梯形問(wèn)題時(shí)常用的輔助線(xiàn)?！纠?】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∠B＋∠C＝900，AD＝7，BC＝15，求EF的長(zhǎng)。分析：將AB、CD平移至E點(diǎn)構(gòu)成直角三角形即可。答案：EF＝4探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，且AD＝，BC＝。（1）如果點(diǎn)E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，求證：EF∥BC且EF＝；（2）如圖2，如果，判斷EF和BC是否平行？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并用、、、的代數(shù)式表示EF。分析：（2）根據(jù)（1）可猜想EF∥BC，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理證明即可。略證：連結(jié)AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M∵AD∥BM，，∴在△ABM中有∴EF∥BC，∴EF＝＝而，故∴EF＝＝＝評(píng)注：本題是一道探索型試題，其目的是考查學(xué)生觀察、歸納、抽象、概括、猜想的能力，它要求學(xué)生能通過(guò)觀察進(jìn)行分析和比較，從特殊到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能概括地用數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來(lái)。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、梯形的上底長(zhǎng)為3，下底長(zhǎng)為7，梯形的中位線(xiàn)所分成的上下兩部分的面積之比為。2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，則下底角的度數(shù)是。3、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠C＝600，則AB的長(zhǎng)為。4、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝，CD＝，那么AB的長(zhǎng)是。5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，則梯形ABCD的面積是。6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)，∠E＝400，則∠ACD＝度。二、選擇題：1、在課外活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們做一個(gè)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為450cm2，則對(duì)角線(xiàn)所用的竹條至少需（）A、cmB、30cmC、60cmD、cm2、如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF為梯形的中位線(xiàn)，DH為梯形的高，下列結(jié)論：①∠BCD＝600；②四邊形EHCF是菱形；③④以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)F。其中正確的結(jié)論有（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)3、已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝450，∠C＝1200，AB＝8，則CD的長(zhǎng)為（）A、B、C、D、4、如圖，在直角梯形ABCD中，底AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且AD＝12，則A到BC的距離為（）A、12B、13C、10D、12×21＋135、如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC＝BC＋AD則∠DBC的度數(shù)為（）A、300B、450C、600D、三、解答題：1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，在AB、DC上各取一點(diǎn)F、G，使BF＝CG，E是AD的中點(diǎn)。求證：∠EFG＝∠EGF。2、已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，D是底邊上任意一點(diǎn)，過(guò)D作BC的垂線(xiàn)交AC于M，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N。求證：DM＋DN＝2AH。3、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，延長(zhǎng)BD到E，使DE＝DB，作EF⊥BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)。4、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ACD＝600，點(diǎn)S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點(diǎn)。（1）求證：△PQS是等邊三角形；（2）若AB＝8，CD＝6，求的值。（3）若∶＝4∶5，求CD∶AB的值。5、如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的兩根，并且∶＝1∶5。（1）求AC、OB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)BC⊥OC時(shí)，求OC的長(zhǎng)及OC所在的直線(xiàn)解析式；（3）在第（2）問(wèn)的條件下，線(xiàn)段OC上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交軸于F，交BC于D，過(guò)D點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交軸于E，使，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、2∶3；2、600；3、；4、；5、6；6、150二、選擇題：CBAAC三；解答題：1、證△AFE≌△DEG；2、作AH⊥MN于N，則MN＝MH，AH＝MH＋MD易證NH＋DM＝AH；3、24、（1）連結(jié)CS、BP；（2）∵SB＝DO＋OB＝11，CS＝，BC＝＝，SQ＝，∴＝；（3）設(shè)CD＝，AB＝，＝。∴＝，又∶＝∶，則＝，∵∶＝4∶5，∴。整理得：，，又∵，∴。即：。5、（1）AC＝1，OB＝5；（2）C（1，2）；（3）存在，（，1），（，）10.三角形、梯形的中位線(xiàn)知識(shí)考點(diǎn)：掌握三角形、梯形的中位線(xiàn)定理，并會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算。精典例題：【例1】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中點(diǎn)，且AD＋BC＝DC。求證：MD⊥MC。分析：遇到腰上中點(diǎn)的問(wèn)題構(gòu)造梯形中位線(xiàn)可證明，也可以因?yàn)檠嫌兄悬c(diǎn)，延長(zhǎng)DM與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)進(jìn)行證明?！纠?】如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線(xiàn)AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長(zhǎng)。分析：∠A的平分線(xiàn)與BP邊上的垂線(xiàn)互相重合，通過(guò)作輔助線(xiàn)延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)Q，由△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中點(diǎn)，所以PM是△BQC的中位線(xiàn)，于是本題得以解決。答案：PM＝6探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題一】E、F為凸四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，若EF＝，問(wèn)：ABCD為什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。分析與結(jié)論：如圖，利用三角形和梯形的中位線(xiàn)定理，連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)G，連EG、FG，則EG∥CD，F(xiàn)G∥AB，∴EG＋FG＝，即EG＋FG＝EF，則G點(diǎn)在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。（1）若AD∥BC，則凸四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若AD不平行于BC，則凸四邊形ABCD為梯形。評(píng)注：利用中位線(xiàn)構(gòu)造出CD、AB，其關(guān)鍵是連AC，并取其中點(diǎn)G。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、三角形各邊長(zhǎng)為5、9、12，則連結(jié)各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)是。2、一個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)為100cm，如果它的中位線(xiàn)與腰長(zhǎng)相等，它的高為20cm，那么這個(gè)梯形的面積是。3、若梯形中位線(xiàn)被它的兩條對(duì)角線(xiàn)分成三等分，則梯形的兩底之比為。4、直角梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)為，一腰長(zhǎng)為，且此腰與底所成的角為600，則這個(gè)梯形的面積為。5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線(xiàn)，G是BC上任意一點(diǎn)，如果cm2，那么梯形ABCD的面積是。6、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝300，∠C＝600，E、F、M、N分別為AB、CD、BC、DA的中點(diǎn)，已知BC＝7，MN＝3，則EF＝。7、如圖，D、E、F分別為△ABC三邊上的中點(diǎn)，G為AE的中點(diǎn)，BE與DF、DG分別交于P、Q兩點(diǎn)，則PQ∶BE＝。8、如圖，直角梯形ABCD的中位線(xiàn)EF＝，垂直于底的腰AB＝，則圖中陰影部分的面積是。9、在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是對(duì)角線(xiàn)，EF為中位線(xiàn)，若∶＝1∶2，則∶＝。二、選擇題：1、等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，中位線(xiàn)長(zhǎng)為8cm，則它的高為（）A、4cmB、cmC、8cmD、cm2、已知等腰梯形ABCD中，BC∥AD，它的中位線(xiàn)長(zhǎng)為28cm，周長(zhǎng)為104cm，AD比AB少6cm，則AD∶AB∶BC＝（）A、8∶12∶5B、2∶3∶5C、8∶12∶20D、9∶12∶193、如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)為1，連結(jié)△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連結(jié)第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2004個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A、B、C、D、4、如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，又AB＝DC，下列結(jié)論：①EFGH為矩形；②FH平分EG于T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG。其中正確的是（）A、①和②B、②和③C、①②④D、②③④三、解答題：1、如圖，在矩形ABCD中，BC＝8cm，AC與BD交于O，M、N分別為OA、OD的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形BCNM是等腰梯形；（2）求這個(gè)等腰梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)。2、如圖，在四邊形ABCD中，AB＞CD，E、F分別是對(duì)角線(xiàn)BD、AC的中點(diǎn)，求證：EF＞3、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝600，AC平分∠DAB，E、F是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的中點(diǎn)，且EF＝，求梯形ABCD的面積。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、13；2、500cm2；3、1∶2；4、；5、；6、4；7、1∶4；8、；9、5∶7二、選擇題：CDCD三、解答題：1、（1）證MN∥BC且MN≠BC；（2）6cm。2、取BC的中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)。3、解：設(shè)上底為，下底為，高為，由題意知EF＝，即，，，所以：梯形ABCD的面積為：11.銳角三角函數(shù)知識(shí)考點(diǎn)：本節(jié)知識(shí)的考查一般以填空題和選擇題的形式出現(xiàn)，主要考查銳角三角函數(shù)的意義，即運(yùn)用sin、cos、tan、cot準(zhǔn)確表示出直角三角形中兩邊的比（為銳角），考查銳角三角函數(shù)的增減性，特殊角的三角函數(shù)值以及互為余角、同角三角函數(shù)間的關(guān)系。精典例題：【例1】在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝15。（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求sinA、cosA的值；（3）求的值；（4）比較sinA、cosB的大小。分析：在Rt△ABC中，已知兩直角邊長(zhǎng)求斜邊長(zhǎng)可應(yīng)用勾股定理，再利用兩直角邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)的比分別求出sinA、cosA的大小，從而便可以計(jì)算出的大小，即可比較sinA與cosB的大小。答案：（1）AB＝13；（2）sinA＝，cosA＝；（3）；（4）sinA＝cosB變式：（1）在Rt△ABC中，∠C＝900，，，則sinA＝。（2）在Rt△ABC中，∠A＝900，如果BC＝10，sinB＝0.6，那么AC＝。答案：（1）；（2）6【例2】計(jì)算：解：原式＝＝＝2注意：熟記00、300、450、600、900角的三角函數(shù)值，并能熟練進(jìn)行運(yùn)算。【例3】已知，在Rt△ABC中，∠C＝900，，那么cosA（）A、B、C、D、分析：由三角函數(shù)的定義知：，又因?yàn)椋钥稍O(shè)，，由勾股定理得，不難求出答案：B變式：已知為銳角，且，則＝。略解：可設(shè)為Rt△ABC的一銳角，∠A＝，∠C＝900∴AC＝，AB＝，則BC＝∴評(píng)注：直角三角形中，只要知道其中任意兩邊的比，可通過(guò)勾股定理求出第三邊，然后應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義求銳角三角函數(shù)值。【例4】已知，為銳角，則＝。分析：由定義可推出∴評(píng)注：由銳角三角函數(shù)定義不難推出，，它們是中考中常用的“等式”。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題】已知，則＝。分析：在00～900范圍內(nèi)，sin、tan是隨的增大而增大；cos、cot是隨的增大而減小?！郼os－cos＜0，又不難知道cos300＝，cos00＝1，∴＜0，＞0。∴原式＝＝變式：若太陽(yáng)光線(xiàn)與地面成角，300＜＜450，一棵樹(shù)的影子長(zhǎng)為10米，則樹(shù)高的范圍是（）（取）A、3＜＜5B、5＜＜10C、10＜＜15D、＞15略解：∵300＜＜450∴tan300＜＜tan450而∴∴5.7＜＜10答案：B跟蹤訓(xùn)練：一、選擇題：1、在Rt△ABC中，∠C＝900，若，則sinA＝（）A、B、C、D、2、已知cos＜0.5，那么銳角的取值范圍是（）A、600＜＜900B、00＜＜600C、300＜＜900D、00＜＜3003、若，則銳角的度數(shù)是（）A、200B、300C、400D、4、在Rt△ABC中，∠C＝900，下列式子不一定成立的是（）A、cosA＝cosBB、cosA＝sinBC、cotA＝tanBD、5、在Rt△ABC中，∠C＝900，，AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（）A、6B、5C、4D、26、某人沿傾斜角為的斜坡前進(jìn)100米，則他上升的最大高度為（）A、米B、米C、米D、米7、計(jì)算的值是（）A、B、C、D、二、填空題：