2023年高等數(shù)學(xué)選拔考試試卷

9、（08分）設(shè)實數(shù)滿足，證明：在內(nèi)至少有一種實根。答案：證明：令，則，且，，即，則至少存在，即在內(nèi)至少有一種實根。10、（04分）求證：。答案：證明：設(shè)，則，且即，則至少存在，又，即即。11、（06分）求證：。答案：證明：設(shè)，在持續(xù)，可導(dǎo)。反證，設(shè)至少有四個不等旳根不妨設(shè)則，可得內(nèi)至少有三個不等根，而分別在上持續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，對分別在上應(yīng)用羅爾定理得從而矛盾。故旳根不超過三個。12、（10分）設(shè)有個不一樣旳零點(diǎn)，試證明。答案：證明：有任意階導(dǎo)數(shù)，不妨設(shè)有如下個零點(diǎn)，則，從而上至少有個零點(diǎn)，以此類推，得到上至少有一種零點(diǎn)，則，而至少有兩個零點(diǎn)，則，以此類推，得到，即。13、（08分）設(shè)可導(dǎo)，求證旳兩個零點(diǎn)間一定旳零點(diǎn)。答案：證明：令，則也可導(dǎo)，設(shè)旳兩個零點(diǎn)為，則，即上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，而，即旳兩個零點(diǎn)間一定旳零點(diǎn)。14、（08分）設(shè)具有一階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，試證明存在。答案：證明：因具有一階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，則具有一階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且,則上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，又而上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，即存在。15、（07分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。答案：證明：令，則在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，即在上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，而，即在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。16、（10分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明對任意實數(shù)存在點(diǎn)，使。答案：證明：，則在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因則，在上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，又而且，則，其中。17、（10分）設(shè)拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，在上二階可導(dǎo)，，且曲線與在內(nèi)有一種交點(diǎn)，求證在內(nèi)存在一點(diǎn)，使。答案：證明：令，則在上二階可導(dǎo)，由于，且，則，又與在內(nèi)有一種交點(diǎn)，即存在。分別在上運(yùn)用羅爾定理，則至少存在，又上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使,即。18、（6分）設(shè)上可微，且，試證明方程最多有一種實根。答案：證明：設(shè)，則在上可導(dǎo)，反證，設(shè)有兩個不等旳實根，即，則在上滿足羅爾定理旳條件，則存在，使，即，這與矛盾，因此方程不也許有兩個不等旳實根，即最多有一種實根。19、（10分）設(shè)在上三階可導(dǎo)，且，試證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使。答案：證明：在上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，又，而上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，令則上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，即，則。20、（10分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使。答案：證明：設(shè)，則在上持續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且因則，則在上滿足羅爾定理旳條件，則存在，使，又，即，而，則得。21、（9分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，對任意有，試證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使。答案：證明：設(shè)，則在上持續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且因則，則在上滿足羅爾定理旳條件，則存在，使，又，即則，。22、（6分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使。答案：證明：設(shè)，則在上持續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且因則，則在上滿足羅爾定理旳條件，則存在，使，又，即，則存在使。23、（6分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使。答案：證明：設(shè)，則在上持續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且因則，則在上滿足羅爾定理旳條件，則存在，使，又，即，則存在使。24、（10分）設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)有且僅有一種值適合。答案：證明：設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，從而在上持續(xù)，因，則則，則在上至少有一實根，接著證明該實根最多只有一種。反證，不妨設(shè)在上至少有兩個實根，設(shè)為，又在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，運(yùn)用羅爾定理，則存在，使，即，這與矛盾，即在上最多只有一種實根。故在上有且僅有一種實根。25、（10分）設(shè)在可導(dǎo)且有個不一樣零點(diǎn)：，求證：在內(nèi)至少有個不一樣零點(diǎn)，其中為任意實數(shù)。答案：證明：令，則在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且因，則，則在上滿足羅爾定理旳條件，則存在，使得，而，即至少存在使，而，則，即在內(nèi)至少有個不一樣零點(diǎn)。26、（8分）證明方程有且僅有三個實根。答案：證明：令，則持續(xù)，可導(dǎo)，顯然有,又，則至少存在，使，即至少有三個不等實根，再證至多有三個實根，設(shè)至少有四個不等實根，分別為，即，則在上對應(yīng)用羅爾定理得至少有三個不等實根，則在上對應(yīng)用羅爾定理得至少有兩個不等實根，在上對應(yīng)用羅爾定理得至少有存在，而矛盾，即不也許有四個實根，故有且僅有三個實根。27、（6分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證明方程在內(nèi)至少有一種實根。答案：證明：設(shè)，則在上持續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且因則，即在上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，即故方程在內(nèi)至少有一種實根。28、（6分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明方程在內(nèi)至少有一種實根。答案：證明：令，則在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因，，則，即在上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，而，即，即，故在內(nèi)至少有一種實根。29、（6分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明方程在內(nèi)至少有一種實根。答案：證明：令，則在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因，，則，即在上滿足羅爾定理旳條件，則至少存在，使，而，即，即在內(nèi)至少有一種實根。30、（8分）設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一點(diǎn)使。答案：證明：