2023屆樂(lè)山市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的最小正周期為，且，有成立，則圖象的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)是（）A． B．C． D．2．設(shè)函數(shù)，則（）A．3 B．4 C．5 D．63．給出下列命題：①過(guò)圓心和圓上的兩點(diǎn)有且只有一個(gè)平面②若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)③若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則④如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行⑤垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行其中正確的命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．44．已知復(fù)數(shù),則的共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．6．將A，B，C，D，E，F(xiàn)這6個(gè)字母隨機(jī)排成一排組成一個(gè)信息碼，則所得信息碼恰好滿足A，B，C三個(gè)字母連在一起，且B在A與C之間的概率為（）A． B． C． D．7．以圓：的圓心為圓心，3為半徑的圓的方程為（）A． B．C． D．8．設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)命題，則為（）A． B．C． D．10．楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為()A． B． C． D．11．袋中共有10個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為（）A． B． C． D．12．.從字母中選出4個(gè)數(shù)字排成一列，其中一定要選出和，并且必須相鄰（在的前面），共有排列方法（）種.A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將一邊長(zhǎng)為的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒，當(dāng)?shù)扔赺_________時(shí)，方盒的容積最大．14．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，則__________.15．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=(i=1,2,3),則P(X=2)=_____.16．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)的取值范圍．18．（12分）（）．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，試比較與的大??；（3）求證：（，）．19．（12分）某校位同學(xué)的數(shù)學(xué)與英語(yǔ)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)號(hào)數(shù)學(xué)成績(jī)英語(yǔ)成績(jī)學(xué)號(hào)數(shù)學(xué)成績(jī)英語(yǔ)成績(jī)將這位同學(xué)的兩科成績(jī)繪制成散點(diǎn)圖如下：（1）根據(jù)該校以往的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)線性相關(guān).已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?，英語(yǔ)平均成績(jī)?yōu)?考試結(jié)束后學(xué)校經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)號(hào)為的同學(xué)與學(xué)號(hào)為的同學(xué)（分別對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖中的、）在英語(yǔ)考試中作弊，故將兩位同學(xué)的兩科成績(jī)?nèi)∠?，取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求其余同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的平均數(shù)；（2）取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的線性回歸方程，并據(jù)此估計(jì)本次英語(yǔ)考試學(xué)號(hào)為的同學(xué)如果沒(méi)有作弊的英語(yǔ)成績(jī)（結(jié)果保留整數(shù)）.附：位同學(xué)的兩科成績(jī)的參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：，.20．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明.21．（12分）某理財(cái)公司有兩種理財(cái)產(chǎn)品A和B，這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財(cái)產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立）：產(chǎn)品A投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率產(chǎn)品B投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；（2）若丙要將家中閑置的10萬(wàn)元人民幣進(jìn)行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，則選用哪種產(chǎn)品投資較理想？22．（10分）已知函數(shù)（，）的最大值為正實(shí)數(shù)，集合，集合.（1）求和；（2）定義與的差集：，設(shè)、、設(shè)均為整數(shù)，且，為取自的概率，為取自的概率，寫出與的二組值，使，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的最小正周期和最值確定函數(shù)的解析式，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.【詳解】由的最小正周期為，得，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，由，得，故，令，得，故圖象的對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱中心為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的性質(zhì)、周期性和對(duì)稱中心的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)的取值計(jì)算的值即可.【詳解】解：，故，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)求值問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題.3、B【解析】

依照立體幾何相關(guān)知識(shí)，逐個(gè)判斷各命題的真假?！驹斀狻吭冖僦?，當(dāng)圓心和圓上兩點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)圓心和圓上的兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；在②中，若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線平行或異面，都沒(méi)有公共點(diǎn)，故②正確；在③中，若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則與相交或平行，故③錯(cuò)誤；在④中，如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤；在⑤中，由線面垂直的性質(zhì)定理得垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故⑤正確．故選．4、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后得到，再求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，所以的共軛?fù)數(shù)故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于簡(jiǎn)單題.5、D【解析】

化簡(jiǎn)，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到答案?！驹斀狻坑捎?，所以的共軛復(fù)數(shù)是，故答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘除法公式以及共軛復(fù)數(shù)的定義。6、C【解析】

將A，B，C三個(gè)字捆在一起，利用捆綁法得到答案.【詳解】由捆綁法可得所求概率為.故答案為C【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，利用捆綁法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.7、A【解析】

先求得圓M的圓心坐標(biāo)，再根據(jù)半徑為3即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可得圓M的圓心坐標(biāo)為，以為圓心，以3為半徑的圓的方程為．故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化，圓的方程求法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由約束條件，作出可行域如上圖所示陰影部分，要使可行域存在，必有，可行域包括上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)在直線的上方，且在直線的下方，故有，解得，選D.點(diǎn)睛：平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃的一類重要題型，在解答本題時(shí)，關(guān)鍵是畫好可行域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．9、D【解析】分析：根據(jù)全稱命題的否定解答.詳解：由全稱命題的否定得為：，故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)全稱命題：,全稱命題的否定（）：.10、A【解析】

利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系數(shù)分別為1，2，1，對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第3行，令x＝1，就可以求出該行的系數(shù)之和，第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為Sn2n﹣1，若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，……，可以看成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則Tn，可得當(dāng)n＝15，在加上第16行的前15項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為135，由于最右側(cè)為2，3，4，5，……，為首項(xiàng)是2公差為1的等差數(shù)列，則第16行的第16項(xiàng)為17，則楊輝三角形的前18項(xiàng)的和為S18＝218﹣1，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為S18﹣35﹣17＝218﹣53，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．11、C【解析】

從袋中任取2個(gè)球，基本事件總數(shù)n．所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m，利用古典概型公式可得所求．【詳解】袋中共有10個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從袋中任取2個(gè)球，基本事件總數(shù)n1．所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m24，∴所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為p．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、C【解析】

排列方法為,選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出方盒容積的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)單調(diào)性求最大值.【詳解】方盒的容積為：當(dāng)時(shí)函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最大值的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.14、【解析】試題分析：由可得：，所以,則數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3，所以?？键c(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式。15、【解析】分析：根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列，寫出各個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)分布列中各個(gè)概率之和是1，把所有的概率表示出來(lái)相加等于1，得到關(guān)于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．詳解：∵P（X=i）=(i=1,2,3)，∴a=3，∴P（X=2）=.故答案選：C．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)分布列的兩個(gè)性質(zhì)：①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．16、4【解析】

可將點(diǎn)P和點(diǎn)Q先化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，從而利用距離公式求解.【詳解】根據(jù)，可將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，從而.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)和直角坐標(biāo)點(diǎn)的互化，距離公式，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用分離參數(shù)，并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，并求最值，可得結(jié)果.（2）利用對(duì)的分類討論，可得，然后判斷函數(shù)單調(diào)性以及根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，令，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）①由（1）得當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意②當(dāng)時(shí)，i．若，，，故函數(shù)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)ii．若，，，，不是函數(shù)的零點(diǎn)；iii．若時(shí)，，故只考慮函數(shù)在的零點(diǎn)，，若時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，∴函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)若時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，，∴函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，若時(shí)，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，要使在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需，．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的分類討論，考驗(yàn)理解能力以及對(duì)問(wèn)題的分析能力，屬難題.18、（1）遞減，遞增（2）（3）詳見解析【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，再求極值之和，構(gòu)造當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+-2，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+-2＞0恒成立，即lnt+-1＞0恒成立，設(shè)t=（n≥2，n∈N），即ln+n-1＞0，即有n-1＞lnn，運(yùn)用累加法和等差數(shù)列的求和公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得證試題解析：（Ⅰ），定義域，，遞減，遞增（Ⅱ），，，，，（也可使用韋達(dá)定理）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，，即恒成立綜上述（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立設(shè)，即，考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用19、（1）其余學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分、英語(yǔ)平均分都為分；（2）數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的線性回歸方程，本次英語(yǔ)考試學(xué)號(hào)為的同學(xué)如果沒(méi)有作弊，他的英語(yǔ)成績(jī)估計(jì)為分.【解析】

（1）利用平均數(shù)的公式求出這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之和以及英語(yǔ)成績(jī)之和，再減去、號(hào)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)，計(jì)算其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分和英語(yǔ)成績(jī)的平均分；（2）設(shè)取消的兩位同學(xué)的兩科成績(jī)分別為、，根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算出和，并代入最小二乘法公共計(jì)算出回歸系數(shù)和，可得出回歸方程，再將號(hào)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)代入回歸直線方程可得出其英語(yǔ)成績(jī).【詳解】（1）由題名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之和為，英語(yǔ)成績(jī)之和為，取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之和，其余名學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)之和為.其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分，英語(yǔ)平均分都為；（2）不妨設(shè)取消的兩位同學(xué)的兩科成績(jī)分別為、，由題，，，，數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的線性回歸方程.代入學(xué)號(hào)為的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)得，本次英語(yǔ)考試學(xué)號(hào)為的同學(xué)如果沒(méi)有作弊，他的英語(yǔ)成績(jī)估計(jì)為分.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的計(jì)算，同時(shí)也考查了回歸直線方程的求解，解題的關(guān)鍵就是理解最小二乘法公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、(1)0.(2)證明見解析.【解析】

分析：求出導(dǎo)函數(shù)，可設(shè)切點(diǎn)為，由此可得切線方程，與已知切線方程比較可求得．（2）由可把用表示（注意是，不是它們中的單獨(dú)一個(gè)），這樣中的可用代換，不妨設(shè)，設(shè)，可表示為的函數(shù)，然后求得此函數(shù)的單調(diào)性與最值后可得證．詳解：（1）由，得，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，依題意得，解得．（2）不妨設(shè)，由，得，即，所以，設(shè)，則，，設(shè)，則，即函數(shù)在上遞減，所以，從而，即點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值．函數(shù)存在零點(diǎn)且證明與零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，可利用零點(diǎn)的定義把參數(shù)用零點(diǎn)表示，這樣要證明的式子就可表示的代數(shù)式，然后只要設(shè)，此代數(shù)式又轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，把它看作是的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求得此函數(shù)的最值，從而證明題設(shè)結(jié)論．21、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，E(X)＝E(Y)，選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個(gè)；當(dāng)時(shí)，E(X)＞E(Y)，選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品A；當(dāng)時(shí)，E(X)＜E(Y)，選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品B．【解析】

（1）先表示出兩人全都不獲利的概率，再求至少有一人獲利的概率，列出不等式求解；（2）分別求出兩種產(chǎn)品的期望值，對(duì)期望中的參數(shù)進(jìn)行分類討論，得出三種情況.【詳解】（1）記事件A為“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”，事件B為“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”，事件C為“一年后甲，乙兩人中至少有一人投資獲利”，則，．所以