機器人的微分運動

第五章微分變換與雅可比5.1

微分變換為了補償機器人末端執(zhí)行器位姿與目標物體之間的誤差，以及解決兩個不同坐標系之間的微位移關(guān)系問題，需要討論機器人桿件在作微小運動時的位姿變化。一.變換的微分

假設(shè)一變換的元素是某個變量的函數(shù)，對該變換的微分就是該變換矩陣各元素對該變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的變換矩陣乘以該變量的微分。若它的元素是變量x的函數(shù)，則T的微分為:例如給定變換T為：二.微分運動所以得

設(shè)機器人某一桿件相對于基坐標系的位姿為T，經(jīng)過微運動后該桿件相對基坐標系的位姿變?yōu)門+dT，若這個微運動是相對于基坐標系（靜系）進行的(右乘)，總可以用微小的平移和旋轉(zhuǎn)來表示，即根據(jù)齊次變換的相對性，若微運動是相對某個桿件坐標系i（動系）進行的(左乘)，則T+dT可以表示為則相對基系有dT=Δ0T，相對i系有dT=TΔi

。這里Δ的下標不同是由于微運動相對不同坐標系進行的。所以得令三.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)由于微分旋轉(zhuǎn)θ→0，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，將它們代入旋轉(zhuǎn)變換通式中得微分旋轉(zhuǎn)表達式:微分平移變換與一般平移變換一樣，其變換矩陣為:于是得四.微分旋轉(zhuǎn)的無序性當θ→0時，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，δz=dθz，則繞三個坐標軸的微分旋轉(zhuǎn)矩陣分別為略去高階無窮小量兩者結(jié)果相同，可見這里左乘與右乘等效。同理可得結(jié)論：

微分旋轉(zhuǎn)其結(jié)果與轉(zhuǎn)動次序無關(guān)，這是與有限轉(zhuǎn)動（一般旋轉(zhuǎn)）的一個重要區(qū)別。若Rot（δx，δy，δz）和Rot（δx‘，δy’，δz‘）表示兩個不同的微分旋轉(zhuǎn)，則兩次連續(xù)轉(zhuǎn)動的結(jié)果為：上式表明：任意兩個微分旋轉(zhuǎn)的結(jié)果為繞每個軸轉(zhuǎn)動的元素的代數(shù)和，即微分旋轉(zhuǎn)是可加的。kxdθ=δx，

kydθ=δy

，

kzdθ=δz所以有由等效轉(zhuǎn)軸和等效轉(zhuǎn)角與等效，有即將它們代入Δ得因此Δ可以看成由和兩個矢量組成，叫微分轉(zhuǎn)動矢量，叫微分平移矢量。分別表示為

和合稱為微分運動矢量，可表示為解：例：已知一個坐標系A(chǔ)，相對固定系的微分平移矢量，微分旋轉(zhuǎn)矢量，求微分變換dA。五.兩坐標系之間的微分關(guān)系因為將它們代入前面的方程現(xiàn)在討論i系和j系之間的微分關(guān)系。不失一般性，假定j系就是固定系（基系）0系。得其中上式簡寫成對于任何三維矢量，其反對稱矩陣定義為：相應(yīng)地，任意兩坐標系{A}和{B}之間廣義速度的坐標變換為：例：知坐標系A(chǔ)及相對于固定系的微分平移矢量，微分旋轉(zhuǎn)矢量，求A系中等價的微分平移矢量dA和微分旋轉(zhuǎn)矢量δA。解：因為已知，可以根據(jù)前面的公式求得dA和δA。也可根據(jù)與它一樣的另一組表達式（寫法不同）求解，即求得