第四章-動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)與電磁波課件

第四章：動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)與電磁波主要內(nèi)容:

理解并掌握麥克斯韋方程組，了解方程之間的關(guān)系、方程的物理意義及使用范圍。理解均勻平面電磁波的性質(zhì)和計(jì)算方法，理解其隨時(shí)間作正弦變化的情況，了解平面電磁波極化的概念及平面電磁波的反射和折射。7/24/202314.1動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)庫(kù)侖電場(chǎng)(靜止電荷產(chǎn)生，單獨(dú)存在)恒定磁場(chǎng)(傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，單獨(dú)存在)當(dāng)電磁場(chǎng)頻率比較低,場(chǎng)量中隨時(shí)間變化的量可以忽略時(shí),使場(chǎng)具有類似靜態(tài)場(chǎng)(靜電場(chǎng),恒定磁場(chǎng))的特性.準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)(感應(yīng)電場(chǎng)相對(duì)于庫(kù)侖電場(chǎng)可以忽略)磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)(位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相對(duì)于恒定磁場(chǎng)可以忽略)7/24/20232當(dāng)電磁場(chǎng)頻率較高，場(chǎng)量隨時(shí)間迅速變化時(shí)，必須考慮變化的電場(chǎng)(位移電流)產(chǎn)生的磁場(chǎng)及變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)。此時(shí)，時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)是相互依存相互制約的。這種相互作用和相互耦合的時(shí)變電磁場(chǎng)即成為動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)。7/24/20233電磁場(chǎng)的基本規(guī)律－麥克斯韋方程組一、電磁感應(yīng)定律－麥克斯韋第二方程磁場(chǎng)中的導(dǎo)體，其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e的大小與穿過(guò)回路的磁通隨時(shí)間的變化率成正比。即：7/24/20234定義非保守感應(yīng)場(chǎng)Ei沿閉合路徑的積分為l中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，那么前式可改寫(xiě)為：如果空間同時(shí)還存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場(chǎng)Ec，則總電場(chǎng)E為兩者之和，即E=Eq+Ei。則：7/24/20235感生電動(dòng)勢(shì)B變化，S不變動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)S變化，B不變引起與閉合回路鉸鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間的變化，也可以是閉合回路自身的運(yùn)動(dòng)(大小、形狀、位置的變化)7/24/202361、感生電動(dòng)勢(shì)2、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)渦旋電場(chǎng)7/24/202373、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)＝感生電動(dòng)勢(shì)＋動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)渦旋電場(chǎng)7/24/20238庫(kù)侖電荷變化的磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程7/24/20239麥克斯韋第二方程7/24/202310二、全電流定律－麥克斯韋第一方程恒定磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定律靜電場(chǎng)中，傳導(dǎo)電流連續(xù)性方程7/24/202311電荷守恒定律：矛盾？每單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積V的閉合面S的電荷量等于S面內(nèi)每單位時(shí)間所減少的電荷量。7/24/202312補(bǔ)：位移電流恒定磁場(chǎng)的安培環(huán)路定律：傳導(dǎo)電流密度對(duì)傳導(dǎo)電流而言，有：非恒定電流下，是否成立？JcS1S2S0LS0S1L即穿過(guò)以邊界L為邊線的任意曲面S1，S2的電流相等。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)閉合曲面流出的電量等于0。7/24/202313例：S1S2Li說(shuō)明：安培環(huán)路定律只適用于恒定電流，即電流連續(xù)的情況。在接有電容器的回路中，回路電流不連續(xù)，電荷主要堆積在極板上。極板上的電量隨時(shí)間變化，電容器內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度E，電位移D也隨時(shí)間變化。7/24/202314全電流在任何情況下都連續(xù)高斯定理位移電流密度7/24/202315麥克斯韋第一方程7/24/202316場(chǎng)在空間每一點(diǎn)的性質(zhì)，它是積分形式麥克斯韋方程當(dāng)積分域縮小到一個(gè)點(diǎn)的極限麥克斯韋方程組:電磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化規(guī)律由麥克斯韋方程組動(dòng)態(tài)描述：相應(yīng)的微分形式：反映電磁運(yùn)動(dòng)在一局部區(qū)域內(nèi)的平均性質(zhì)7/24/202317由微分形式的麥克斯韋方程式可見(jiàn)，時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。但是在電荷及電流均不存在的無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。此外，時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直。

對(duì)于不隨時(shí)間變化的靜態(tài)場(chǎng)，則

那么，上述麥克斯韋方程變?yōu)榍笆龅撵o電場(chǎng)方程和恒定磁場(chǎng)方程，電場(chǎng)與磁場(chǎng)不再相關(guān)，彼此獨(dú)立。

7/24/202318一般而言，表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，上式可以寫(xiě)為：注意：ε，μ，γ是反應(yīng)媒質(zhì)特性的3個(gè)參數(shù)，在一定的頻率范圍內(nèi)為常數(shù)，通常與動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)的工作頻率有關(guān)。麥克斯韋方程是電磁理論的基礎(chǔ)和核心，當(dāng)給定電荷和電流分布時(shí)，根據(jù)初始條件和邊界條件，由方程組可求得電磁場(chǎng)在空間的分布情況及隨時(shí)間的變化情況。7/24/202319在簡(jiǎn)單的形式下隱藏著深?yuàn)W的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細(xì)的研究才能顯示出來(lái)，方程是表示場(chǎng)的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來(lái)，而是把此處的現(xiàn)在的場(chǎng)只與最鄰近的剛過(guò)去的場(chǎng)發(fā)生聯(lián)系。愛(ài)因斯坦（1879-1995）在他所著的“物理學(xué)演變”一書(shū)中關(guān)于麥克斯韋方程的一段評(píng)述：“這個(gè)方程的提出是牛頓時(shí)代以來(lái)物理學(xué)上的一個(gè)重要事件，它是關(guān)于場(chǎng)的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。假使我們已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預(yù)測(cè)在空間稍為遠(yuǎn)一些，在時(shí)間上稍為遲一些所發(fā)生的事件”。7/24/202320麥克斯韋方程除了對(duì)于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對(duì)于人類歷史的進(jìn)程也起了重要作用，正如美國(guó)著名的物理學(xué)家弗曼在他所著的“弗曼物理學(xué)講義”中寫(xiě)道“從人類歷史的漫長(zhǎng)遠(yuǎn)景來(lái)看──即使過(guò)一萬(wàn)年之后回頭來(lái)看──毫無(wú)疑問(wèn)，在十九世紀(jì)中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對(duì)于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事件相比之下，同一個(gè)十年中發(fā)生的美國(guó)內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會(huì)降低為一個(gè)地區(qū)性瑣事而黯然失色”。7/24/202321例1計(jì)算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場(chǎng)為E0sinωt，銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。

解：

銅中的傳導(dǎo)電流密度為:位移電流密度為：7/24/202322例2

在無(wú)源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度求位移電流密度Jd。解：無(wú)源的自由空間中J=0，麥克斯韋第一方程變?yōu)椋?/24/202323例3

已知在無(wú)源的自由空間中，其中E0、β為常數(shù)，求H。

解：無(wú)源即所研究區(qū)域內(nèi)沒(méi)有場(chǎng)源電流和電荷，即J=0,ρ=0。有麥克斯韋第二方程得：7/24/202324由上式得：7/24/202325適合靜態(tài)場(chǎng)的各種邊界條件原則上可以直接推廣到時(shí)變電磁場(chǎng)。第一，在任何邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，即

因?yàn)橹灰鸥袘?yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率是有限的，采用前述相同的方法，那么由電磁感應(yīng)定律的積分形式，即可獲得上面結(jié)果。對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可寫(xiě)為時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件7/24/202326

第二,在任何邊界上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的。由磁通連續(xù)性原理，即可證明

第三，電位移的法向分量邊界條件與媒質(zhì)特性有關(guān)。

對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可表示為在一般情況下，由高斯定律求得式中s

為邊界表面上自由電荷的面密度。7/24/202327

對(duì)于兩種理想介質(zhì)形成的邊界，由于不可能存在表面自由電荷，因此此式表明，兩種理想介質(zhì)形成的邊界上，電位移的法向分量是連續(xù)的。第四，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量邊界條件也與媒質(zhì)特性有關(guān)。在一般情況下，由于邊界上不可能存在表面電流，根據(jù)全電流定律，只要電位移的時(shí)間變化率是有限的，采用前述同樣方法可得此式表明，在一般邊界上，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。但是在理想導(dǎo)電體表面上可以形成表面電流，此時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是不連續(xù)的。對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，上式又可寫(xiě)為7/24/202328邊界條件:設(shè)邊界由理想介質(zhì)與理想導(dǎo)電體形成，已知在理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在電場(chǎng)，否則將會(huì)導(dǎo)致無(wú)限大的電流，因此，理想導(dǎo)電體內(nèi)部也不可能存在時(shí)變磁場(chǎng)，否則這種時(shí)變磁場(chǎng)在理想導(dǎo)電體內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。在理想導(dǎo)電體內(nèi)部也不可能存在時(shí)變的傳導(dǎo)電流，否則這種時(shí)變的傳導(dǎo)電流在理想導(dǎo)電體內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)。由此可見(jiàn)，在理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在時(shí)變電磁場(chǎng)及時(shí)變的傳導(dǎo)電流，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的表面。7/24/202329已知在任何邊界上，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量及磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的，因此理想導(dǎo)體表面上不可能存在電場(chǎng)切向分量及磁場(chǎng)法向分量，只可能存在法向電場(chǎng)及切向磁場(chǎng)。也就是說(shuō)，時(shí)變電場(chǎng)必須垂直于理想導(dǎo)電體的表面，而時(shí)變磁場(chǎng)必須與其表面相切，如下圖示。EH

,

=enet因，由前式得

由于理想導(dǎo)電體表面存在表面電流Ks，設(shè)表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成右旋關(guān)系，因，求得H1tH2tKS7/24/202330例設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：7/24/202331無(wú)源的自由空間中J=0，麥克斯韋第一方程變?yōu)椋?/24/202332假設(shè)t=0時(shí)，ρS=0，由邊界條件Dn=ρS以及n的方向可得7/24/202333例設(shè)區(qū)域Ⅰ(z<0)的媒質(zhì)參數(shù)εr1=1,μr1=1,σ1=0；區(qū)域Ⅱ(z>0)的媒質(zhì)參數(shù)εr2=5,μr2=2,σ2=0。區(qū)域Ⅰ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為:區(qū)域Ⅱ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為:試求：(1)常數(shù)A；(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度H1和H2；(3)證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件。7/24/202334解：(1)在無(wú)耗媒質(zhì)的分界面z=0處，有由于E1和E2為切向電場(chǎng)，7/24/202335

(2)根據(jù)麥克斯韋第二方程：有7/24/202336同理，可得(3)將z=0代入(2)中得7/24/202337電場(chǎng)是一種物質(zhì)，具有物質(zhì)的屬性，具有能量。靜電場(chǎng)能量帶電體系統(tǒng)的靜電場(chǎng)能量EdqPP點(diǎn)電位等于移動(dòng)單位正電荷從P∞電場(chǎng)力做功。移動(dòng)q電荷時(shí)，電場(chǎng)力做功：外力做功：把電荷從

∞

P，外力克服電場(chǎng)力做功。結(jié)果使靜電場(chǎng)能量增加，W增=W’。功------能7/24/202338初始狀態(tài)：設(shè)想帶電體系中的電荷可以分割成許多微小部分，這些部分最初都分散在彼此相距無(wú)限遠(yuǎn)的狀態(tài)，規(guī)定此時(shí)靜電場(chǎng)能為0?，F(xiàn)有帶電體系的靜電能W是相對(duì)初始狀態(tài)而言，W等于把各部分電荷從無(wú)限遠(yuǎn)分離的狀態(tài)聚集成現(xiàn)有帶電體系時(shí)外力克服電場(chǎng)力作的功。靜電能自能(帶電體自身)互能(各電荷之間的相互作用能)7/24/202339互能：把每一帶電體看作整體，將各帶電體從無(wú)限遠(yuǎn)移到現(xiàn)在位置外力做的功。Rq1q2AB形成過(guò)程：(1)q2先固定，q1從無(wú)窮遠(yuǎn)搬來(lái)，放置在距離q2為R處。(2)q1先固定，q2從無(wú)窮遠(yuǎn)搬來(lái)，放置在距離q1為R處。(1)搬運(yùn)q2時(shí)，空間不存在其他電荷的電場(chǎng)，外力無(wú)需做功W2=0。再搬運(yùn)q1時(shí)，處于q2的電場(chǎng)中，克服電場(chǎng)力做功。將q1從∞

A，外力做功：7/24/202340(2)同理：7/24/202341以三點(diǎn)電荷為例，相距無(wú)窮遠(yuǎn)，則無(wú)相互作用q1

在A處不動(dòng)q2在q1電場(chǎng)作用下由無(wú)窮遠(yuǎn)移至B

處，做功q3在q1和q2作用下由無(wú)窮遠(yuǎn)移至C處，做功不帶電的導(dǎo)體的帶電過(guò)程就是把無(wú)窮遠(yuǎn)處的電荷不斷地搬運(yùn)到導(dǎo)體上的過(guò)程。7/24/202342外力做功：7/24/202343互能屬于整個(gè)系統(tǒng)，不只屬于某一電荷，而且只與帶電體系的現(xiàn)在狀態(tài)有關(guān)。相互作用相等n個(gè)點(diǎn)電荷組成的帶電體系統(tǒng)的互能：自能：把帶電體各部分從無(wú)限分離的狀態(tài)聚集起來(lái)所做的功。為除qi之外的其他電荷在qi點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和。7/24/202344靜電能量的分布及其分布密度電場(chǎng)能量密度單位體積內(nèi)電場(chǎng)能量均勻介質(zhì)電場(chǎng)總能量：7/24/202345歐姆定律的微分形式恒定電流J恒定電場(chǎng)E電荷7/24/202346電功率：電功率功率體密度電場(chǎng)力做功體積V內(nèi)總功率：7/24/202347能量密度與能流密度矢量

時(shí)變電磁場(chǎng)，在各向同性的線性媒質(zhì)中：電場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度損耗功率密度因此，時(shí)變電磁場(chǎng)的能量密度為7/24/202348時(shí)變電磁場(chǎng)能量守恒定律、坡印廷定理假設(shè)電磁場(chǎng)在一有耗的導(dǎo)電媒質(zhì)中，媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，電場(chǎng)會(huì)在此有耗導(dǎo)電媒質(zhì)中引起傳導(dǎo)電流

。根據(jù)焦耳定律，在體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流引起的功率損耗是由麥克斯韋第一方程：7/24/202349由矢量恒等式則：7/24/202350利用散度定理上式可改寫(xiě)為：坡印廷定理7/24/202351又：對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，即D=εE,B=μH,J=σE,則：同理，

7/24/202352對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，坡印廷定理表示如下：坡印廷矢量電場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度wewm7/24/202353坡印廷定理可寫(xiě)成：體積V中電磁能量增加率體積V中的熱損耗功率單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)V的表面S流入體積V的電磁能量坡印廷矢量S=E×H可解釋為通過(guò)S面上單位面積的電磁功率電磁功率面密度7/24/202354已知某點(diǎn)的E及

H，即可求出該點(diǎn)的能流密度矢量。且，S

與E

及H垂直。又知，因此，S，E及H三者在空間是相互垂直的，且由E至H

與S

構(gòu)成右旋關(guān)系，如圖示。SEH能流密度矢量的瞬時(shí)值為：可見(jiàn)，能流密度矢量的瞬時(shí)值等于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值的乘積。只有當(dāng)兩者同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，能流密度才達(dá)到最大。若某一時(shí)刻電場(chǎng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度為零，則在該時(shí)刻能流密度矢量為零。7/24/202355波動(dòng)是能量傳輸?shù)囊环N基本方式，電磁波的傳播過(guò)程就是電磁場(chǎng)能量的輸運(yùn)過(guò)程。電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)有條件:若空間只有電場(chǎng)或磁場(chǎng)，或者E和H平行，則S=0，即電磁場(chǎng)是靜止的(相對(duì)于某一參考量)，相應(yīng)的電磁能存儲(chǔ)于空間。若E和H有相互垂直的分量，就必形成運(yùn)動(dòng)的電磁場(chǎng)，即相應(yīng)的能量以波動(dòng)的方式在空間運(yùn)輸。S=E╳H7/24/202356表示在場(chǎng)中任一點(diǎn)，單位時(shí)間流出包圍體積V表面的總能量為零，可見(jiàn)，在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下，沒(méi)有電磁能量流動(dòng)。靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)：7/24/202357恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)：無(wú)源區(qū)域，通過(guò)S面流入V的電磁功率等于V內(nèi)的損耗功率。瞬時(shí)功率:S=E×H瞬時(shí)功率流密度:7/24/202358例1：試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理。解：如圖，一段長(zhǎng)度為L(zhǎng)的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，設(shè)電流均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，則：圖5-5坡印廷定理驗(yàn)證7/24/202359在導(dǎo)線表面，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量:7/24/202360將坡印廷矢量沿導(dǎo)線表面積分，有7/24/202361例2：一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，載有直流電流I，內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和能流密度矢量。解：分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可求出同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)：7/24/202362可見(jiàn)，電磁能量沿z軸方向流動(dòng)，由電源向負(fù)載傳輸。通過(guò)同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為：7/24/202363同軸線的功率傳輸7/24/202364標(biāo)量位與矢量位

設(shè)媒質(zhì)是線性均勻且各向同性的，那么對(duì)微分形式的麥克斯韋方程中全電流定律兩邊取旋度，再將電磁感應(yīng)定律 代入，整理后得若對(duì)電磁感應(yīng)定律兩邊取旋度，再將全電流定律代入，整理后得利用矢量恒等式，同時(shí)考到及 ，那么上述兩式變?yōu)?/p>

7/24/202365由此可見(jiàn)，時(shí)變電磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)與場(chǎng)源的關(guān)系比較復(fù)雜，直接求解上述方程需要較多的數(shù)學(xué)知識(shí)。為簡(jiǎn)化求解過(guò)程，引入標(biāo)量位與矢量位作為求解時(shí)變電磁場(chǎng)的兩個(gè)輔助函數(shù)。

已知時(shí)變磁場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)，因此可以表示為矢量場(chǎng)A的旋度，即可令式中A稱為矢量位。將上式代入式中，得7/24/202366上式又可改寫(xiě)為由此可見(jiàn)，矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。因此它可以用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度來(lái)表示，即可令式中稱為標(biāo)量位。由此得注意，這里的矢量位A

及標(biāo)量位均是時(shí)間及空間函數(shù)。當(dāng)它們與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，矢量位A及標(biāo)量位與場(chǎng)量的關(guān)系和靜態(tài)場(chǎng)完全相同。因此矢量位A

又稱為矢量磁位，標(biāo)量位又稱為標(biāo)量電位。7/24/202367位函數(shù)與源的關(guān)系

為了導(dǎo)出位函數(shù)與源的關(guān)系，根據(jù)位函數(shù)定義式及麥克斯韋方程，求得

利用矢量恒等式，上兩式又可寫(xiě)為7/24/202368根據(jù)亥姆霍茲定理得知，只有當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度共同給定后，這個(gè)矢量場(chǎng)才被惟一地確定。已知規(guī)定了矢量場(chǎng)A的旋度，，必須再規(guī)定其散度。原則上，其散度值可以任意給定，但是為了簡(jiǎn)化計(jì)算，由上式可知，若令則前兩式可以簡(jiǎn)化為羅倫茲條件由上可見(jiàn)，按照羅倫茲條件規(guī)定A的散度后，原來(lái)兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立方程。矢量位

A

僅與電流J有關(guān)，標(biāo)量位

僅與電荷有關(guān)。7/24/202369由上可見(jiàn)，已知電流分布，即可求出矢量位A。已知電荷分布，由即可求出標(biāo)量位

。求出A

及以后，即可求出電場(chǎng)與磁場(chǎng)。麥克斯韋方程的求解歸結(jié)為位函數(shù)方程的求解，而且求解過(guò)程顯然得到了簡(jiǎn)化。因?yàn)樵瓉?lái)電磁場(chǎng)方程為兩個(gè)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的矢量方程，在三維空間中需要求解六個(gè)坐標(biāo)分量，而位函數(shù)方程分別為一個(gè)矢量方程和一個(gè)標(biāo)量方程，且結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，在三維空間中僅需求解四個(gè)坐標(biāo)分量。尤其在直角坐標(biāo)系中，矢量位方程可以分解為三個(gè)結(jié)構(gòu)如同標(biāo)量位方程一樣的標(biāo)量方程。因此，實(shí)際上等于求解一個(gè)標(biāo)量方程。由此可見(jiàn)，位函數(shù)A及

的引入顯著地簡(jiǎn)化了麥克斯韋方程的求解。7/24/202370

函數(shù)方程的直接求解需要較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們根據(jù)靜態(tài)場(chǎng)的結(jié)果，采用類比的方法，推出其解。位函數(shù)方程的求解當(dāng)場(chǎng)源是位于坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷時(shí)，其場(chǎng)分布一定具有球?qū)ΨQ特點(diǎn)，即場(chǎng)量?jī)H為變量r的函數(shù)，與球坐標(biāo)變量及無(wú)關(guān)。那么，在除坐標(biāo)原點(diǎn)以外整個(gè)空間，位函數(shù)滿足的方程式為首先求解標(biāo)量位函數(shù)方程。為此設(shè)場(chǎng)源是位于坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷，求出其解后，采用疊加原理推出任意分布的時(shí)變體電荷的解。式中7/24/202371上式為函數(shù)（

r）的齊次波動(dòng)方程，其通解為由后面分析可以獲知，式中第二項(xiàng)不符合實(shí)際的物理?xiàng)l件，應(yīng)該舍去。因此，求得位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為已知位于原點(diǎn)的靜止點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位為將此式同上式比較，可見(jiàn)函數(shù)f1

為:7/24/202372因此，求得位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷產(chǎn)生的標(biāo)量位為式中r

為體元dV

至場(chǎng)點(diǎn)的距離。對(duì)于位于V

中的任意體分布電荷，如圖示。r'rzyxm(r,t)VdV'r'-r0點(diǎn)電荷的位置矢量為r'，則全部電荷在r

處產(chǎn)生的電位由上式積分求得7/24/202373為了求出矢量位函數(shù)A，可將矢量位函數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)，則各個(gè)分量均滿足結(jié)構(gòu)相同的非齊次標(biāo)量波動(dòng)方程式，即顯然，對(duì)于每一個(gè)分量均可求得結(jié)構(gòu)如同前式的解。三個(gè)分量合成后，矢量位A

的解為式中V'

為電流J

的分布區(qū)域。7/24/202374首先兩式均表明，空間某點(diǎn)在時(shí)刻t

產(chǎn)生的標(biāo)量位或矢量位必須根據(jù)時(shí)刻的場(chǎng)源分布函數(shù)進(jìn)行求積。換言之，位于r

處

t

時(shí)刻的場(chǎng)強(qiáng)不是由同一時(shí)刻t的源的分布決定的，而是取決于比t

時(shí)刻超前時(shí)刻的源分布。這就意味著，位于r

處的源產(chǎn)生的場(chǎng)傳到r

處需要一段時(shí)間，這段時(shí)差就是。已知(

r-r’)為源點(diǎn)至場(chǎng)點(diǎn)的距離，因此v代表電磁波的傳播速度。7/24/202375恒定電流或低頻交流電的情況下，場(chǎng)量往往是通過(guò)電流、電壓及負(fù)載阻抗等參數(shù)表現(xiàn)，表面給人造成能量是通過(guò)電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸?shù)募傧?。I如能量真是通過(guò)電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸，常溫下導(dǎo)體中的電荷運(yùn)動(dòng)速度約10-5m/s，電荷由電源端到負(fù)載端所需時(shí)間約是場(chǎng)傳播時(shí)間（L/c）的億萬(wàn)倍負(fù)載只需經(jīng)過(guò)極短（t=L/c，其中c為光速）的時(shí)間就能得到能量的供應(yīng)。7/24/202376由式可見(jiàn)，電磁波的傳播速度與媒質(zhì)特性有關(guān)。在真空中，最新測(cè)得的數(shù)據(jù)為這就是光波在真空中的傳播速度，或簡(jiǎn)稱為光速。光速通常以c表示。值得注意的是，既然空間場(chǎng)強(qiáng)不是取決于同一時(shí)刻的源特性，那么即使在同一時(shí)刻源已消失，只要前一時(shí)刻源還存在，它們?cè)瓉?lái)產(chǎn)生的空間場(chǎng)強(qiáng)仍然存在，這就表明源已將電磁能量釋放到空間，而空間電磁能量可以脫離源單獨(dú)存在，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射。7/24/202377此外，顯然只有時(shí)變電磁場(chǎng)才具有這種輻射特性，而靜態(tài)場(chǎng)完全被源所束縛。當(dāng)靜止電荷或恒定電流一旦消失，它們所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)或恒定磁場(chǎng)也隨之失去，因而靜態(tài)場(chǎng)又稱為束縛場(chǎng)。若源隨時(shí)間變化很快，空間場(chǎng)強(qiáng)的滯后現(xiàn)象更加顯著，即使在源附近也會(huì)有顯著的電磁輻射現(xiàn)象。所以似穩(wěn)場(chǎng)和輻射場(chǎng)的區(qū)域劃分不僅取決于空間距離，也與源的變化快慢有關(guān)。因此，為了向空間輻射電磁能量，必須使用變化很快的高頻電流激勵(lì)發(fā)射天線，而通常50Hz交流電不可能有效地輻射電磁能量。位于時(shí)變電荷或電流附近的時(shí)變電磁場(chǎng)，由于距離很近，引起的時(shí)差很小，場(chǎng)強(qiáng)隨時(shí)間的變化基本上與源的變化同步，所以近處的時(shí)變場(chǎng)稱為似穩(wěn)場(chǎng)。反之，離開(kāi)時(shí)變?cè)春苓h(yuǎn)的地方，由于時(shí)差很大，輻射效應(yīng)顯著，所以遠(yuǎn)處的時(shí)變場(chǎng)稱為輻射場(chǎng)。

7/24/202378正弦電磁場(chǎng)正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示:各個(gè)坐標(biāo)分量為:變化的電場(chǎng)變化的磁場(chǎng)變化的磁場(chǎng)變化的電場(chǎng)同頻率7/24/202379復(fù)數(shù)形式:7/24/202380采用復(fù)數(shù)，正弦量對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)等價(jià)于該正弦量的復(fù)數(shù)形式乘以jω，即電場(chǎng)強(qiáng)度矢量也可用復(fù)數(shù)表示為：復(fù)振幅7/24/202381例1：將下列用復(fù)數(shù)形式表示的場(chǎng)矢量變換成瞬時(shí)值，或作相反的變換。7/24/202382例2:將下列場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式寫(xiě)為瞬時(shí)值形式。7/24/202383麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式一般形式的麥克斯韋方程組：且：代入第一方程得：7/24/202384t任意時(shí)：同理：復(fù)數(shù)形式麥克斯韋方程組7/24/202385復(fù)坡印廷矢量對(duì)正弦電磁場(chǎng)，當(dāng)場(chǎng)矢量用復(fù)數(shù)表示時(shí)：坡印廷矢量瞬時(shí)值為對(duì)復(fù)數(shù)a+jb有：

7/24/202386一個(gè)周期T=2π/ω內(nèi)的平均值為：復(fù)坡印廷矢量7/24/202387例:已知無(wú)源(ρ=0,J=0)的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量式中k、E0為常數(shù)。求：(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量；(2)坡印廷矢量的瞬時(shí)值；(3)平均坡印廷矢量。7/24/202388解：(1)由得7/24/202389(2)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為坡印廷矢量的瞬時(shí)值為：7/24/202390(3)平均坡印廷矢量：7/24/202391均勻、線性、各向同性的無(wú)源媒質(zhì)區(qū)域(J=0,ρ=0)且σ=0的時(shí)，變?yōu)橐话阈问降柠溈怂鬼f方程組：波動(dòng)方程及解電磁波：時(shí)變電磁場(chǎng)以波動(dòng)的方式向前傳播，形成電磁波。7/24/202392將麥克斯韋方程組第二方程兩邊同時(shí)取旋度得：同理有：7/24/202393波動(dòng)方程:直角坐標(biāo)系中，E的矢量波動(dòng)方程對(duì)應(yīng)三個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程：7/24/202394理想介質(zhì)中的均勻平面波均勻、線性、各向同性的無(wú)源媒質(zhì)區(qū)域:若電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度H只是直角坐標(biāo)z和時(shí)間t的函數(shù)：7/24/202395設(shè)電場(chǎng)只有x方向分量，磁場(chǎng)只有y方向的分量，則電場(chǎng)、磁場(chǎng)及傳播方向滿足下圖：思考：有電磁場(chǎng)的區(qū)域，是否一定有電磁波存在？7/24/202396無(wú)界媒質(zhì)中：波動(dòng)方程簡(jiǎn)化為：+z入射波-z反射波波動(dòng)方程—證明了電磁場(chǎng)以波動(dòng)的方式運(yùn)動(dòng)，形成電磁波。7/24/202397復(fù)數(shù)麥克斯韋第二方程：7/24/20239