九年級數(shù)學(xué)上冊專題06 解一元二次方程計算專項訓(xùn)練-重難點題型（解析版）

/ 專題06解一元二次方程計算專項訓(xùn)練-重難點題型 1．（2022·全國·九年級）解方程．(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】(1)移項后，利用直接開平方法解方程即可；(2)利用一元二次方程的求根公式直接求解即可．(1)解：，，，∴，解得，(2)解：這里，，，∴，∴，解得，【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)題目中方程的特點選擇解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)x?=3，x?=-1(2)x?=4，x?=-1【分析】(1)由直接開平方法求解即可；(2)先因式分解然后求解即可．(1)解：方程兩邊直接開平方得：x－1＝±2，∴x－1＝2或x－1=-2解得，x?=3，x?=-1．(2)解：原方程可以變形為(x－4)(x+1)=0∴x－4=0或x+1=0解得，x?=4，x?=-1．【點睛】本題考查了直接開平方法及因式分解法解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握一元二次方法的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級）解一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)解：，∴，∴或，∴，．(2)，∴，∴或，∴，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東煙臺·八年級期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接采用開平方的方法即可求出解．（2）將原方程化為一般形式，后采取因式分解法直接求出解．(1)解：原方程兩邊都除以4，得兩邊開平方，得所以，(2)解：原方程整理得，因式分解的：，解得：，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程，熟練掌握開方法，因式分解法是求解一元二次方程的關(guān)鍵．5．（2022·全國·九年級）解方程：(1)x2＝9；(2)4x2﹣25＝0【答案】(1)x1＝3，x2＝﹣3(2)x1＝，x2＝【分析】（1）利用直接開平方法即可求解；（2）先變形為x2，然后利用直接開平方法即可求解．(1)解：∵x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3；(2)解：∵4x2﹣25＝0，∴4x2＝25，則x2，∴x1，x2．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級）解方程：(1)4（2x﹣1）2﹣36＝0(2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2【答案】(1)x＝2或﹣1(2)y1，y2．【分析】（1）先對原方程進行整理，再利用直接開平方法求解；（2）對方程兩邊分別開平方，得到y(tǒng)+2＝±（3y﹣1），解一元一次方程即可．(1)解：4（2x﹣1）2﹣36＝0，4（2x﹣1）2＝36，（2x﹣1）2＝9，2x﹣1＝±3，x＝2或﹣1(2)解：直接開平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法．解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．7．（2022·全國·九年級）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)25y2﹣16＝0(2)y2＋2y﹣99＝0(3)3x2＋2x﹣3＝0(4)（2x＋1）2＝3（2x＋1）【答案】(1)(2)y1＝﹣11，y2＝9(3)(4)x1，x2＝1【分析】（1）用直接開方法解方程；（2）用因式分解法解方程；（3）用公式法解方程；（4）用因式分解法解方程．(1)解：25y2﹣16＝0，

y2，y＝±，

∴y1=，y2=；(2)解：y2+2y﹣99＝0，（y+11）（y﹣9）＝0，y1＝﹣11，y2＝9；(3)解：3x2+2x﹣3＝0，∵a＝3，b＝2，c＝﹣3，∴△＝4+36＝40，∴x，∴x1，x2；(4)解：（2x+1）2＝3（2x+1），（2x+1）（2x+1﹣3）＝0，x1，x2＝1．【點睛】本題考查了一元二次的解法，根據(jù)不同的題目選擇恰當?shù)囊辉畏匠痰慕夥ㄊ潜绢}的關(guān)鍵．8．（2022·全國·九年級）解方程．(1)(2)(3)（(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)直接開平方法解一元二次方程；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程；（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程．(1)解：3x+2=±5，解得；(2)3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，所以；(3)（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1-3）=0，2x+1=0或2x+1-3=0，解得；(4)（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5=0，解得x1=2，x2=5．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．9．（2022·全國·九年級）按指定的方法解下列方程：(1)x2﹣6x﹣7＝0（配方法）(2)2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）(3)3x2﹣4x＋1＝0（公式法）(4)5（x＋1）2＝10（直接開平方法）【答案】(1)x1＝7，x2＝﹣1(2)x1＝3，x2＝5(3)x1＝1，x2(4)【解析】(1)x2﹣6x﹣7=0解：移項得：x2﹣6x=7配方得：x2﹣6x+9=7+9（x﹣3）2=16開方得：x﹣3=±4解得：x1=7，x2=﹣1；(2)2x﹣6=（x﹣3）2解：移項得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0提公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0由此得：x﹣3=0，或x﹣5=0解得：x1=3，x2=5；（3）3x2﹣4x+1=0解：方程有兩個不相等的實根，解得：x1=1，x2=；(4)5（x+1）2=10解：（x+1）2=2解得：．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國·九年級）用指定方法解方程：(1)（2x-3）2-121=0．（直接開平方法）(2)x2-4x-7=0．（配方法）(3)x2-5x+1=0．（公式法）(4)3（x-2）2=x（x-2）．（因式分解法）【答案】(1)x1=7，x2=-4；(2)x1=+2，x2=2-；(3)x1=，x2=；(4)x1=2，x2=3．【分析】（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵（2x-3）2-121=0，∴（2x-3）2=121，∴2x-3=±11，∴2x-3=11或2x-3=-11，∴x1=7，x2=-4；(2)解：∵x2-4x-7=0，∴x2-4x+4=7+4，∴（x-2）2=11，∴x-2=±，∴x-2=或x-2=-，∴x1=+2，x2=2-；(3)解：∵x2-5x+1=0，∴a=1，b=-5，c=1，∴Δ=b2-4ac=21，∴，∴x1=，x2=；(4)解：∵3（x-2）2=x（x-2），∴3（x-2）2-x（x-2）=0，∴（x-2）（3x-6-x）=0，∴x-2=0或2x-6=0，∴x1=2，x2=3．【點睛】本題考查了解一元二次方程的方法，解決本題的關(guān)鍵是靈活運用解一元二次方程的方法．11．（2020·全國·九年級期中）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)x1=，x2=(2)x1=，x2=(3)x1=x2=-(4)方程無解【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用直接開平方法求解即可；（4）用公式法求解即可．(1)解：，2x2+8x-1=0，∵Δ==72>0，∴x=，∴x1=，x2=；(2)解：，3x2-11x+9=0，∵Δ=>0，∴x=∴x1=，x2=；(3)解：，(2x+1)2=02x+1=0，∴x1=x2=-；(4)解：，∵Δ=(-6)2-4×1×10＝-4<0，∴方程無解．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用直接開方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2022·湖南·澧縣王家廠鎮(zhèn)中學(xué)一模）解方程(1)2（x－1）2－16＝0(2)5x2－2x－(3)(4)x2＋3＝2x【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）先將（x－1）當作一個整體求解，然后再求出x即可；（2）先化簡原方程，然后再運用直接開平方法求解即可；（3）先將原方程化成一般式，然后再運用公式法求解即可；（4）先將原方程化成一般式，然后再運用因式分解法求解即可．(1)解：2（x－1）2－16＝02（x－1）2＝16（x－1）2＝8x-1=所以，．(2)解：所以，．(3)解：∵△=∴∴，．(4)解：x2＋3＝2x，x2-2x+3＝0=0所以．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，靈活利用直接開平方法、公式法和因式分解法是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·山東濱州·九年級期末）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）移項后提取公因式，然后求解即可；（2）先進行多項式與多項式的乘法運算，然后移項，用十字相乘法進行因式分解，最后計算求解即可；（3）移項后直接開方求解即可；（4）移項后用十字相乘法進行因式分解，然后計算求解即可．(1)解：解得，∴方程的解為，．(2)解：解得，∴方程的解為，．(3)解：∴解得，∴方程的解為，．(4)解：解得，∴方程的解為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握提公因式法、乘法公式、開方法、十字相乘法并能選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓?4．（2022·浙江寧波·八年級期中）解下列方程：(1)x2-3x=（3-x）2；(2)2x2+4x-7=0．【答案】(1)x=3(2)x1=-1+，x2=-1-【分析】（1）先去括號，然后移項合并，系數(shù)化為1，即可得到答案；（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．(1)解：x2-3x=（3-x）2，x2-3x=9-6x+x2，6x-3x=9，3x=9，∴x=3；(2)解：2x2+4x-7=0，x2+2x=，x2+2x+1=，（x+1）2=，x+1=±，∴x1=1+，x2=1．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法解一元二次方程．15．（2022·山東煙臺·八年級期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．(1)由得：，則；(2)，，，，，，則，．【點睛】本題考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，利用平方差公式進行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022·浙江杭州·八年級期中）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用求根公式解一元二次方程即可得到答案；（2）用因式分解法解一元二次方程，可得答案．【詳解】解：（1），，解得，；（2），，，或，解得，．【點睛】本題考查解一元二次方程的方法，根據(jù)方程的情況，選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．17．（2022·全國·九年級單元測試）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2－x－1＝0；(2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－2x＋1＝0；(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．【答案】(1)，(2)x1＝，x2＝2(3)x1＝，x2＝(4)x1＝－4，x2＝－5【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∴x＝＝即原方程的根為x1＝，x2＝(2)解：移項，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∴x1＝，x2＝2．(3)解：配方，得（x－）2＝1，∴x－＝±1．∴x1＝＋1，x2＝－1．(4)解：原方程可化為x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∴x1＝－4，x2＝－5．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．18．（2022·天津北辰·九年級期末）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．(3)如圖，在一塊長13m，寬7m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，若栽種花草的面積是，則道路的寬應(yīng)設(shè)計為多少m？【答案】(1)(2)(3)道路的寬應(yīng)設(shè)計為1米．【分析】（1）先把方程化為，再利用直接開平方的方法解方程即可；（2）先求解根的判別式的值，再利用公式法解方程即可；（3）把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的部分是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程即可．(1)解：或解得：(2)解：則所以(3)解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意得，．整理得：解得x=1或x=19．經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去，取答：道路的寬應(yīng)設(shè)計為1米．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的應(yīng)用，矩形的定義，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是解本題的關(guān)鍵．19．（2022·全國·九年級）閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實數(shù)對應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)一般表示為a＋bi（a，b為實數(shù)），a叫這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加法，減法，乘法運算與整式的加法，減法，乘法運算類似．例如：解方程x2＝﹣1，解得：x1＝i，x2＝﹣i．同樣我們也可以化簡2i；讀完這段文字，請你解答以下問題：(1)填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：（x﹣1）2＝﹣1(3)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：x2﹣4x＋8＝0【答案】(1)﹣i，1，﹣1，1(2)x1＝1+i，x2＝1﹣i(3)x1＝2+2i，x2＝2﹣2i【分析】（1）直接根據(jù)i2＝﹣1計算即可；（2）把右邊的-1寫成i2求解即可；（3）利用配方法，結(jié)合i2＝﹣1求解.(1)解：i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1；i2020＝（i2）1010＝1；故答案為﹣i，1，﹣1，1；(2)解：∵（x﹣1）2＝﹣1，∴（x﹣1）2＝i2，∴x﹣1＝±i，∴x1＝1+i，x2＝1﹣i．(3)解：x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2，∴x﹣2＝±2i,解得：x1＝2+2i，x2＝2﹣2i．【點睛】本題考查了新定義，以及解一元二次方程，讀