半連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

摘要函數(shù)的種類極為復(fù)雜.在函數(shù)論中,持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用占有相稱重要的地位.有一類函數(shù)即使不持續(xù),但卻含有某些與持續(xù)函數(shù)相近的性質(zhì),即持續(xù)函數(shù)的一種推廣——半持續(xù)函數(shù).從而得到了比持續(xù)函數(shù)更廣泛的一類函數(shù)的性質(zhì).通過對半持續(xù)函數(shù)的研究,對半持續(xù)函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ).首先簡述持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用,之后重點討論半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì),具體介紹運算性,保號性,以及拓撲空間上半持續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理.推廣到緊致空間中半持續(xù)函數(shù)的應(yīng)用.最后辨析持續(xù)函數(shù)與半持續(xù)函數(shù)性質(zhì)、應(yīng)用,最后應(yīng)用持續(xù)函數(shù)性質(zhì)解決半持續(xù)函數(shù)的問題.事實上半持續(xù)函數(shù)理論在古典分析和當(dāng)代分析中都有著較為廣泛的應(yīng)用.例如在最優(yōu)化問題、變分不等式問題、相補問題及對策論問題都有著舉足輕重的作用.核心詞：半持續(xù)；持續(xù)；函數(shù)AbstractCategoryoffunctionisverycomplicated.Characterizationandapplicationofcontinuousfunctionsareveryimportantinthefunctiontheory.Althoughakindoffunctionisalsocontinuous,itscharacterizationissimilarwiththecontinuousfunctions,whichiscalledextensionofthecontinuousfunctionssemi-continuousfunctions,thusakindoffunctionwithmorewindercharacterizationisobtained.Throughthestudy,halfofthecontinuousfunctioninthemathematicalanalysiscontinuousfunctionwhichlayatheoreticalfoundationfortheapplication.First,thispaperexpoundsthenatureofthecontinuousfunctionandapplication,andthendiscussesthenatureofthesemi-continuousfunctions,detailedmathematicalandapplication,introducedthenumberoftopologicalspace,andthefirsthalfofthecontinuousfunctiontheoremofgeneralizedtonature.Tightspaceintheapplicationofsemi-continuousfunctions.Finallydifferentiatecontinuousfunctionandsemi-continuousfunctionsproperties,application,andfinallyapplicationcontinuousfunctionsemi-continuousfunctionsnaturesolutionoftheproblem.Halfacontinuousfunctionintheclassicaltheoryanalysisandmodernanalysishasawiderangeofapplications.Forexample,inthemostproblems,variationalinequalities,phaseproblemsandcountermeasuresforthetheoryofandsoonallhasapivotalrole.Keywords:semi－continuous;continuous;functions;目錄摘要 IAbstract I緒論 -1-第1章持續(xù)函數(shù) -2-1.1 持續(xù)函數(shù)的性質(zhì) -3-1.1.1 持續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及應(yīng)用 -3-1.1.2閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) -5-1.1.3一致持續(xù)性及其應(yīng)用 -6-第2章半持續(xù)函數(shù) -10-2.1 上下半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì) -11-2.1.1 運算性質(zhì)及應(yīng)用 -11-2.1.2 保號性及應(yīng)用 -13-2.1.3無介值性 -13-2.1.4函數(shù)的界 -13-2.1.5內(nèi)閉區(qū)間上有界 -15-2.1.6保半持續(xù)性 -16-2.2拓撲空間上半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì) -20-2.2.1運算性質(zhì)及其應(yīng)用 -21-2.2.2確界性質(zhì)及其應(yīng)用 -24-2.2.3緊致空間上的半持續(xù)函數(shù) -25-2.2.4長度的半持續(xù)性 -26-第3章 半持續(xù)函數(shù)的異同 -27-3.1半持續(xù)函數(shù)與持續(xù)函數(shù)的比較 -27-3.2半持續(xù)函數(shù)與持續(xù)函數(shù)區(qū)別 -29-第4章運用持續(xù)函數(shù)解決半持續(xù)函數(shù)問題 -32-結(jié)論 -33-參考文獻 -34-致謝 -36-緒論函數(shù)的種類極為繁多.在函數(shù)論中,持續(xù)函數(shù)和它的的性質(zhì)占有相稱重要的地位.有一類函數(shù)即使不持續(xù),但卻含有某些與持續(xù)函數(shù)類似的性質(zhì).這就是所謂半持續(xù)函數(shù).半持續(xù)函數(shù)理論在古典分析和當(dāng)代分析中都有著較為廣泛的應(yīng)用.上(下)半持續(xù)概念自提出以來已得到廣泛應(yīng)用,例如最優(yōu)化問題、變分不等式問題、相補問題及對策論問題等等.并且通過對半持續(xù)函數(shù)性質(zhì)的研究,能夠證得閉區(qū)間上半持續(xù)界的存在性.半持續(xù)函數(shù)存在廣泛的應(yīng)用價值,可將自變量的取值空間從一維延拓到普通的拓撲空間.并對性質(zhì)進行進一步的研討.諸多學(xué)者都在研究這類課題.在國內(nèi),張風(fēng)、魏建剛于1999年6月《下半持續(xù)函數(shù)的逼近性質(zhì)》中討論了下半持續(xù)的廣義實值函數(shù),通過Lipschitz函數(shù)逼近的基本性質(zhì),并由此導(dǎo)出了實值函數(shù)的廣義持續(xù)性定理.劉麗波,許潔,崔曉梅,蔣慧杰在2月發(fā)表的《下半持續(xù)函數(shù)的充要條件》中重要針對下半持續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上充要性進行論證,并且構(gòu)造出半持續(xù)的階梯函數(shù).在國外,MagassyOUSMANE,WUCong-xin于2月在《含糊實函數(shù)》中討論了含糊半持續(xù)函數(shù)、半持續(xù)函數(shù)的逼近性.函數(shù)的半持續(xù)性在廣義函數(shù)論、積分論以及凸分析等諸多學(xué)科中都有廣泛應(yīng)用.有關(guān)半持續(xù)函數(shù)的定義,在不同的集合上有不同的表述:如文獻[1]在距離空間中定義了半持續(xù)函數(shù),文獻[2]在Banach空間中定義了半持續(xù)函數(shù),文獻[3]給出了拓撲空間中半持續(xù)的定義,其它方式的定義可參見文獻[4-14],但其本質(zhì)都是相似的.本文的第一部分簡樸敘述持續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第二部分再具體講述半持續(xù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上,證明閉區(qū)間上的上半持續(xù)函數(shù)是有上界、下半持續(xù)函數(shù)是有下界的.給出鑒定函數(shù)在閉區(qū)間上是上半持續(xù)的充要條件,至于下半持續(xù)函數(shù)的情形也同樣可仿照進行.在拓撲空間上半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)中介紹運算性質(zhì)及確界性質(zhì).給出這兩種性質(zhì)的應(yīng)用.并且對緊致空間中對應(yīng)的理論進行介紹.之后的第三章重要辨析持續(xù)函數(shù)與半持續(xù)函數(shù)性質(zhì)、應(yīng)用上的異同.運用對比分析的辦法來解決半持續(xù)問題中的難點.最后把理論與實際相結(jié)合,把半持續(xù)函數(shù)理論問題結(jié)合到人類日常生活實踐中去,更加好的運用課本上的知識解決了日常中實際問題.第1章持續(xù)函數(shù)函數(shù)的種類繁多,而持續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中重點討論的一類函數(shù).在人類生活的自然界中存在許多現(xiàn)象,它們和持續(xù)函數(shù)有很大的關(guān)聯(lián).例如溫度的變化,農(nóng)作物的生長等都是持續(xù)地變化的,這類現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映,就是函數(shù)的持續(xù)性．定義1.1[15](函數(shù)的持續(xù)性)1．(定義),,使得,當(dāng)時,恒有則稱函數(shù)在點處持續(xù)．2．若,則稱在點持續(xù)．例1.1易知函數(shù)在點處是持續(xù)的,由于持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)持續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及應(yīng)用如果函數(shù)在點持續(xù),那么在點處有極限,并且其極限值與函數(shù)值相等,根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)能推斷出函數(shù)在的性態(tài)．定理1.1(局部有界性)如果函數(shù)在點處持續(xù),那么函數(shù)在某內(nèi)有界．證設(shè)=,取,則,使得對一切有這就證明了函數(shù)在內(nèi)有界．定理1.2(局部保號性)函數(shù)在持續(xù),且有(或),則對任何正數(shù)(或),存在某,使得對一切有(或)在具體應(yīng)用局部保號性的時候,可取,則當(dāng)時,在某,有成立．定理1.3(四則運算性)若函數(shù)和在點持續(xù),則,,(這里)也都在點持續(xù)．以上兩個性質(zhì)的證明,都能夠由函數(shù)極限有關(guān)定理推得.定理1.4(復(fù)合函數(shù)的持續(xù)性)持續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是持續(xù)的.即函數(shù)在點處持續(xù),在點處持續(xù),則復(fù)合函數(shù)在點處是持續(xù)的.證由于在持續(xù)知,,,當(dāng)時有(1-1)又由于,以及在點持續(xù),因此對,,使得當(dāng),有,由(1-1)得:,,當(dāng)時有因而,得出在點持續(xù)．例1.2求．解能夠看作是函數(shù)與的復(fù)合．得1.1.2閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)定理1.5(函數(shù)在閉區(qū)間上最大、最小值)如果函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù),那么存在在上有最大值與最小值．證由于函數(shù)在上有界,由確界原理能夠得到,的值域有上確界,記作．下證使,倘若對于一切有成立,令,.又懂得函數(shù)在上持續(xù),因而在上有上界.假設(shè):是的一種上界,則存在,推出,,這與為的上確界(最小上界)相矛盾,因此使得.即在上有最大值．同理能夠得到在上有最小值．推論1.2(有界性定理)若函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù),則有在上有最大值與最小值．定理1.6(介值性定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù).并且尚有,假設(shè)為介于與之間的任何實數(shù)(或)，那么最少存在點使得.例題1.3證明:如果有,為正整數(shù),那么存在唯一正數(shù),使得(稱為的次正根)即算數(shù)根,記作．證存在性,當(dāng)時有,因而存在正數(shù)使得,由于在上持續(xù),并且有,故由介值性定理最少存在一點,使得.唯一性設(shè)正數(shù),使有因，故，即.1.1.3一致持續(xù)性及其應(yīng)用定義1.4若函數(shù)定義在區(qū)間上,對,,使得,,只要,有則稱函數(shù)在區(qū)間上一致持續(xù)．定理1.7(一致持續(xù)性定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù),那么有函數(shù)在上一致持續(xù)．例1.4假設(shè)區(qū)間的右端點為,,區(qū)間的左端點也為,(可分別為有限或無限區(qū)間)按一致持續(xù)性的定義.證明:如果函數(shù)分別在和上一致持續(xù),那么函數(shù)在上也一致持續(xù)．證,由于函數(shù)在和上的一致持續(xù)性,,使得,,只要,就有,,只要,就有點作的右端點,函數(shù)在點為左持續(xù),作的左端點,函數(shù)在點為右持續(xù),因此函數(shù)在點持續(xù),因而對,當(dāng)時有令,,,,對1．,同時屬于或同時屬于,則成立2．,分別屬于與,設(shè),則因而由得,同理得到從而成立,得出函數(shù)在上一致持續(xù).例題1.5證明:在區(qū)間上有窮個一致持續(xù)函數(shù)的和與它們的乘積在此區(qū)間內(nèi)仍是一致持續(xù)的．證由有窮個函數(shù)相加成或相乘可逐次分解成兩個函數(shù)相加或相乘,因而,假設(shè)與都在區(qū)間上一致持續(xù),,由在上一致持續(xù),使中與,當(dāng)時,有又由于在上一致持續(xù),,使得中,與當(dāng)時,有令當(dāng)（與為中任何兩點)時,有因而得到在上是一致持續(xù)的．性質(zhì)1.5如果函數(shù)在有限區(qū)間上是一致持續(xù)的,那么函數(shù)在上必有界．證,,使得中,,當(dāng)時,有當(dāng),時,有；當(dāng),時,有,因此,根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,得知與存在．例題1.6在閉區(qū)間上定義函數(shù):因而在閉區(qū)間上持續(xù),從而有界,因此在區(qū)間上有界．性質(zhì)1.6如果函數(shù)與在區(qū)間上一致持續(xù)，那么在上也是一致持續(xù)的.證,,使得,,根據(jù)與在區(qū)間上的一致持續(xù)性,取,對區(qū)間中的與,當(dāng)時,有,得因而得到在區(qū)間上是一致持續(xù)的．第2章半持續(xù)函數(shù)半持續(xù)函數(shù)是持續(xù)函數(shù)的拓展,它弱于持續(xù)函數(shù),實際應(yīng)用較為廣泛,本章研究半持續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì).在此基礎(chǔ)上,對持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)進行比較分析.首先用“”語言來敘述半持續(xù)函數(shù)的定義．定義2.1,,當(dāng)時,有,則稱函數(shù)在點處上半持續(xù)．,,當(dāng)時,有,則稱函數(shù)在點處下半持續(xù)．由定義懂得,函數(shù)在點處持續(xù)的充要條件,是函數(shù)在點處同時上、下半持續(xù)．例2.1假設(shè)函數(shù)是從到的,,而對于,對于全部的偶整數(shù),在點是下半持續(xù)的,對于全部的奇整數(shù),在點既不是下半持續(xù)的也不是上半持續(xù)的．上下半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)運算性質(zhì)及應(yīng)用性質(zhì)2.1如果在閉區(qū)間上,函數(shù),上（下)半持續(xù),那么它們的和也在閉區(qū)間上上（下)半持續(xù)．性質(zhì)2.2如果在閉區(qū)間上,函數(shù)和上半持續(xù)(或和,且下半持續(xù)),它們的積在閉區(qū)間上為上半持續(xù)的,如果上（下）半持續(xù),為下（上半持續(xù)）,那么下（上)半持續(xù)．性質(zhì)2.3如果在閉區(qū)間上,函數(shù)上（下）半持續(xù),那么在閉區(qū)間上下（上)半持續(xù)．性質(zhì)2.4如果函數(shù)在處上半持續(xù),并且有,,使得時有．如果函數(shù)在點處下半持續(xù),并且尚有,那么,使得時,．性質(zhì)2.5如果函數(shù)在閉區(qū)間上,上(下)半持續(xù),那么有1．函數(shù)在閉區(qū)間上有上(下)界,即使得時,有．2．函數(shù)在閉區(qū)間上能達成其上(下)確界．即,使得證1．應(yīng)用用半持續(xù)的定義證明性質(zhì)2.1,由于函數(shù),都是上半持續(xù)的,,,當(dāng),時有,因此,因而得出在閉區(qū)間上上半持續(xù)．2．應(yīng)用上半持續(xù)的等價描述性質(zhì)2.1,由于函數(shù),在閉區(qū)間上上半持續(xù),故時,又由于因此得出函數(shù)在閉區(qū)間上上半持續(xù)．保號性及應(yīng)用定理2.2(上半持續(xù)函數(shù)的局部保負性)即是如果函數(shù)在點處上半持續(xù),,那么,使得時有.同理可得下半持續(xù)含有局部保正性．2.1.3無介值性半持續(xù)函數(shù),介值性定理不成立．例2.2設(shè)在閉區(qū)間上,函數(shù)是上半持續(xù)的,但是沒有使得．2.1.4函數(shù)的界定理2.3有界閉區(qū)間上的上半持續(xù)函數(shù)必有上界,并且能達成上確界.也就是說:如果函數(shù)在閉區(qū)間上上半持續(xù),那么1．函數(shù)在閉區(qū)間有上界,即,對存在,．2.函數(shù)能夠在閉區(qū)間上達成上確界,即,使得存在．證1.應(yīng)用反證法,假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上無界,,使由致密性原理,在中存在收斂的子序列,使得(當(dāng))．又由于為閉區(qū)間,因而有,但是,當(dāng)時,,因此得到．但是函數(shù)在閉區(qū)間上上半持續(xù),有,推得與題意互相矛盾．由于函數(shù)有上界,,如果函數(shù)在閉區(qū)間上達不到上確界,那么,,,因此得到在閉區(qū)間上上半持續(xù),從而有上界,,使得有因而得出,這與互相矛盾．2．假設(shè)．由得到,,使得為函數(shù)在點處的子極限,由于函數(shù)上半持續(xù),得．推出．運用有限覆蓋定理能夠證明結(jié)論．,,使得()．從閉區(qū)間的開覆蓋中能夠造出有限個子覆蓋于是得到為函數(shù)在閉區(qū)間上的界．2.1.5內(nèi)閉區(qū)間上有界性質(zhì)2.3如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)上(或下)半持續(xù),那么必然存在內(nèi)閉區(qū)間．使得函數(shù)在區(qū)間上保持有界．證設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)下半持續(xù),設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上無界,得到1．有,由于函數(shù)下半持續(xù),使得并且有．2．由于函數(shù)在任何閉區(qū)間上無上界,因此對,使得,又由于函數(shù)的下半持續(xù)性,,使得時,有．3．以這類推得到區(qū)間長度為(當(dāng)時)并且在每個區(qū)間上,恒有．4．根據(jù)區(qū)間套定理得知,,因而,因此與題意互相矛盾.推理可知,持續(xù)函數(shù)單調(diào)序列的極限不一定是持續(xù)的．例2.4在區(qū)間上持續(xù),當(dāng)增加時單調(diào)遞減有極限但函數(shù)在區(qū)間上不持續(xù)．2.1.6保半持續(xù)性性質(zhì)2.4假設(shè)函數(shù)在上是有定義的,并且是上半持續(xù)函數(shù),那么就有,,有,則在上上半持續(xù)．(表達從下方趨近,表達從上方趨近).證1．,應(yīng)為有,因此,,當(dāng)時,有2．設(shè)是固定的,由于函數(shù)在上上半持續(xù),,當(dāng)時有時有3．,,因而有得出函數(shù)在上上半持續(xù)．注記2.5如果函數(shù)序列在區(qū)間上有定義,那么每個都持續(xù),則在閉區(qū)間上有1．當(dāng)時,函數(shù)上半持續(xù)；2．當(dāng)時,函數(shù)下半持續(xù)．定理2.6如果函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,那么上半持續(xù),則存在一種遞減的持續(xù)函數(shù)序列得．注記2.6上半持續(xù)函數(shù),總能夠用持續(xù)函數(shù)從上方逼近．證(構(gòu)造函數(shù))對于固定的點與,函數(shù)是的持續(xù)函數(shù),因此上半持續(xù),已知函數(shù)是上半持續(xù)的,是的上半持續(xù)函數(shù),從而得到在閉區(qū)間上有上界,并且達成上確界．即使得令．（證明函數(shù)持續(xù))由上式得到,得到得到.此時對于,都成立,與交換也同時成立,因而得出表明函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù)．如果要證得函數(shù),假設(shè)則有因而得到．序列有下界的證明,固定的在=中令,得到,故而,有下界．因而得到存在,并且有．如果要證得,由于函數(shù)上半持續(xù),,,當(dāng),時有又由于函數(shù)上半持續(xù),因而在閉區(qū)間上上有界,因此對于固定的,當(dāng)時,有由于如果有,則的鄰域使得在此鄰域之外,但是函數(shù)在閉區(qū)間上有上界,即得,使得,因此有與,(時)互相矛盾．得到,當(dāng)時,有,于是由得到,但是有,令取極限,得,由,懂得,得出．2.2拓撲空間上半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)半持續(xù)函數(shù)的定義,在不同的集合上有不同的表述,但是其中的本質(zhì)是相似的,我們用表達拓撲空間,表達實直線,表達自然數(shù)集,表達點的開鄰域,表達的開鄰域,或表達中的序列,表達空集,表達集合的內(nèi)部．定義2.7設(shè)是一種拓撲空間,函數(shù),．1．如果函數(shù)在點處是上半持續(xù)的,那么,使得,恒有；2．如果函數(shù)在點處是下半持續(xù)的,那么,使得,恒有；3．如果函數(shù)在點處是持續(xù)的,那么,使得,恒有；4．如果函數(shù)是上（下）半持續(xù)的,那么在上每一點是上（下）半持續(xù)．從而函數(shù)在點處持續(xù),當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在點處既是上半持續(xù)的又是下半持續(xù)的．性質(zhì)2.7拓撲空間中的一種集合成為集,則它是這個空間中的可數(shù)個開集的交．推論2.7假設(shè)是一種拓撲空間,函數(shù),則有①函數(shù)是上半持續(xù)的；②,開于（開于）；③,閉于(閉于)．2.2.1運算性質(zhì)及其應(yīng)用運算性質(zhì)的基本性質(zhì)是,實直線上半持續(xù)函數(shù)的形式在圖譜空間中的推廣．定理2.8設(shè)為拓撲空間,,1．如果函數(shù),均是上、下半持續(xù)的,那么它們的和上(下)半持續(xù)；2．如果函數(shù)上(下)半持續(xù),那么有函數(shù),則為下(上)半持續(xù)；3．如果函數(shù)上(下)半持續(xù),那么函數(shù)為下(上)半持續(xù)．證明：對2上半持續(xù)進行證明,下半持續(xù)的狀況同理能夠證明．1與2應(yīng)用實直線上半持續(xù)函數(shù)的證明能夠得到,這里就不予以證明．證,,又由于函數(shù)在點處是上半持續(xù)的,則使得,恒有,(其中)由于有,,有由于,得到在上是下半持續(xù)的．例2.8[16]設(shè)為拓撲空間,,1．如果函數(shù),,均是上(下)半持續(xù),并且有(),則存在在上是上半持續(xù)的；2．如果函數(shù)上半持續(xù),有,但是是下半持續(xù),有,那么存在在上是下半持續(xù)的；3．如果函數(shù)是下半持續(xù)的,,是上半持續(xù)的,,使得在上為上半持續(xù)．證1．由于函數(shù),假設(shè)函數(shù),并且有函數(shù)；,由于函數(shù),在上均是上半持續(xù)的,,使得有,其中因而得到在上均是上半持續(xù)．2．,,,有,則有從而得到在上是下半持續(xù)的．3．,由于有,,則存在,()由于函數(shù)的下半持續(xù)性與函數(shù)的上半持續(xù)性,使得有,2.2.2確界性質(zhì)及其應(yīng)用定理2.9[17]設(shè)是一族從到的實值函數(shù)1．如果每一種在上是上半持續(xù)的,那么在上是上半持續(xù)的；2．如果每一種在上是下半持續(xù)的,那么函數(shù)在上是下半持續(xù)的．證1．由于；則有又由于,恒有,則有因此得到．,有,則有因此有,即是,從而得出因此證得函數(shù)是上半持續(xù)的．由于都是上半持續(xù)的,,有閉于,故而得到閉于,進而得到函數(shù)是上半持續(xù)的．2.2.3緊致空間上的半持續(xù)函數(shù)定理2.10對于全部從一種緊致空間到內(nèi)的下半持續(xù)的映射,最少存在的一種點,使得.事實上,令．對于全部的,使得的的集合是閉集,并且是非空的．另外,的族對于包含關(guān)系是全序的,這是由于是的遞增函數(shù),由于的交集不是空集．在這個交集任意取一種點,對于全部的,有,因而．另外,由于的定義,有,故．推論2.10總有從一種緊致空間到內(nèi)的下半持續(xù)的映射在上是有下界的．事實上,我們有．對于上半持續(xù)的函數(shù)有類似的結(jié)論．如果我們應(yīng)用這些成果到持續(xù)函數(shù),就重新得到原先的斷言：緊致空間上的持續(xù)函數(shù)取到下確界和上確界的結(jié)論．下一節(jié)就研究這些結(jié)論對于變分法的一種重要應(yīng)用．2.2.4長度的半持續(xù)性一條曲線的長度是這條曲線的函數(shù)；當(dāng)曲線在我們就要明確的意義下持續(xù)變動時,人們可能期待它的長度也持續(xù)地變化.其實根本不是這樣.像下面的初等例子所表明的那樣：設(shè)是方程為的平面曲線.立刻得到全部這些曲線有同樣的長度,這是一種數(shù).而當(dāng)時,這些曲線一致收斂到線段.因而這個一致收斂不蘊含長度的收斂．能夠修改這個例子,而用任何不不大于等于的數(shù)替代.但是值得注意的是不能用一種不大于的數(shù)替代.換句話說,收斂到線段的曲線長度的下極限等于.這正是下半持續(xù)性,我們精確的表述這個事實．參數(shù)化曲線空間:設(shè)是的一種緊致區(qū)間,是一種距離空間.根據(jù)前面的定義,全部從到內(nèi)的持續(xù)映射定義一條參數(shù)化曲線,于是能夠考慮從到內(nèi)的持續(xù)映射的集合作為上的的參數(shù)化曲線的集合.取與由定義的一致收斂的與這個距離關(guān)聯(lián)的拓撲作為上的拓撲．對于,用表達由定義的曲線的長度.我們有了一種定義在拓撲空間上的數(shù)值函數(shù)．定理2.11長度是的的下半持續(xù)函數(shù)．證對于的全部有限子集,其中,對于全部．令對于全部,從到內(nèi)的映射是持續(xù)的,于是對于全部,映射是持續(xù)的．推論2.11從到內(nèi)的映射(的全變差)是下半持續(xù)的．對于變分法的應(yīng)用：單變量變分法的問題直譯是在給定的曲線集合里求一條曲線,其長度是最小的．半持續(xù)函數(shù)的異同3.1半持續(xù)函數(shù)與持續(xù)函數(shù)的比較半持續(xù)函數(shù)與持續(xù)函數(shù)聯(lián)系非常的緊密.正如上面所提到的,事實上半持續(xù)函數(shù)就是持續(xù)函數(shù)的拓展所形成的,它們具體有多少聯(lián)系我們舉例來闡明．例3.1如果函數(shù)在閉區(qū)間上(下)半持續(xù),那么函數(shù)在上有上(下)界．證假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上半持續(xù)但沒有上界,由假設(shè)得到,存在一數(shù)列得,由于為有界數(shù)列,必有收斂的子數(shù)列．設(shè)由于有,從而函數(shù)在點上半持續(xù)．由定義,,,當(dāng)()有又由于對于,時有,從而當(dāng)時有()即(),它與題意矛盾,因而上半持續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有上界．同理證得函數(shù)在閉區(qū)間上(下)半持續(xù)有下界.進而得出上(下)半持續(xù)函數(shù)不僅有界,并且還能達成上(下)確界．例3.2如果函數(shù)在閉區(qū)間上上半持續(xù),那么在使得．證假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上取不到上確界,即對,,令,.由于函數(shù)在閉區(qū)間上上半持續(xù),,,使得當(dāng)時,有()，即,得到為下半持續(xù)函數(shù),因而函數(shù)上半持續(xù),因此函數(shù)在閉區(qū)間上有界,設(shè)為函數(shù)的一種上界,有,得到()與互相矛盾,因而結(jié)論成立.同理得到：下半持續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必能取到下確界．3.2半持續(xù)函數(shù)與持續(xù)函數(shù)區(qū)別兩個持續(xù)函數(shù)的和仍然是持續(xù)函數(shù),但是兩個半持續(xù)函數(shù)的和不一定是半持續(xù)函數(shù)．反例3.3假設(shè),得到函數(shù)到處上半持續(xù),而到處下半持續(xù),但是在點處是不持續(xù)的．反例3.4假設(shè),()、、都是到處半持續(xù)的,但是是無處半持續(xù)的．設(shè)為閉區(qū)間上對來說的單調(diào)不增的上半持續(xù)函數(shù)列且有下界,則存在且函數(shù)在閉區(qū)間上上半持續(xù)．證由于是對來說的單調(diào)不增且有下界的函數(shù)列,從而存在．證明函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù).證假設(shè)函數(shù)不是上半持續(xù)的,則及收斂于點的數(shù)列使得當(dāng)充足大時有又由于得到這與上半持續(xù)互相矛盾.因而函數(shù)在閉區(qū)間上上半持續(xù)．同理得到,如果函數(shù)是閉區(qū)間上對來說的單調(diào)非減的下半持續(xù)函數(shù)列并且有上界,那么存在,并且函數(shù)在閉區(qū)間上下半持續(xù)．半持續(xù)的這一種性質(zhì)是持續(xù)函數(shù)所沒有的,就是說單調(diào)有界持續(xù)的函數(shù)列的極限函數(shù)未必是持續(xù)的．假設(shè),由于函數(shù)在區(qū)間上持續(xù),單調(diào)有界,的極限函數(shù)為因此函數(shù)在區(qū)間上不是持續(xù)函數(shù)．假設(shè)函數(shù)在全部有理點為上半持續(xù),在全部的無理點為下半持續(xù),但是函數(shù)到處不持續(xù)(只要把2與-2改寫成一相似數(shù)值,函數(shù)變?yōu)樵谟欣頂?shù)與無理數(shù)上到處持續(xù))．第4章運用持續(xù)函數(shù)解決半持續(xù)函數(shù)問題在我們所學(xué)習(xí)的教材中持續(xù)函數(shù)章節(jié)提到過黎曼函數(shù),那是我們初學(xué)函數(shù)時,證明過程比較簡樸.現(xiàn)在我就用持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)進行拓展,進而去解決半持續(xù)函數(shù)上黎曼函數(shù)的證明．Riemann函數(shù)在無理點處,既是上半持續(xù)又是下半持續(xù),在有理點時上半持續(xù),但不下半持續(xù)(函數(shù)在某點處持續(xù)的充足必要條件是函數(shù)在點處同時上、下半持續(xù))．假設(shè)為無理數(shù),,滿足的正整數(shù),顯然只有有限個(但最少有一種,例),從而使的有理數(shù)只有有限個(最少有一種,例),設(shè)為取則對,當(dāng)為有理數(shù)時,有；當(dāng)為無理數(shù)時．于是有證明了在無理點處持續(xù),即在此點處既是上半持續(xù)又是下半持續(xù)．同理設(shè)為內(nèi)任意有理數(shù),取,,在內(nèi),,使得因此在有理點處上半持續(xù),而非下半持續(xù)的．我們能夠自己構(gòu)造下半持續(xù)函數(shù)．半持續(xù)函數(shù)最少像持續(xù)函數(shù)同樣靠近于我們的感覺經(jīng)驗．下面例舉一種實例,已便于我們理解．當(dāng)我們注視不透明的物體時,在全部從我們的眼睛出發(fā)的任意半直線上,僅能看到此物體的單獨一種點,這個點到我們眼睛的距離是這條半直線的方向函數(shù).這個函數(shù)不是持續(xù)的,而是下半持續(xù)的,只要我們認(rèn)為所觀察的物體是一種閉集．事實上,給定一種拓撲空間,設(shè)是乘積空間的一種閉子集.對于全部,設(shè)是橫坐標(biāo)為的的點的縱坐標(biāo)的下確界,這個例子能夠試用到上全部下半持續(xù)的函數(shù)的證明.結(jié)論半持續(xù)函數(shù)是持續(xù)函數(shù)的拓展,它弱于持續(xù)函數(shù).對半持續(xù)函數(shù)的問題的解決,通過研究持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的辦法，去剖析半持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用問題.本文是從上持續(xù)函數(shù)的定義著手,進而討論在不同空間中的半持續(xù)函數(shù),文獻[4-14]對拓撲空間上半持續(xù)函數(shù)運算性、確界性的性質(zhì)定理進行敘述.文章首先是簡樸介紹持續(xù)函數(shù)理論,在實數(shù)集中是分層敘述半持續(xù)函數(shù)的運算性、保號性、無介值性、界的存在性理論問題，但是本文在研究實數(shù)集理論,又通過對文獻[4-14]的研究在拓撲空間上半持續(xù)函數(shù),運算性、確界性的應(yīng)用得以證明,而對緊致空間上半持續(xù)函數(shù)介紹,將其應(yīng)用到長度的半持續(xù)性,達成本文的升華.在第三章中就是對持續(xù)函數(shù)與半持續(xù)函數(shù)的總結(jié),運用舉例證明,進行對比分析,明晰持續(xù)函數(shù)與半持續(xù)函數(shù)的差別,解決問題.最后運用我們熟知黎曼函數(shù)在無理點時既是上半持續(xù)又是下半持續(xù),但是在有理點處運用持續(xù)性質(zhì)理論,以及半持續(xù)性質(zhì)定理,得出了黎曼函數(shù)在有理點處上半持續(xù),而非下半持續(xù)的結(jié)論.半持續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理是固定的.但是半持續(xù)函數(shù)在我們生活與實踐中的應(yīng)用卻是隨處可見.就如文中所提的實例中的狀況而言,對于半持續(xù)問題是我們知識積累過少,在實際的生活上應(yīng)用不能得心應(yīng)手.因此在后來進一步的研究中,應(yīng)當(dāng)熟知理論與實際的結(jié)合,最大程度的發(fā)揮理論與實踐集合理論,把數(shù)學(xué)知識運用到生活中去.對于半持續(xù)函數(shù)在生活中的理論研究會進一步在社會時間中得到