專題2.17 換元法解一元二次方程（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（浙教版）

專題2.17換元法解一元二次方程（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．用換元法解方程+=2時，若設(shè)=y，則原方程可化為關(guān)于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=02．已知實(shí)數(shù)x，y滿足且，則的值為（

）A． B． C． D．23．已知實(shí)數(shù)x滿足，則的值為（

）A．6 B． C．或6 D．1或4．方程的解是，現(xiàn)給出另一個方程，它的解是（

）A． B． C． D．5．若關(guān)于x的一元二次方程有一根為2020，則方程必有根為（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．20156．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，則方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.57．關(guān)于x的方程的解是（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A． B．C． D．8．若，則的值為（

）．A． B． C． D．或9．若x為實(shí)數(shù)，且x2＋＋3(x＋)＝2，則x＋的值為(

)A．－4 B．4 C．－4或1 D．4或－110．如圖，正方形內(nèi)接于．已知和的面積分別是，和，，那么正方形的邊長是（

）A．1 B． C． D．2二、填空題11．已知，且．則的值是_________．12．已知，則的值是___________．13．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則____________．14．若，則__________．15．方程的解是_____．16．解方程：，利用整體思想和換元法可設(shè)，則原方程可化為：___________；再求出原方程的解為___________；17．設(shè)a,b是一個直角三角形兩直角邊的長,且(a2+b2-3)(a2+b2+1)=0,則這個直角三角形的斜邊長為____.18．已知和2是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則關(guān)于x的方程的根為_______．三、解答題19．解方程：x2+2x﹣=1．20．解方程：21．閱讀例題，解答問題：例：解方程．解：原方程化為．令，原方程化成解得，（不合題意，舍去）．．．∴原方程的解是，請模仿上面的方法解方程：．22．已知實(shí)數(shù)x滿足，求的值．23．＋－2－1＝024．【閱讀】小明同學(xué)遇到這樣一個問題：已知關(guān)于x的方程（a、b、m為常數(shù)，）的解是，，求方程的解．他用“換元法”解決了這個問題．我們一起來看看小明同學(xué)的具體做法．解：在方程中令，則方程可變形為，根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，可得方程的解是，．把代入得，，把代入得，，所以方程的解是，．【理解】已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根m，n．關(guān)于x的方程的兩根分別是______（用含有m、n的代數(shù)式表示）；方程______的兩個根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個即可）【猜想與證明】雙察下表中每個方程的解的特點(diǎn)：方程方程的解方程方程的解，，，，，，……猜想：方程的兩個根與方程______的兩個根互為倒數(shù)；仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想． 參考答案1．A【分析】方程的兩個分式具備倒數(shù)關(guān)系，設(shè)=y，則原方程化為y+=2，再轉(zhuǎn)化為整式方程y2-2y+1=0即可求解．解：把=y代入原方程得：y+=2，轉(zhuǎn)化為整式方程為y2﹣2y+1=0．故選：A．【點(diǎn)撥】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．2．A【分析】由可得，進(jìn)而可得，解得或，然后再對進(jìn)行變形即可解答．解：∵，得，即．∴或．即或．∴，所以，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式的化簡求值、立方根、解一元二次方程等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用相關(guān)定義和運(yùn)算法則以及整體法來求解．3．A【分析】設(shè)x2+x＝t，則原方程化為t2﹣5t﹣6＝0，利用因式分解法解得t1＝6，t2＝﹣1，所以x2+x＝6或x2+x＝﹣1，然后利用x2+x≥－確定x2+x的值即可．解：設(shè)x2+x＝t，原方程化為t2﹣5t﹣6＝0，∴(t﹣6)(t+1)＝0，解得t1＝6，t2＝﹣1，即x2+x＝6或x2+x＝﹣1，∵x2+x＝x2+x+－＝(x+)2－≥－，∴x2+x＝﹣1不符合題意，舍去，∴x2+x＝6，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解一元二次方程：我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的，也考查了配方法的應(yīng)用．4．B【分析】結(jié)合已知方程的解，利用換元法解一元二次方程即可得．解：，令，則方程可轉(zhuǎn)化為，由題意得：，即，解得，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．5．C【分析】設(shè)，即可改寫為，由題意關(guān)于x的一元二次方程有一根為，即有一個根為，所以，x=2019．解：由得到，對于一元二次方程，設(shè)，所以，而關(guān)于x的一元二次方程有一根為，所以有一個根為，則，解得，所以一元二次方程有一根為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的解．掌握換元法解題是解答本題的關(guān)鍵．6．A【分析】利用換元法解方程即可．解：∵x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0，∴2x+3=1或2x+3=-4，∴x1=-1，x2=-3.5，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了用換元法解一元二次方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．7．C【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程的解是（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），可知或，進(jìn)一步求解即可．解：∵關(guān)于x的方程的解是（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），在方程中，或，解得，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了用換元法解一元二次方程，找出兩方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】將，則，，這樣將高次冪全部降次降到1次冪截止，然后再求值即可.解：∵，∴∴∴原式=故答案為：C【點(diǎn)撥】本題借助一元二次方程考查了降次思想及整體思想，本題的關(guān)鍵是將高次冪通過降次全部降到一次冪截止，然后再合并同類項(xiàng)即可求解.9．A解：由題意得x2＋＋3(x＋)-2=0,所以(x＋)2+3(x＋)-4=0，(x＋)[(x＋)-1]=0，所以x＋x＋（舍）故選A.10．D【分析】先設(shè)正方形的邊長為，求得的高，然后分別求出，利用三角形的面積即可求得正方形的邊長．解：設(shè)正方形的邊長為，則的面積為：，的高為正方形的邊長加上的高，即，底為：，由和得，，，則底為：，所以，解得（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解.故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．4或-1【分析】將已知等式兩邊同除以進(jìn)行變形，再利用換元法和因式分解法解一元二次方程即可得．解：將兩邊同除以得：令則因式分解得：解得或即的值是4或故答案為：4或．【點(diǎn)撥】本題考查了利用換元法和因式分解法解一元二次方程，將已知等式進(jìn)行正確變形是解題關(guān)鍵．12．7【分析】換元法，令，將原方程化為t（t－1）＝42（t），求解一次方程即可．解：令（t），∴原方程化為t（t－1）＝42，解得t＝7，或t＝－6（舍），∴，故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題考查用換元法求解方程．解題關(guān)鍵是要注意換元之后一定要考慮新未知數(shù)的取值范圍，換元法的實(shí)際應(yīng)用，是解題關(guān)鍵．13．【分析】設(shè)，將原式整理為含的方程即可得出答案解：設(shè)，則原方程為：，則：，解得：，當(dāng)時，無實(shí)數(shù)解，故舍去，經(jīng)檢驗(yàn)是的解，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解方程，解一元二次方程，熟練掌握解方程的一般步驟是解本題的關(guān)鍵．14．4【分析】先設(shè)，原方程可化為，解此一元二次方程，再驗(yàn)根即可．解：設(shè)，原方程可化為，化為一般式得：，解得：t=4或t=-2，∵，∴t=4，∴4，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用換元法解方程．15．【分析】設(shè)（t≥0），然后變形可得，然后代入到原方程中可得到關(guān)于t的一元二次方程，求出t的值，再代回即可求出x的值．解：設(shè)（t≥0）變形，得①∴原方程變形為，即整理，得解得：（不符合t的取值，故舍去）將t=1代入①中，得解得：故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查的是解一元二次方程，掌握換元法是解決此題的關(guān)鍵．16．

，，，【分析】設(shè)，則原方程可化為，求出的值，再求出的值即可．解：，設(shè)，則原方程可化為，，解得：或1，當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，解得：，即原方程的解為：，，，，故答案為：；，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了用換元法解方程和解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關(guān)鍵．17．【分析】設(shè)a2+b2=x，原方程化為（x-3）（x+1）=0，解方程求得x的值，再由勾股定理即可解答..解：設(shè)a2+b2=x，原方程化為（x-3）（x+1）=0，解得（不合題意，舍去），所以a2+b2=3，由勾股定理可得這個直角三角形的斜邊長為.故答案為.【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解一元二次方程及勾股定理，把a(bǔ)2+b2當(dāng)成一個整體，把原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．18．，，【分析】設(shè)，將方程化為，利用和2是方程的兩根，得到，，分別計(jì)算即可得到方程的根．解：設(shè)，則方程化為，由題意可知：，，，，，方程的根為，，故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解一元二次方程，熟練運(yùn)用整體換元法是解題關(guān)鍵．19．x1=﹣3，x2=1．【分析】設(shè)x2+2x=y，則原方程化為y﹣=1，求出y的值，再代入求出x即可．解：設(shè)x2+2x=y，則原方程化為：y﹣=1，解得：y1=3，y2=﹣2，當(dāng)y=3時，x2+2x=3，解得：x1=﹣3，x2=1；當(dāng)y=﹣2時，x2+2x=﹣2，此時△=-4＜0，方程無解所以原方程的解為：x1=﹣3，x2=1．【點(diǎn)撥】此題考查了解分式方程的應(yīng)用，正確使用能正確換元是解此題的關(guān)鍵．20．．【分析】令，先解方程求出的值，從而可得的值，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解一元二次方程即可得．解：可化為，令，則，且，，，，（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，則，即，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解，故原方程的解為．【點(diǎn)撥】本題考查了解無理方程、解分式方程、解一元二次方程，熟練掌握各方程的解法是解題關(guān)鍵．21．，【分析】根據(jù)題意利用換元法解一元二次方程，然后解絕對值方程即可．解：原方程化為．令，原方程化成．解得，（不合題意，舍去）．，．∴原方程的解是，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了用換元法和因式分解法解一元二次方程，解絕對值方程，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確根據(jù)題意使用換元法解方程．22．或．【分析】根據(jù)完全平方公式利用對方程進(jìn)行變形，得到，把看成整體，再解方程即可．解：，原方程可變形為．設(shè)，則原方程可變形為，解得．或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了用換元法解一元二次方程，利用完全平方公式對方程進(jìn)行變形，把x+當(dāng)成一個整體是解題關(guān)鍵．23．＝，＝．【分析】利用公式變形，＋=，變形后，采用換元法求解即可．解：∵＋－2－1＝0，∴－2－1＝0，∴設(shè)x＋＝y(tǒng)，則原方程變形為－2y－3＝0.∴＝3，＝－1.當(dāng)y＝3時，x＋＝3，整理，得－3x+1=0，解得＝，＝．當(dāng)y＝－1時，x＋＝－1，整理，得+x+1=0，△=，∴方程無實(shí)數(shù)解．經(jīng)檢驗(yàn)，＝，＝都是原方程的根，∴原方程的根為＝，＝．【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解分式方程，完全平方公式的變式，熟練進(jìn)行公式變形，靈活選擇換元法求解是解題的關(guān)鍵．24．(1)m2，n2 (2)ax2+2bx+4c=0 (3)cx2+bx+a=0 (4)見分析【分析】[理解]（1）令，根據(jù)題意可得或，即可求解方程；（2）由題意可知，，由于方程的兩個根分別是，，則，，即可寫出符合條件的方程；[猜想與證明]（1）由表格可得：的兩個根與方程，，的兩個根互為倒數(shù)；（2）先將變形為，設(shè)，方程可變形為，設(shè)方程的解是，，則可得方程的解為，，把代入得，；把代入得，，即可證明．（