2020年高中數(shù)學選修2-3《2.4正態(tài)分布》測試卷及答案解析

第第頁2020年高中數(shù)學選修2-3《2.4正態(tài)分布》測試卷一．選擇題（共9小題）1．已知隨機變量ξ的概率密度函數(shù)為，則＝（）A． B． C． D．【分析】由隨機變量ξ的概率密度函數(shù)的意義知：概率密度函數(shù)圖象與x軸所圍曲邊梯形的面積即為隨機變量在某區(qū)間取值的概率，由此將問題轉(zhuǎn)化為計算定積分問題，利用微積分基本定理計算定積分即可【解答】解：由隨機變量ξ的概率密度函數(shù)的意義知：＝（2x）dx＝（x2）＝﹣＝故選：D．【點評】本題考查了連續(xù)性隨機變量概率密度函數(shù)的意義，連續(xù)性隨機變量在某區(qū)間取值的概率的計算方法，定積分的意義及計算方法2．已知隨機變量x﹣y+1＝0服從正態(tài)分布N（3，σ2），P（ξ≤4）＝0.68，則P（ξ≥2）＝（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【分析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對稱性的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)隨機變量x﹣y+1＝0服從正態(tài)分布N（3，σ2），所以密度曲線關(guān)于直線x＝3對稱，由于P（ξ≤4）＝0.68，所以P（ξ≥4）＝1﹣0.68＝0.32，所以P（ξ≤2）＝0.32，則P（2≤ξ≤4）＝1﹣0.32﹣0.32＝0.36，所以P（ξ≥2）＝0.36+0.32＝0.68．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．3．在2020年高中學生信息技術(shù)測試中，經(jīng)統(tǒng)計，某校高二學生的測試成績X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，則從該校高二年級任選一名考生，他的測試成績大于92分的概率為（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14【分析】已知P（80＜X≤86）＝0.36，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，P（X＞92）＝，計算即可．【解答】解：依題意，P（80＜X≤86）＝0.36，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知P（X＞92）＝＝（1﹣2×0.36）＝0.14．故選：D．【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，主要考查了正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．4．在某項測量中，測量結(jié)果ξ從正態(tài)分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）內(nèi)取值的概為0.8，則ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率為（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8【分析】由已知求得正態(tài)分布曲線的對稱軸，再由P（0＜ξ＜2）＝0.8，結(jié)合對稱性求得P（0＜ξ＜1）．【解答】解：∵ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2）（σ＞0），∴μ＝1，又∵P（0＜ξ＜2）＝0.8，∴P（0＜ξ＜1）＝P（0＜ξ＜2）＝0.4，故選：C．【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．5．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分N（2，σ2），若P（﹣1＜ξ＜4）＝0.85，則P（0＜ξ＜5）等于（）A．0.15． B．0.30 C．0.70 D．0.85【分析】由隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），得正態(tài)曲線的對稱軸μ＝2，再由正態(tài)分布曲線的對稱性結(jié)合已知得答案．【解答】解：∵隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），∴μ＝2，∵P（﹣1＜ξ＜0）＝P（4＜ξ＜5），∴P（0＜ξ＜5）＝P（﹣1＜ξ＜4）＝0.85，故選：D．【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．6．設(shè)隨機變量X～N（μ，7），若P（X＜2）＝P（X＞4），則（）A．μ＝3，DX＝7 B． C． D．μ＝6，DX＝7【分析】利用正態(tài)分布列的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵隨機變量X～N（μ，7），若P（X＜2）＝P（X＞4），則μ＝3，DX＝7，故選：A．【點評】本題考查了正態(tài)分布列的性質(zhì)，是基本知識的考查．7．隨機變量X服從正態(tài)分布X﹣N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，則的最小值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，2×P（X＞12）+P（8≤X≤10）＝2m+n＝1，結(jié)合基本不等式即可得到的最小值，【解答】解：依題意，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，2×P（X＞12）+2×P（8≤X≤10）＝2m+2n＝1，且m＞0，n＞0，所以＝（）（2m+2n）＝2（3++）≥6+4＝6+4，當且僅當＝，即n＝m時，等號成立．故選：D．【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，每天的正點率X服從正態(tài)分布N（0.98，σ2），且P（X＜0.97）＝0.005，則P（0.97＜x＜0.99）＝（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99【分析】根據(jù)X服從正態(tài)分布N（0.98，σ2），可得P（0.97＜x＜0.99）＝1﹣2P（X＜0.97），即可得出．【解答】解：∵X服從正態(tài)分布N（0.98，σ2），且P（X＜0.97）＝0.005，∴P（0.97＜x＜0.99）＝1﹣2P（X＜0.97）＝1﹣2×0.005＝0.99，故選：D．【點評】本題考查了正態(tài)分布列的對稱性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．若X﹣N（μ，σ2），則P（μ﹣σ）＜X＜（μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ）＜X＜（μ+2σ）＝0.9545．設(shè)一批白熾燈的壽命（單位；小時）服從均值為1000，方差為400的正態(tài)分布，隨機從這批白熾燈中選取一只，則（）A．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.8186 B．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.8186 C．這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.9545 D．這只白熾燈的壽命在600小時到1800小時之間的概率為0.9545【分析】由已知求得σ，可得P（980＜X＜1040）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ），則答案可求．【解答】解：∵σ2＝400，∴σ＝20，又μ＝1000，∴P（980＜X＜1040）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）＝＝0.8186．∴這只白熾燈的壽命在980小時到1040小時之間的概率為0.8186．故選：A．【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共2小題）10．設(shè)隨機變量ξ～N（1，1），P（ξ＞2）＝p，則P（0＜ξ＜1）的值是【分析】隨機變量ξ～N（1，1），為正態(tài)分布，期望為1，由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于x＝1對稱，故P（0＜ξ＜1）＝（1﹣P（ξ＞2））【解答】解：ξ～N（1，1），Eξ＝1，由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于x＝1對稱，故P（0＜ξ＜1）＝（1﹣P（ξ＞2））＝﹣P故答案為：﹣P【點評】本題考查正態(tài)分布的概率問題，屬基本題型的考查．解決正態(tài)分布的關(guān)鍵是抓好正態(tài)分布的圖形特征．11．已知隨機變量X～N（2，σ2）（σ＞0），若X在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.3，則X在（4，+∞）內(nèi)的概率為0.2．【分析】由隨機變量X～N（2，σ2）知，X的均值為2，其圖象關(guān)于x＝2對稱，因為X在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.3，所以X在（2，4）內(nèi)取值的概率為0.3，而且X在（﹣∞，0）和（4，+∞）內(nèi)的概率相等，故可求X在（4，+∞）內(nèi)的概率【解答】解：由隨機變量X～N（2，σ2）知，X的均值為2，其圖象關(guān)于x＝2對稱，故X在（4，+∞）內(nèi)的概率為P＝（1﹣0.3×2）＝0.2故答案為：0.2【點評】本題考查正態(tài)分布、由正態(tài)密度曲線的對稱性求概率，屬基本知識的考查．三．解答題（共1小題）12．設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f（x）＝．（1）求常數(shù)a，使P（X＞a）＝P（X＜a）；（2）求常數(shù)b，使P（X＞b）＝0.05．【分析】利用連續(xù)型隨機變量X的密度