考點(diǎn)09 平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)初步（精講）（原卷版）

考點(diǎn)09.平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)初步（精講）【命題趨勢】平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)與形的橋梁、函數(shù)入門工具重要性不言而喻，平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)初步幾乎年年都會考查，分值為10分左右，主要考查坐標(biāo)的相關(guān)概念與坐標(biāo)變換、函數(shù)的相關(guān)概念和實(shí)際應(yīng)用等。函數(shù)對比數(shù)與式、方程、幾何等知識模塊來說相對較抽象，從形到數(shù)，從數(shù)到形，數(shù)形結(jié)合是該知識模塊學(xué)習(xí)的重要方法，同時需儲備一定的直觀想象和操作能力，才是學(xué)好的關(guān)鍵。預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn)，難度不高，在選擇、填空題中出現(xiàn)的可能性較大．【知識清單】1：平面直角坐標(biāo)系（☆☆）1）有序數(shù)對：有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a，b）．2）平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系定義在平面內(nèi)畫兩條互相垂直并且原點(diǎn)重合的數(shù)軸，這樣就建立了平面直角坐標(biāo)系。兩軸水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向?yàn)檎较?；豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向?yàn)檎较?。（見圖1）原點(diǎn)兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)。坐標(biāo)平面坐標(biāo)系所在的平面叫做坐標(biāo)平面。象限x軸和y軸把平面直角坐標(biāo)系分成四部分，每個部分稱為象限。按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（見圖1）點(diǎn)的坐標(biāo)對于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應(yīng)的數(shù)a、b分別叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，有序數(shù)對A(a，b)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(a，b).（見圖2）。圖1圖22：點(diǎn)的坐標(biāo)特征與變換（☆☆☆）1）點(diǎn)的坐標(biāo)特征：已知點(diǎn)P（a，b）第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0；原點(diǎn)：a=0，b=0；x軸上：b=0；y軸上：a=0；2）軸對稱與中心對稱：已知點(diǎn)P（x，y）（1）點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，-y）；（2）點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（-x，y）．（3）點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（-x，-y）．3）圖形（點(diǎn)）在坐標(biāo)系中的平移：已知點(diǎn)P（x，y）1）點(diǎn)P向右平移a個單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁+a，y）；2）點(diǎn)P向左平移a個單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a，y）；3）點(diǎn)P向上平移b個單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y+b）；4）點(diǎn)P向下平移b個單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y-b）．4）兩個公式（1）中點(diǎn)公式：若、，則AB中點(diǎn)C坐標(biāo)為：；（2）兩點(diǎn)距離公式：已知兩點(diǎn)：、，則．3：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用（☆☆）確定一個物體的位置的方法：1）有序?qū)崝?shù)對確定點(diǎn)的位置--行列定位法；2）方位角+距離確定點(diǎn)的位置--極坐標(biāo)定位法；3）用“經(jīng)緯度”確定點(diǎn)的位置--經(jīng)緯定位法；4）區(qū)域定位法。4：函數(shù)（☆☆☆）1）函數(shù)的相關(guān)概念：變量：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量.常量：在一個變化過程中，數(shù)值始終不變的量稱為常量.函數(shù)的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù).函數(shù)的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.確定函數(shù)取值范圍的方法：1）函數(shù)解析式為整式時，字母取值范圍為全體實(shí)數(shù)；2）函數(shù)解析式含有分式時，分式的分母不能為零；3）函數(shù)解析式含有二次根式時，被開方數(shù)大于等于零；4）函數(shù)解析式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不能為零；5）實(shí)際問題中函數(shù)取值范圍要和實(shí)際情況相符合，使之有意義.函數(shù)值概念：如果在自變量取值范圍內(nèi)給定一個值a，函數(shù)對應(yīng)的值為b，那么b叫做當(dāng)自變量取值為a時的函數(shù)值.函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式.函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與解析式之間的關(guān)系：1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點(diǎn)在解析式上，反之，不在。2）兩個函數(shù)圖形交點(diǎn)的坐標(biāo)就是這兩個解析式所組成的方程組的解。2）函數(shù)的三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法準(zhǔn)確反映整個變化過程中自變量與函數(shù)的關(guān)系求對應(yīng)值是要經(jīng)過比較復(fù)雜的計算，而且實(shí)際問題中有的函數(shù)值不一定能用解析式表示列表法自變量和與它對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)據(jù)一目了然所列對應(yīng)數(shù)值個數(shù)有限，不容易看出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，有局限性圖像法形象的把自變量和函數(shù)值的關(guān)系表示出來圖像中只能得到近似的數(shù)量關(guān)系【易錯點(diǎn)歸納】1.有序數(shù)對（a，b）與（b，a）順序不同，含義也不同，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。2.到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)。3.因?yàn)闄M軸向右為正，所以點(diǎn)向右平移時橫坐標(biāo)變大，向左平移時橫坐標(biāo)變小，同理向上平移時縱坐標(biāo)變大，向下平移縱坐標(biāo)變小，注意和函數(shù)平移的區(qū)別?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.平面直角坐標(biāo)系例1：（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）圖中顯示了10名學(xué)生平均每周用于閱讀課外書的時間和用于看電視的時間（單位：h），下列說法中錯誤的是（

）A．只有一個同學(xué)的閱讀和看電視的時間相同 B．只有兩個同學(xué)的看電視時間是相同的C．只有兩個同學(xué)的閱讀時間是相同的 D．閱讀時間大于看電視時間的同學(xué)較多變式1．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）法國數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明了平面直角坐標(biāo)系，使平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應(yīng)關(guān)系，將幾何問題通過代數(shù)方法來研究．這種解決問題的方法是（

）A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．類比 C．一般到特殊 D．分類討論變式2.（2023·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）在校運(yùn)會開幕式彩旗方隊(duì)中，小蘭的位置不管是列還是行都在正中間，用數(shù)對表示為．則彩旗方隊(duì)一共有（

）人．A． B． C． D．例2：（2023年浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知“車”所在位置的坐標(biāo)為，則“炮”所在位置的坐標(biāo)為（

）．

A． B． C． D．變式1.（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）北斗七星是指大熊座的天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光七星，古人把這七星聯(lián)系起來想象成為古代舀酒的斗形，故名北斗．愛好天文的小祺將自己觀察到的北斗七星畫在如圖所示的網(wǎng)格上，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，若表示“搖光”的點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示“開陽”的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示“天權(quán)”的點(diǎn)（正好在網(wǎng)格點(diǎn)上）的坐標(biāo)為．

核心考點(diǎn)2.點(diǎn)的坐標(biāo)特征與變換例3：（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）已知，，則在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，小手蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（

）

A． B． C． D．變式1.（2023年浙江省麗水市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式2.（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則m的值可以是．（寫出一個即可）例4：（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)在x軸上，則a的值為．變式1.（2023·廣東香洲·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，則的值是____．變式2.（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)在第象限，當(dāng)點(diǎn)在軸上時，．例5：（2023·江蘇鹽城·?？寄M預(yù)測）若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)在第二象限，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．或變式1.（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，已知x，y滿足，則點(diǎn)M關(guān)于軸對稱的點(diǎn)N在第象限．變式2.（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．先作關(guān)于x軸成軸對稱的，再把平移后得到．若，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．例6：（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段向右平移4個單位長度，得到線段，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是_______．變式1.（2023·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，將平移后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．變式2．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個點(diǎn)從原點(diǎn)開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點(diǎn)；把點(diǎn)向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點(diǎn)；把點(diǎn)向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點(diǎn)；把點(diǎn)向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點(diǎn)；…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．例7：（2022·黑龍江·校一模）將按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．變式1.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，將沿軸向右平移得到，與交于點(diǎn)．若：：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

變式2.（2023·河北邯鄲·三模）如圖，在正方形中，已知點(diǎn)，．將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角度后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A．或B．或或C．或D．或變式3.（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）風(fēng)力發(fā)電是一種常見的綠色環(huán)保發(fā)電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風(fēng)力發(fā)電機(jī)有三個底端重合、兩兩成角的葉片，以三個葉片的重合點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2所示），已知開始時其中一個葉片的外端點(diǎn)的坐標(biāo)為，在一段時間內(nèi)，葉片每秒繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動，則第時，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．例8：（2023·江蘇江都·二模）如果點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x+y=xy，那么稱點(diǎn)P為“和諧點(diǎn)”，若某個“和諧點(diǎn)“P到x軸的距離為2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為______．變式1．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)A到x軸、y軸距離的較大值，稱為點(diǎn)A的“長距”，當(dāng)點(diǎn)P的“長距”等于點(diǎn)Q的“長距”時，稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，若，兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則k的值為．例9：（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，若軸，則線段的最小值及此時點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（）A． B． C． D．變式1.（2023·河南信陽·校考三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，對折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕是，連接，，已知點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）

A． B． C．（8，6） D．變式2．（2023·江蘇南通·校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，在坐標(biāo)軸上，，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．核心考點(diǎn)3.坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用例10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）下列選項(xiàng)中，能確定物體位置的是（

）A．距離學(xué)校500米 B．季華路 C．東經(jīng)，北緯 D．北偏西變式1．（2023春·河北保定·八年級校聯(lián)考期中）下列四種描述中，能確定具體位置的是（

）A．東經(jīng)，北緯B．某電影院5號廳2排C．北京長安大街D．一架飛機(jī)距離地面10千米例11：（2023·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：如圖1，在平面內(nèi)選一定點(diǎn)O，引一條有方向的射線，再選定一個單位長度，那么平面上任一點(diǎn)M的位置可由的度數(shù)與的長度m確定，有序數(shù)對稱為M點(diǎn)的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”．應(yīng)用：在圖2的極坐標(biāo)系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊在射線上，則正六邊形的頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（

）A． B． C． D．變式1．（2023年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)真題）畫一條水平數(shù)軸，以原點(diǎn)為圓心，過數(shù)軸上的每一刻度點(diǎn)畫同心圓，過原點(diǎn)按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為的射線，這樣就建立了“圓”坐標(biāo)系．如圖，在建立的“圓”坐標(biāo)系內(nèi)，我們可以將點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為．

核心考點(diǎn)4.函數(shù)例12：（2023·安徽滁州·八年級?？茧A段練習(xí)）球的體積是，球的半徑為，則，其中變量和常量分別是（

）A．變量是，；常量是，B．變量是，；常量是 C．變量是，，；常量是 D．變量是，；常量是變式1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．且 B． C．或 D．變式2．（2023·廣東湛江·校聯(lián)考一模）當(dāng)時，函數(shù)的值是（

）A． B． C． D．例13：（2023·廣西·統(tǒng)考一模）下列各曲線中哪個不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．變式1.（2023·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發(fā)現(xiàn)，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個變量．下列有四種說法：①S是V的函數(shù)；②V是S的函數(shù)；③h是S的函數(shù)；④S是h的函數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④變式2．（2023·河北滄州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）下列各式，不能表示是的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．變式3．（2023·山東德州·二模）下列關(guān)于兩個變量關(guān)系的四種表述中，正確的是．（填序號即可）①圓的周長C是半徑r的函數(shù)；②表達(dá)式中，y是x的函數(shù)；③如表中，n是m的函數(shù)；m123n632④如圖中，曲線表示y是x的函數(shù)．

例14：（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）南湖隧道是南寧市建成的首條水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內(nèi)的長度記為y米，小汽車進(jìn)入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關(guān)系用圖象描述大致是（

）

A．

B．

C．

D．

變式1.（2023·湖南永州·?？级＃?023年1月22日，電影《流浪地球2》在萬達(dá)廣場上映，小趙一家開車去觀看．最初以某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了幾分鐘，為了按時到達(dá)劇場，小趙在不違反交通規(guī)則的前提下加快了速度，仍保持勻速行駛．在此行駛過程中，汽車離家的距離y（千米）與行駛時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

例15：（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）一個鋼球由靜止開始從足夠長的斜面頂端沿斜面勻變速下，速度變化規(guī)律如下表：時間01234…速度01.534.56…則時，這個鋼球的速度是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·北京西城·?？寄M預(yù)測）如圖，購買一種蘋果所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數(shù)圖象由線段和射線組成，則一次購買3千克這種蘋果比分三次每次購買1千克這種蘋果可節(jié)?。ǎ〢．4元 B．3元 C．2元 D．1元變式2．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）在我國川西高原某山脈間有一河流，當(dāng)河流中的水位上升到一定高度時因河堤承壓有潰堤的危險．于是水利工程師在此河段的某處河堤上修了一個排水的預(yù)警水庫連通另一支流．當(dāng)河流的水位超過警戒位時就有河水流入預(yù)警的水庫中，當(dāng)