2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：拓展之定義題（解答題）（解析版）

第10講：拓展一：定義題(解答題)

1.(2024?安徽蚌埠?統(tǒng)考模擬預(yù)測)對于無窮數(shù)列出，…以，…，我們稱

/(尤)=￡與"=。。+罕+崇/+-++無"+一(規(guī)定0!=1)為無窮數(shù)列｛凡｝的指數(shù)型母函

8]Y2Yn

數(shù).無窮數(shù)列1,1,1,…的指數(shù)型母函數(shù)記為e(x)=Z1x"=l+x+^+...+[+…，

〃=0?乙?tv?

它具有性質(zhì)e(x)e(y)=e(x+y).

⑴證明：6(-^)=——；

e(x)

/\(—1)"2ki/e(ix)+e(—ix)/廿士.

(2)記c(x)=E而而r+—+---+(-1)k方力+…-證明：c(無)=——;-----(其中I

心o(2Q!2!4!(2Q!2

為虛數(shù)單位)；

X

⑶以函數(shù)7^7為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列｛5｝,

=斗+.2+…+4/+…?其中紇稱為伯努利數(shù).證明：

e(x)-l羽加2!n\

4=一;.且與加1=0(左=1,2,3,…).

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)由e(x)e(y)=e(x+y),通過賦值即可證得；

(2)根據(jù)i的周期性，經(jīng)過多次推理，由求和可以證得；

(3)構(gòu)造可以推出g(-x)-g(x)=x,然后再可證得.

e(尤)-1

【詳解】(1)令x=0,則e(0)=l.

由e(x)e(y)=e(x+y),令y=-尤,則e(x)e(-x)=e(0)=1.

因為e(x)R0,r^e(-x)=^—.

e(x)

、、十”口l上(&)4"(一2"‘x4"x4"2x4"

(2)證明：因為-----1-----------=---------1--------=--------，

(4w)!(4w)!(4〃)！(4〃)！(4〃)！

(u)4n+1(-u)4n+1ix4,,+1-ix4n+1八

-------------1-------------=--------------1------=0,

(4/1+1)!(4〃+l)!(4n+l)!(4?+l)!

(比).*2(_次)4”+2_尤4"+2

(4M+2)!(4n+2)!"(4/1+2)!(4〃+2)!一(4〃+2)!’

(比)4〃+3(_a)4〃+3__54〃+3比＜+3

(4〃+3)!(4〃+3)!一(4〃+3)!(4M+3)!

4n

e(geT)?8[9麗r=￡五一25

=2c(x),

(4〃+2)!」白(2曲！

e(ix)+e(-ix)

所以c(x)=

2

x

⑶證明：令g(x)=E,則有

—Xx11

g(f)-g(無)=------=-x-------1------

e(-x)-le(x)-le(-x)-le(%)-l

[e(x)-1]+[e(-x)-1]_e(x)+e(-x)-2

[e(-x)-l][e(x)-1]2-e(x)-e(-x)

因此尤=g(-x)-g(x)

OOD

Bzk+T12&+l

=_252m鏟+1=-2Bj+Z

臺(2左+1)!

k=l(2左+1)!

故耳=一〈且￡急七一"=°，即與門=°(左=1，2,3,…).

，4=11，左+v-

【點睛】關(guān)鍵點點睛：主要考查了復(fù)數(shù)i的周期性，考查推理論證能力，對學(xué)生思維要求比

較高，綜合性很強.

2.(2024上?全國?高三校聯(lián)考競賽)設(shè)有兩個集合AB,如果對任意aeA,存在唯一的

滿足〃。)=匕，那么稱/是一個Af3的函數(shù).設(shè)是Af3的函數(shù)，g。)是BfC的

函數(shù)，那么g(f(。))是AfC的函數(shù)，稱為g和/的復(fù)合，記為g。了.如果兩個AfB的函

數(shù)九g對任意aeA,都有/(a)=g(。)，則稱/=g.

⑴對〃x)=e”,分別求一個g(x),//(x),使得他。/)(彳)=%=(/。/。(彳)對全體龍21恒成立；

(2)設(shè)集合4B,C和A—C的函數(shù)a以及BfC的函數(shù)4.

⑴對E={(a/)|aeA,6cB,a(a)=￡(6)},構(gòu)造E-A的函數(shù)。以及EfB的函數(shù)9,滿

定aop=0oq-

(ii)對E={(a,匕)1ae=,構(gòu)造EfA的函數(shù)P以及EfB的函數(shù)夕，

滿足。。。=尸。4,并且說明如果存在其它的集合E'滿足存在E'-A的函數(shù)以及E-3

的函數(shù)4‘，滿足。。。'=力。/,則存在唯一的E'fE的函數(shù)“滿足0。"=。',"?！?4'.

【答案】(l)g(x)=而，/2(%)=57］菽

(2)(i)p(a,b)=a,q(a,b)=b；(ii)p(a,b)=a,q(a,b)=b,說明見解析

【分析】(1)利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題干條件求解;

(2)(i)利用常函數(shù)求解；(ii)結(jié)合(i)再證明唯一性即可.

【詳解】(1)因為(g0/)(x)=M7=療=h而(f°%)(x)=e(財'=*'=x，

(g。力(尤)=X=(/。刈(X)對全體X>1恒成立；

故g(x)=>/iR/z(x)=\/i菽對所有X21成立.

(2)⑴考慮°(。力)=4以及4(。力)=。兩個函數(shù)，

對任意(a,b)eE,因為a(a)=/7。)，

所以a。p=a(^p(a,bn=a{a)=0(b)=p[q{a,b^)=Poq.

(ii)我們可以繼續(xù)使用(i)的構(gòu)造，

任意取dwE,因為aop'=￡。/,所以a(p，(d))=因(/(/)),

所以p'(e')&A,q\e')eB,則(p'(e),q'(e'))eE,

因此存在“(d)=(p'(d)應(yīng)'(，))滿足條件;

如果，符合題意，即2。"=;/,"。"=〃'，

則P(〃'(d))=p"),g(“(d))=d(d),

由，夕定義得到〃(e')=(0'(e),q'(e))；

所以存在唯一的EfE的函數(shù)”滿足題意.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：充分利用題目定義的新函數(shù)證明唯一性是關(guān)鍵.

3.(2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)定義在。上的函數(shù)f(x),

如果滿足：對任意xwD,存在常數(shù)M>0,恒成立，則稱“尤)是。上的有界函

數(shù)，其中M稱為〃x)的上界.

⑴若/(%)=4'+。2+1在(F,0]上是以2為上界的有界函數(shù)，求a的取值范圍；

⑵己知〃x)=l+，J,m為正整數(shù)，是否存在整數(shù)左，使得對V〃eN*,不等式

加4姑(〃)4加+2恒成立？若存在，求出％的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)TVaWO

⑵存在，k=2

311

【分析】(1)利用上界的定義，換元令:2,轉(zhuǎn)化函數(shù)式得T-2<Q<T+L再結(jié)合y=T+9

/tt

3

與丁=_/一2的單調(diào)性計算即可；

(2)假設(shè)存在上滿足題意，分離參數(shù)得］+［_工］一-i+然后分類討論〃為奇數(shù)

或偶數(shù)，結(jié)合1+的取值范圍計算即可.

【詳解】(1)令t=2",x6(^30,0］,貝

由題意可得，/(X)歸2在xe(F,0］上恒成立，

則『+畫+2在fe(0』上恒成立，

31

「?—2<t2+at+A.<h即T—<a<—t+-,

tt

易知>=T+,在(0,1］上單調(diào)遞減，則5,=0,

t

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：y=T-:在(0』上單調(diào)遞增，則如"-4,

綜上：—4<61<0.

(2)假設(shè)存在上滿足題意，m<k-1+<m+2,?eN*

當(dāng),為正偶數(shù)時,<m+2,

4（根+2）<m+2

<m+2

/.m<k<j（m+2）；

當(dāng)〃為正奇數(shù)時,<m+2,

同理設(shè)〉=1一］()=—易知l—g)G

m+2<<2（m+2）

2m<k<m+2^

m+2>2m

444

若左存在，則2加工人工二（加+2）且v:j(m+2)>2m,gp0<m<—,

m>0

12

m=1,BP2<,

：k=2.

4.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）對于函數(shù)/（x）（x￡。），。為函數(shù)定義域，若存在正常

數(shù)T,使得對任意的工￡。，都有成立，我們稱函數(shù)/⑺為〃T同比不增函數(shù)〃.

（1）若函數(shù)/（X）=履+sin無是"|JT■同比不增函數(shù)”，求左的取值范圍；

⑵是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/（x）=r-|x-l|+|x+l|為"T同比不增函數(shù)”，若存在，求T

的取值范圍；若不存在，請說明理由.

、（2忘一

【答案】⑴-力,-----

I兀」

⑵存在，且T24

【分析】（1）由/（x+T）4f（x）恒成立，分離常數(shù)％,結(jié)合三角函數(shù)的最值來求得％的取值

范圍.

（2）結(jié)合/（力的圖象以及圖象變換的知識求得T的取值范圍.

【詳解】（1）因為函數(shù)/（無）二丘+sinx是同比不增函數(shù)〃，貝1」/（工+5）三/（同恒成立，

所以4+^[+sin+■|■）Wfee+sinx恒成立，所以左]4sinx-cosx=A/2sin[x-,

即上4乎sin[x—：J,由于sin[x-；]z-l,所以％4一述.

所以上的取值范圍是「風(fēng)-W]

（2）存在，理由如下：

—x—2,%W—1

/（x）=-x-|x-l|+|x+l|=<X,-1<X<1,畫出/（X）的圖象如下圖所示，

—X+2,x21

yjk

'、、\人x+4)

X、

、、?

、

y(x+T)的圖象是由/(x)的圖象向左平移T個單位所得，

由圖可知，當(dāng)T24時，對任意的xeD,都有/(x+T)V〃x)成立，

所以存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/(x)=-x-|x-l|+|x+l|為"T同比不增函數(shù)"，Hr>4.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用題中的定義，將

問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，本題第(2)問利用數(shù)形結(jié)合思想求解比較直觀簡單.

5.(2024上?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末)中心對稱函數(shù)指的是圖形關(guān)于某個定點成中心對稱

的函數(shù)，我們學(xué)過的奇函數(shù)便是一類特殊的中心對稱函數(shù)，它的對稱中心為坐標(biāo)原點.類比

奇函數(shù)的代數(shù)定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)，=/(%)的定義域為。，若對

VxeZ),都有〃2加-無)+/(x)=2〃，則稱函數(shù)“尤)為中心對稱函數(shù)，其中(①〃)為函數(shù)

了(尤)的對稱中心.比如，函數(shù)y=g+l就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為(0,1).

⑴判斷了("=上?是否為中心對稱函數(shù)(不用寫理由)，若是，請寫對稱中心；

⑵若定義在［兀,2句上的函數(shù)〃x)=sin(2x+9)為中心對稱函數(shù)，求。的值；

2

⑶判斷函數(shù)g(x)=/「是否為中心對稱函數(shù)，若是，求出其對稱中心；若不是，請說明

理由.

【答案】(1)〃尤)=弋是中心對稱函數(shù)，對稱中心為(1,2)

x-1

(2)(p=kit,keZ

2

⑶g(x)=/「是中心對稱函數(shù)，對稱中心為(-LT).

【分析】(1)根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得〃2-x)+/(x)=4,即可得結(jié)論；

(2)若定義在,［兀，2可上的函數(shù)/(x)=sin(2x+°)為中心對稱函數(shù)，其對稱中心的橫坐標(biāo)必

為了，由/(X)+/(3兀-x)=2cos2xsin0可知，sin"=0,即可得出夕的值；

(3)根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得g(-2-x)+g(x)=-2,即可得結(jié)論.

【詳解】(1)根據(jù)題意，〃尤)="的定義域為卜卜21},

X—1

〃x)=2(x?+3=2+^p若對Vxe{x|xwl},

33

都有/(2-尤)+〃同=2+^——-+2+——=4

Z—X—Lx-1

o_|_i

所以“X)=-^r―中心對稱函數(shù)，對稱中心為(1,2)；

X~1

(2)若定義在[兀,2可上的函數(shù)/(x)=sin(2x+0)為中心對稱函數(shù)，

兀兀

明顯定義域僅關(guān)于點(3半,0)對稱，其對稱中心的橫坐標(biāo)必為3￡,

貝!Jf(x)+f(3K-X)=sin(2%+°)+sin[2(3兀-x)+(p^=sin(2x+o)+sin(—2工+°)

=sin(2x+0)一sin(2x一0)=sin2xcos<p+cos2xsine一sin2xcos0+cos2xsincp

=2cos2xsin0,

因為/(x)=sin(2x+°)為中心對稱函數(shù)，

則/(%)+/(3兀一1)為定值，則sino=°,即/(九)+/(3冗一元)=0,

4

所以/(x)=sin(2x+0)關(guān)于點旨7r,0)對稱.

(3)函數(shù)g(x)的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點(T，-D

解方程3向-1=0得x=T,所以函數(shù)g(尤)的定義域為(fT)5T”)

明顯定義域僅關(guān)于點(T，0)對稱

2

所以若函數(shù)g(x)=——的圖象是中心對稱圖形，則其對稱中心橫坐標(biāo)必為-1

3-1

設(shè)其對稱中心為點(一1,九)，則由題意可知有g(shù)(-2-x)+g(x)=2〃

令x=-2,可得2〃=g(O)+g(—2)=l-3=—2,所以為=-1

所以若函數(shù)g(無)為中心對稱圖形，其對稱中心必定為點(T，T)

2

下面論證函數(shù)g(x)=ix的圖象關(guān)于點(T-1)成中心對稱圖形:

3-1

即只需證明VxeZ),g(—2—x)+g(x)=—2

222x3%+12

g(-2-x)+g⑺=3-_i+—\----1---；=------H---：--

1]3X+1-11-3A+13r+1-l

QX+1

2x3x+122-2x3x+1

--------r-----;----=-2x=—2,得證.

1-3X+13X+1-13I+1-13I+1-1

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性:

(1)若/(x+a)+/(—x+6)=c,則函數(shù)關(guān)于中心對稱;

（2）若/（尤+〃）=/（一x+6）,則函數(shù)/（x）關(guān)于尤=審對稱.

6.（2024上?山東濟寧?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=ln（e'-l）-ln（e，+l）.

⑴求函數(shù)〃尤）的定義域；

（2）試判斷“X）的單調(diào)性，并說明理由；

⑶定義：若函數(shù)尸⑺在區(qū)間［見〃］上的值域為［根,可，則稱區(qū)間［〃?,”］是函數(shù)/（無）的"完美

區(qū)間若函數(shù)g（x）=〃x）+lnb存在"完美區(qū)間"，求實數(shù)6的取值范圍.

【答案】⑴（0,+功

（2）單調(diào)遞增，理由見解析

⑶（3+2在4-00j

【分析】（1）由函數(shù)解析式直接求定義域；

（2）法一：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定；

法二：定義法證明單調(diào)性；

（3）由題意可知方程g（x）=無在（0,+巧上至少存在兩個不同的實數(shù)解，即6=1（；在

（0,+8）上至少存在兩個不同的實數(shù)解，所以>=6與在（0,+8）上至少存在兩個

e%-l

不同的交點.再利用基本不等式求出函數(shù)y=Sl￡二D的值域即可.

ex-l

【詳解】（1）要使函數(shù)的表達式有意義，須使e*-1>0,解得x>0,

所以函數(shù)的定義域是（0,+8）.

（2）〃同=1+，-1）-14，+1）在（0,+動上單調(diào)遞增.

理由如下：法一：

因為〃x）=ln（e—）_ln（e，+l）=lnU=ln1告），

、2、

又〉=e*+l在（0,+8）上為增函數(shù)，>=1二］?在（0,+8）上為減函數(shù)，

y=1-￡、在（。,+8）上為增函數(shù)，丫=311-最21］在（0,+8）上為增函數(shù)，

故〃x）=In（e，-1）-In⑹+1）在（0,+“）上單調(diào)遞增.

法二：

因為“X）=111的+1）=In三~,

對任意^26（0,+oo）,且不＜%,可知e"2＞e』＞l,則

小）-/㈤=嵋胃一也一

X(eX1-l)(eT2+l)-(er'+l)(e^-l)=2(er'-e^)<0,

<1,所以In<0,

(eX1+l)(e^-l)

即〃為）＜“々）.故〃尤）=111@一1）一111（]+1）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

（3）由（2）可知g（x）=〃x）+ln6在（0,+功上單調(diào)遞增,

設(shè)區(qū)間是函數(shù)g（x）=/（尤）+ln。的"完美區(qū)間則g（m）=m,g（〃）=〃.

可知方程8（彳）=》在（0,+8）上至少存在兩個不同的實數(shù)解，

即6=在（0,+8）上至少存在兩個不同的實數(shù)解，

ex-l

所以y=6與e'（e、可在（0,十8）上至少存在兩個不同的交點.

ex-l

令仁el,貝卜＞0,

所以6=（'+1）（'+2）丁+3'+2=,+2+3m2四,

ttt

當(dāng)且僅當(dāng)f=0時，取等號.

又〉=,+＞3在（0,夜）上單調(diào)遞減，在（也+可上單調(diào)遞增，

且當(dāng)1.0時，yf+QO；當(dāng)_|_QO時，yf+GO.

所以。＞3+2加-故實數(shù)6的取值范圍為（3+2夜,y）.

【點睛】思路點睛：第三問由題意，可將問題轉(zhuǎn)化為方程8（幻=彳在（0,+8）上至少存在兩個

不同的實數(shù)解，即6=坐上Q在（0,+e）上至少存在兩個不同的實數(shù)解，所以y=b與

ev-l

=.（e'+l）在（0,+e）上至少存在兩個不同的交點.接下來利用換元法求出函數(shù)

-eA-l

e[e'+l）的值域即可.

-e'-l

7.（2024?云南昆明,統(tǒng)考模擬預(yù)測）我們把4+。好+。2必+...+a.x"=。（其中a“工。，〃eN*

稱為一元/次多項式方程.代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項式方程（即g,

?！盀閷崝?shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元〃（〃eN*）

次多項式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有"個復(fù)數(shù)根(重根按重數(shù)計算).那么我們由代數(shù)基本定

理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為“個一

2

元一次多項式的積.BPa0+o1x+a2x++anx"=a,\x-a^'^x-a2)*'???(%-am,其中

n

k,mGN*9K+42++心=〃，％，a?,,a機為方程為+%工+〃2%2++ctnx=0

的根.進一步可以推出：在實系數(shù)范圍內(nèi)(即4,%,出，…，。〃為實數(shù))，方程

2nn

%+a1x+a2x++anx=0的有實數(shù)根，則多項式4+%%+++anx必可分解因

式.例如：觀察可知，x=l是方程/—1=。的一個根，則(x-1)一定是多項式dr的一個

因式，即％一1=(%一1乂依N，由待定系數(shù)法可知，a=b=c=l.

⑴解方程：x3-2%+1=0；

+

(2)設(shè)〃%)=%+平+。2%2+%13,其中〃0,%,%,tz3GR,且〃0+%+〃2+。3=1.

(1)分解因式：%一(。0+4]+〃2%2+〃3%3)；

(ii)記點尸(/，幾)是y="力的圖象與直線產(chǎn)工在第一象限內(nèi)離原點最近的交點.求證：

當(dāng)4+2a2+3a3Kl時，x0=1.

【答案】⑴再=1,%=土區(qū)-1-A/5

2

2

⑵(i)—(%—l)^x+(6i2+a-^x—aj^；(ii)證明見解析

【分析】(1)觀察得到x=l是方程式―2工+1=0的一個根，從而設(shè)

x3—2x+l=(x—l)^ax2+fcr+c),對照系數(shù)得到a=l,b=l,c=—l,得到(X—1)(爐+x—lj=0,

求出方程的根；

(2)(i)x=l是方程++。3/)=。的一■個根，設(shè)

%-(%+%兀+/%2=(兀-1乂依2+b%+c),對照系數(shù)得至Ua=-a3,/?=(佝+q)—],c=%,

從而得到答案；

2

(ii)令F(x)—x=0,故%o是方程(/+ct{x+a2x+a3^—x=0的最小正實根，由(i)知：

(%+axx+a2J3=+(%+%)%—，設(shè)g(x)=+(生，根

據(jù)乳力的開口方向，結(jié)合g(0)=—%<0,則g(x)一定有一正一負兩個實根，設(shè)正實根為t,

結(jié)合〃1+2〃2+3〃3K1得至Ug⑴40，故方之1,得到％o=l.

【詳解】(1)觀察可知：％=1是方程%3-2%+1=0的一個根；

所以X3—2x+l=(x—l)^av2+/?x+c)=ax3+(/?—?)x2+(c—Z;)x—c,

b—a=0

由待定系數(shù)法可知，<。一人=-2,解得a=l,b=l,c=—l；

-c=l

所以（尤—D（尤2+尤_1）=0,即X=1或d+x_i=0,

則方程的根為%=1,%=匚蕓，%=匚子5.

（2）（i）由4+%+。2+。3=1可知，X=1是方程X—（。0+勾》+。2尤2+華*3）=。的一■個根;

32

所以工一（4+4%+"2%2+色％3）=（兀一1）（^2-i-^x+c^=ax+（Z?-6Z）X+（C-Z?）X-C,

即一生13__（卬_l）x_a°—ox'+（b—+（c—b^x—c,

a

對照系數(shù)得〃=_〃3，~2=b—a,—1）=c—b,—a0——c,

故〃=一〃3，Z?=—(生+/)=(〃0+6)—1，C=〃0；

所以無一(〃0+qjr+〃2%2+/13)=(%_1)[一/12_(%+%)x+〃o]

=_(X_+(〃2+%)無—%].

(ii)令f(x)-x=0,即(4+平+〃2X2+/巧一x=0,

點戶(汽,幾)是y=/(x)的圖象與直線丁=尤在第一象限內(nèi)離原點最近的交點，

等價于4是方程(/+4元+。2%2+/%3)—%=。的最小正實根；

由(D知：X=1是方程%-(/+%%+。2/+。3/)=。的一個正實根，

且(4+41+。2爐+生13)一1=(1_1)[〃312+(。2+.3)%—/]，

設(shè)g(X)=%/+(%+/)%一%,由旬，%,出，/CR+可知>?(%)為開口向上的二次函數(shù);

又因為g(0)=-4<0,則g(x)一定有一正一負兩個實根，設(shè)正實根為左

又％+%+%+/=1,可得%=1—(q+生+%)，

所以g(l)=%+(〃2+/)-%=36+2%+q-1；

當(dāng)4+2%+3/時，^(1)<0,

由二次函數(shù)單調(diào)性可知，21,即冗=1是方程%-(％+空+〃2%2+0/)=0的最小正實根.

【點睛】方法點睛：三次函數(shù)是近兩年高考?？伎键c，需要對三次函數(shù)理解到位，求解三次

函數(shù)的零點,常常需要先觀察函數(shù)，直接法得到其中一個零點，將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，

故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來研究三次函數(shù)的性質(zhì).

8.(2024上?江蘇蘇州?高一?？计谀?已知函數(shù)“力和g(%)的定義域分別為2和2,若

對任意飛￡2，恰好存在〃個不同的實數(shù)看,4，L,xneD29使得g(%)=〃%o)(其中

i=l,2,L,n,?eN'),則稱g(x)為〃x)的"〃重覆蓋函數(shù)”.

(1)判斷g(x)=|xT(xe[0,4])是否為〃x)=x+2(xW0,l])的""重覆蓋函數(shù)”，如果是，求

出”的值；如果不是，說明理由.

⑵若g(尤)=卜+"/)x+Lx&l為〃x)=logI金二的"2重覆蓋函數(shù)"，求實數(shù)。的取值

|^log2x,x>l52+1

范圍.

【答案】⑴是，n—\

(2)0<a<|

【分析】(1)根據(jù)定義，結(jié)合單調(diào)性即可求解；

(2)先求出“元)的值域，然后將問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的圖象與直線y=上有兩個交點的問

題，然后對。進行分類討論可得；

【詳解】(1)由定義可得，對任意1目0』，恰好存在〃個不同的實數(shù)為程…,天?°，可，

使得g(xJ=〃Xo)(其中i=l,2,…,〃，九eN*),

即|西T|=為+2€[2,3],

1-A：,O<X<1

由g(x)=|x-l|=

x-l,l<x<4'

故當(dāng)0W1時，g(x)e[O,l],此時不存在者使上-1|=%+242,3]成立，

當(dāng)1<XW4時，g(x)e[0,4],且g(x)在(1,4)上單調(diào)遞增,

故對于任意天目。川，都有唯一一個使得年一1|=5+2,

綜上所述，對于任意七目0』],都有唯一一個x,e[0,4],使得歸-1|=%+2,

，g(x)是〃尤)的"〃重覆蓋函數(shù)"，且〃=1；

2*—1

(2)由/(x)=log22、1可得2工一1>0，故x>0,

r/\,2X—12X+1f2?

/W-logj—y-Mogj--=log21+--,

十Iz—11Z—17

即丫^?0,+8),存在2個不同的實數(shù)占,3eR,使得8(%)=/(%),其中i=l,2,

22即Ml+Al>0，

由尤>0時,二>0,故1+仃>1,

故/(x)e(O,+8),故對任意/e(0,+8),/(x0)e(0,+oo),

8(%)=1。82(1+^^]€(0,+8),

即對任意4>0,g(x)=k都有2個實根，

當(dāng)x>l時，log2xe(0,+oo),且yulog^x在(1,+8)上遞增，

故x>l時，g(x)=log2X=人都有唯一確定的實根，

故當(dāng)xWl時，8(力=加+(2。-3卜+1=左亦有且有一個實根，

當(dāng)a=0時，g(x)=—3x+le[-2,+”)，且g(元)在(-8,1)上單調(diào)遞減，符合題意，

當(dāng)a<0時，g(x)為開口向下的拋物線，不符合要求，故舍去。

當(dāng)a>0時，則需對稱軸且g(l)=a+2a—3+1W0,

2a

322

gp0<(2<—,且BP0<tz<j,

2

綜上，實數(shù)。的取值范圍是

9.(2024上廣東?高一統(tǒng)考期末)定義:函數(shù)若存在正常數(shù)T,使得/'(x+T)=/(x)+M,

M為常數(shù)，對任意xeR恒成；則稱函數(shù)〃x)為"T代”階函數(shù)".

⑴判斷下列函數(shù)是否為"2代加階函數(shù)"？并說明理由.

①工(x)=sinjtx,②人(x)=2*.

⑵設(shè)函數(shù)"x)=/(x)+g(x)為"4代/階函數(shù)"，其中是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù).若

/(2)=1,求〃2026)的值.

【答案】⑴①工(x)=si皿是2代”階函數(shù)，②人(乃=2,不是2代M階函數(shù)，理由見解析

(2)1013

【分析】(1)利用"T代M階函數(shù)"的定義判斷即可；

(2)根據(jù)"4代M階函數(shù)"的定義，結(jié)合函數(shù)的奇偶性變形，得到了(x+4)=〃x)+2,求解

即可.

【詳解】(1)①工(x)=sin7tx是2代”階函數(shù)，

因為工(x+2)=sin[n:(x+2)]=sin兀v=〃x),此時T=2,M=0,

所以工(x)為2代0階函數(shù)；

②人(x)=2,不是2代M階函數(shù)，

因為人(x+2)=(2廣2=4X2*HL(X)+M,所以力(x)不是2代/階函數(shù)；

(2)由已知存在常數(shù)“滿足尸(x+4)=尸(x)+M,

即/(x+4)+g(%+4)=/(%)+g(x)+M,

令龍=。，則/(a+4)+g(a+4)=〃a)+g(a)+M①,

令x+4=-a,貝I]/(-a)+g(-a)=/(-a-4)+g(-a-4)+M②，

因為/(x)是奇函數(shù)，g(尤)是偶函數(shù)，

所以了(一。)=-/⑷，g(-a)=g(。)，/(-a-4)=-/(a+4),g(—a—4)=g(a+4),

①+②，整理得/(4+4)=〃a)+/,

令口=一2,則/(2)=/(—2)+M,又因為“—2)=—/⑵，

且"2)=1,可得〃=2,所以〃尤+4)=〃x)+2,

所以,(2026)=/(2022)+2=/(2018)+2><2=.—=/(2)+506><2=1013.

【點睛】方法點睛：新定義題型的特點：通過給定一個新的概念，根據(jù)題目提供的信息，結(jié)

合所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；遇到新定義的題目，要耐心

讀題，分析新定義的特點和性質(zhì)，按新定義的要求求解.

10.(2024上?上海?高一上海市洋涇中學(xué)?？计谀?對于定義在區(qū)間目上的函數(shù)/(力，

若號(x)=max{〃以aWf可).

(1)已知=,g(#=￡，xe[0,l]試寫出P/x)、4(*)的表達式；

(2)設(shè)a>0且函數(shù)/(x)=a"+(3-a).“’-l,xe1,1,如果P,(9與f(x)恰好為同

一函數(shù)，求。的取值范圍；

⑶若0(%)=向11{/?)卜</<用》€(wěn)[4,可)，存在最小正整數(shù)左，使得號(*)-。/(*)4左(*-0)

對任意的可成立，則稱函數(shù)“X)為目上的"上階收縮函數(shù)"，已知函數(shù)/(%)=小,

xe[-l,4],試判斷f(x)是否為[-1,4]上的廉階收縮函數(shù)”,如果是,求出對應(yīng)的左，如果不

是，請說明理由.

【答案】⑴號(》)=1、”(耳=后

(2)(0,1)^(1,9]

⑶是，k—4

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/⑺、g⑺在[。,句上的單調(diào)性可得出與⑴、g(x)的表達式；

(2)若與(力與恰好為同一函數(shù)，只須/(力=油+(3-a)?，-1在xe1,1上是單調(diào)

遞減，討論。的取值由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(3)根據(jù)函數(shù)=f在x?-l,4]上的值域，寫出與⑴、0(%)的解析式，再由

今(“一0(“<左"—4)求出％的范圍得到答案.

【詳解】(1)解：因為函數(shù)/(/)=［；］在［0,可上單調(diào)遞減，

則號(無)=max{〃f)|0WrWx}=gj=1,

因為函數(shù)g(f)=〃在［0,尤］上單調(diào)遞增，則q(x)=max{g(以0W}=?.

(2)解：若弓(%)與恰好為同一函數(shù)，只須〃x)=/+(3-a)d—1在xe1,1上是

單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜。＜1時,令t=ax,則/(力=/+(3-。)，一1=力(。，

由2^，則對稱軸，=廠w］一/'一1J，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)力⑺顯然在為單調(diào)遞減，故0＜々＜1成立.

］

當(dāng)々＞1時，令￡=",由，則血工才工。，只需，=—一3二QW&,

22

化簡得(G—3)(6+1)＜。，解得1＜〃49,

綜上所述，的取值范圍為((U)u(l,9］

(3)解：因為函數(shù)/(%)在［T0］上單調(diào)遞減，在［0,4］上單調(diào)遞增,

X2,-l<X<0zX

則0/(%)=

o,od，今⑴一%2,1<%<4>

1——,—1<X<0

所以，Pf(x)-Qf(x)=il,0<x<l,

x2,l<x<4

當(dāng)1￡1一1,0)時，1—d4左(％+1),k>1—x,「MN2；

當(dāng)％G［0,1)時，14左(x+1),,

因為函數(shù)>=<在［0,1)上單調(diào)遞減，所以，左2工=1；

X+10+1

當(dāng)不￡［1,4］時，X2<Z:(x+l),；,k>^—,

因為函數(shù)y=(x+f=(X+1-1)+1=x+l+」--2在［1,4］上單調(diào)遞增,

x+1x+\x+\

4216

所以,k〉----=—

-4+15

綜上所述：

故〃尤)是［T4］上的"解介收縮函數(shù)"，且小正整數(shù)左=4.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)新定義問題，解題的關(guān)鍵在于確定新函數(shù)的解析式，根

據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式成立的問題，再結(jié)合恒成立思想求解.

11.(2024上?廣東肇慶?高一統(tǒng)考期末)對于函數(shù)9(x),若定義域內(nèi)存在實數(shù)%,滿足

cp{-x0)=-(p(x0),則稱9(x)為“函數(shù)

(1)已知函數(shù)/(x)=2sin、+/試判斷是否為"函數(shù)"，并說明理由；

⑵已知函數(shù)g(x)=3'+q(acR)為R上的奇函數(shù)，函數(shù)g)=

3

口(工)+3一1-2哂(x)+3一為其定義域上的“函數(shù)"，求實數(shù)加的取值范圍.

-4,x<-1

【答案】⑴F(X)是"函數(shù)",理由見解析

(2)

【分析】(1)直接由新定義判斷方程2$《-毛+￡］=-2$山卜+。|是否有解即可.

(3"丫_2相.3"-4r>-1

(2)由題意得首先得刈同=<)'一，然后對x分類討論，將問題轉(zhuǎn)換為方

-4,x<—1

程有解求參數(shù)范圍即可.

【詳解】(1)由題意，若函數(shù)〃尤)在定義域內(nèi)存在實數(shù)%,滿足〃%)，

可得2sin(-Xo+=-2sin^x0，即sin^x0-^=sin^x0.

當(dāng)尤0=］時，上式成立，所以存在毛=］,滿足/(_與)=-/小)，

所以函數(shù)〃尤)=2sin(x+"是”函數(shù)〃.

(2)因為函數(shù)9(旬=3，一+己(℃見為R上的奇函數(shù)，

所以g(0)=l+a=0,所以。=-1,經(jīng)檢驗。=-1滿足條件，

所以g(元)=3—(,所以g(x)+3T=3",

所以物)=］6-2m3,-4,x一定義域為R.

-4,x<-1

①當(dāng)在區(qū)間［一1』上存在％,滿足人(一~)=~h(x0)時,

則（3與『一2機?3與一4+（3f）2—2機?3f-4=0,即（3與+3』『一2機?（3%+3』）一10=0.

令"3"+3一”，貝!Jt22，3*?3』=2,當(dāng)且僅當(dāng)飛=。時取等號.

又不所以/431+3-=弓，即fe2,9，

所以（3'0+3-而）2-2機-（3跖+3^）-10=?-2,mt-10=0,

t2-iot5「3r

所以機=—；—=-e,

2t2t26_

②當(dāng)在區(qū)間（-00,-1）上存在％,滿足h（-x0）=一/z（尤o）時，

貝！J（3飛7