應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程第1章--概述2014

1、,主講教師：何松華教授聯(lián)系電話：(0731）8268771813973132618電子信箱應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程(通信專(zhuān)業(yè))AppliedStatisticsandRandomProcess,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,1.概述兼概率論復(fù)習(xí)(6學(xué)時(shí)),1.1,不確定性事件,1.2,通信與電子系統(tǒng)中的不確定性,1.3,含噪信號(hào)的最優(yōu)處理問(wèn)題,1.4,隨機(jī)變量及其數(shù)字特征,1.5,隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度分布,1.6,隨機(jī)變量的特征函數(shù),不確定性事件,1.1,客觀世界中的兩大類(lèi)規(guī)律：1.確定性事件中蘊(yùn)涵的確定性規(guī)律2.不確定性事件中蘊(yùn)涵的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律,確定性事件

2、及確定性規(guī)律：1.因果律確定的原因產(chǎn)生確定的可預(yù)知的結(jié)果“如果蘋(píng)果從樹(shù)上掉下(B),則肯定往下掉到地上(A)”ifBthenAProbA|B=100%,Prob|B=0%,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,2.排中律事物歸屬關(guān)系的確定性,非此即彼“我(x)現(xiàn)在是湖南大學(xué)的教師(A)”I：論域（被討論的對(duì)象的全體范圍）AB=（空集），AB=IifxAthenuA(x)=100%,xB,uB(x)=0%ifxBthenuB(x)=100%,xA,uA(x)=0%,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,3.恒等律事物(A,B,C,)之間相互約束關(guān)系的確定性“三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為18

3、0度”R（A，B，C，）=Constant,4.守恒律事物(A,B,C,)(a,b,c,)之間轉(zhuǎn)換或交換過(guò)程中的確定性“物質(zhì)不滅,能量守恒”R1（A，B，C，）=R2(a,b,c,),5.周期律事物在有限域內(nèi)變化的重復(fù)性“物極必返”ifA=N,MN,xiA(i=1,2,M)then存在i1i2,xi1=xi2毛澤東：打破周期率；江澤民：與時(shí)俱進(jìn)，三個(gè)代表,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,不確定性事件及不確定性：1.隨機(jī)性,因果律的一種破缺隨機(jī)試驗(yàn)：可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行,每次試驗(yàn)的結(jié)果是事先不可預(yù)測(cè)的,所有可能的結(jié)果不止一個(gè)，但每次試驗(yàn)的結(jié)果是唯一的,這樣的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)

4、事件：在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)于1次試驗(yàn)可能發(fā)生也可能不發(fā)生、但在大量重復(fù)的試驗(yàn)中按一定規(guī)律發(fā)生的某種事情，稱為隨機(jī)事件?；臼录涸陔S機(jī)試驗(yàn)中，最簡(jiǎn)單、不可再分、互不相容的事件稱為基本事件。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,例如:不同的人通過(guò)測(cè)量蘋(píng)果落地的時(shí)間獲得樹(shù)的高度,“隨機(jī)試驗(yàn)”舉例：袋中有編號(hào)為0到5的6個(gè)乒乓球，從里面隨機(jī)地拿出一個(gè)，觀察結(jié)果后再放回；反復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)。6種基本事件：(1)拿到編號(hào)為0的球；(2)拿到編號(hào)為1的球；(3)拿到編號(hào)為2的球；(4)拿到編號(hào)為3的球；(5)拿到編號(hào)為4的球；(6)拿到編號(hào)為5的球?！半S機(jī)事件”舉例：拿到編號(hào)大于4的球(在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生

5、也可能不發(fā)生；在大量重復(fù)的試驗(yàn)中發(fā)生的比例約為1/3)“基本事件”是隨機(jī)事件的特例。所有基本事件的組合稱為隨機(jī)試驗(yàn)的“樣本空間”。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,不確定性事件及不確定性：2.模糊性,排中律的一種破缺事物之間歸屬關(guān)系的不確定性，不能確定某個(gè)對(duì)象肯定屬于某個(gè)集合或肯定不屬于某個(gè)集合，但能夠確定對(duì)象屬于某個(gè)集合的程度。模糊性舉例：論域I=各種不同年齡x的人模糊集合=年輕人1（0x24）u(x)=1+（x-25）/52-1（25x）年齡x越大，則歸屬于年輕人的隸屬度u(x)就越小。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,通信與電子系統(tǒng)中的不確定性(隨機(jī)性),1.2,

6、湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,由于信道噪聲的存在(電子的布朗運(yùn)動(dòng))，確定的傳輸系統(tǒng)對(duì)確定的傳輸信號(hào)并不產(chǎn)生確定的響應(yīng)。,傳輸系統(tǒng)h(t),傳輸信號(hào)X(t),響應(yīng)Y(t),信道噪聲(t),Y(t)=X(t)h(t)+(t)(卷積）(t)的取值是隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的，則Y(t)也是隨機(jī)的、不確定的。,通信電子系統(tǒng)中的不確定性所帶來(lái)的問(wèn)題：1.信號(hào)的檢測(cè)問(wèn)題在數(shù)字通信中，0，1編碼用不同的兩種波形進(jìn)行傳輸;接收端信號(hào)為Y(t)H0：（傳輸0編碼信號(hào)）Y(t)=X0(t)h(t)+0(t)H1：（傳輸1編碼信號(hào)）Y(t)=X1(t)h(t)+1(t)怎樣從接收信號(hào)Y(t)中判斷出發(fā)送端傳輸

7、的信號(hào)是X0(t)還是X1(t)？如何將假設(shè)檢驗(yàn)理論應(yīng)用于通信電子系統(tǒng)?,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,2.信號(hào)及系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,系統(tǒng)h(t，2),A(t，)+(t),a(t，1),Y(t)=a（t，1)h(t，2)+(t)1：信號(hào)參數(shù)矢量(K個(gè)參數(shù))2：系統(tǒng)參數(shù)矢量(M個(gè)參數(shù))問(wèn)題：Y(t)、(t)是不可預(yù)知的隨機(jī)過(guò)程，怎樣從接收信號(hào)Y(t)的有限個(gè)采樣值Y(0)、Y(T)、Y(N-1)T求得1、1的最佳估計(jì)呢？簡(jiǎn)單的方程K+M個(gè)聯(lián)立為什么不能求得統(tǒng)計(jì)意義上的最佳估計(jì)？,3.最優(yōu)濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)

8、過(guò)程概述,問(wèn)題：Y(t)、(t)是不可預(yù)知的隨機(jī)過(guò)程，采用什么樣的濾波器h1(t)，使得含噪失真信號(hào)Y(t)通過(guò)該濾波器后，其輸出信號(hào)與X(t)最逼近？minimumEY(t)h1(t)-X(t)2h1(t),傳輸系統(tǒng)h(t),傳輸信號(hào)X(t),響應(yīng)Y(t),信道噪聲(t),濾波器h1(t),含噪失真信號(hào)Y(t),恢復(fù)信號(hào)Z(t),4.系統(tǒng)的性能評(píng)估以及信號(hào)波形參數(shù)的設(shè)計(jì)問(wèn)題(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,已知信道噪聲(t)的統(tǒng)計(jì)特性平均值、方差、相關(guān)函數(shù)、概率分布等，要求在給定接收端檢測(cè)性能的情況下對(duì)傳輸信號(hào)的波形進(jìn)行設(shè)計(jì)。舉例：軍用雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)H0：（無(wú)目標(biāo)）Y(t)

9、=(t)H1：（有目標(biāo)）Y(t)=kAs(t-2R/c)+(t)s(t)：寬度為的正弦脈沖,R:目標(biāo)距離,c:光速，k：信號(hào)傳輸衰減系數(shù);要求虛警概率Pf=P（H1H0）=10-7，已知(t)服從N(0，2)，如何對(duì)發(fā)射信號(hào)的幅度A、脈沖寬度進(jìn)行設(shè)計(jì)？,5.噪聲背景中的最優(yōu)預(yù)測(cè)問(wèn)題(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,舉例：軍用雷達(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài)(距離、速度)預(yù)測(cè)測(cè)量方程：Y(n)=A(n)+(n)n0,N-1Y(n):n時(shí)刻目標(biāo)距離的測(cè)量值(已知)A(n):n時(shí)刻實(shí)際的目標(biāo)距離值(未知)(n):測(cè)量誤差(隨機(jī)過(guò)程,概率分布密度函數(shù)及相關(guān)特性已知)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程：A(n+1)=

10、A(n)+TV(n)+(1/2)T2W(n)V(n+1)=V(n)+TW(n)V(n):目標(biāo)第n個(gè)時(shí)刻的速度(未知)T:時(shí)間采樣間隔W(n):目標(biāo)的加速度擾動(dòng)(概率密度、相關(guān)性已知),假設(shè)為帶有加速度擾動(dòng)的勻速運(yùn)動(dòng),如何預(yù)測(cè)目標(biāo)未來(lái)狀態(tài)?A(n),V(n)(nN-1),社會(huì)及國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題舉例1.19世紀(jì)末中華民族無(wú)人能解的一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,加拿大山貓年捕獲量數(shù)據(jù)(1821-1878),269,321,585,871,1475,2821,3928,5943,4950,2577,523,98,184,279,409,2285,2685,3409,

11、1824,409,151,45,68,213,546,1033,2129,2536,957,361,377,225,360,731,1638,2725,2871,2119,684,299,236,245,552,1623,3311,6721,4254,687,255,473,358,784,1594,1676,2251,1426,756,299,假設(shè)今年為1878年,請(qǐng)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型,得到明年及1880,1881,1882,1883五年內(nèi)的山貓捕獲量的預(yù)測(cè).,有限次差分后平穩(wěn),2.現(xiàn)在一個(gè)很容易解決的問(wèn)題,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,舉例:某城市居民季度用煤消耗量(單

12、位:噸),請(qǐng)預(yù)測(cè)1997年度每個(gè)季度的用煤消耗量,非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程:(1)趨勢(shì)項(xiàng);(2)季節(jié)(周期)項(xiàng),含噪信號(hào)的最優(yōu)處理問(wèn)題,1.3,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,信號(hào)處理的主要研究?jī)?nèi)容從噪聲背景中檢測(cè)感興趣的信號(hào)、提取信息或?qū)π盘?hào)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)圖像處理、語(yǔ)音信號(hào)處理、數(shù)據(jù)處理,最優(yōu)信號(hào)處理方法信號(hào)處理的方法不僅與信號(hào)本身的特性有關(guān)，還與噪聲背景的統(tǒng)計(jì)特性(概率密度分布、功率譜等)密切相關(guān)；從事通信與電子系統(tǒng)領(lǐng)域研究的人員除了掌握確定性的信號(hào)與系統(tǒng)分析方法外，必須了解噪聲等隨機(jī)過(guò)程的特性，掌握各種統(tǒng)計(jì)方法在信號(hào)處理中的應(yīng)用,信號(hào)處理方法舉例1：最優(yōu)預(yù)測(cè),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)

13、學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,設(shè)x(n)(n=1,2,)為離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，n為采樣時(shí)刻；該隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)及功率譜定義為,(數(shù)學(xué)期望),如果該隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度函數(shù)為,則最優(yōu)的因果IIR3步預(yù)測(cè)方程為,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,其中,(逆z變換),如果該隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度函數(shù)為,則最優(yōu)的因果IIR3步預(yù)測(cè)濾波器應(yīng)修正為,隨機(jī)信號(hào)的最優(yōu)預(yù)測(cè)方法與其統(tǒng)計(jì)特性有關(guān),信號(hào)處理方法舉例2：最優(yōu)估計(jì),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,利用氣壓計(jì)對(duì)某棟高樓的高度進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)甲班各個(gè)學(xué)生的測(cè)量結(jié)果，該樓高度的測(cè)量值的平均值為h0，變化的范圍(方差)為02，測(cè)量值分布接近高斯分布。,現(xiàn)

14、由乙班對(duì)該樓高度h進(jìn)行測(cè)量，N個(gè)學(xué)生中第n個(gè)學(xué)生的測(cè)量值xn,第n個(gè)學(xué)生的測(cè)量?jī)x器的精度(誤差的方差)為n2;誤差服從正態(tài)分布,各觀測(cè)相互獨(dú)立。(1)不參考甲班的測(cè)量結(jié)果，且假設(shè)乙班不同儀器的測(cè)量精度相同，12=22=N2,則高度的最優(yōu)估計(jì)值為,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,(簡(jiǎn)單平均),(2)不參考甲班的測(cè)量結(jié)果，但乙班每個(gè)學(xué)生的測(cè)量?jī)x器的精度不同，則高度的最優(yōu)估計(jì)值為,(加權(quán)平均，精度越高，方差越小，加權(quán)系數(shù)越大),(3)參考甲班的測(cè)量結(jié)果，則高度的最優(yōu)估計(jì)值為,信號(hào)處理方法舉例3：正弦信號(hào)的參數(shù)估計(jì),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,(已知),假設(shè)觀測(cè)噪聲(n)服

15、從零均值正態(tài)分布,各觀測(cè)值之間相互獨(dú)立，求A、B的最優(yōu)估計(jì)值,頻率已知、幅相未知的正弦信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。假設(shè)獲得了正弦信號(hào)在N個(gè)不同時(shí)刻的觀測(cè)值,為什么不能解方程？,僅僅兩個(gè)參數(shù)而已?,信號(hào)處理方法舉例4：數(shù)據(jù)的最優(yōu)平滑(維納濾波器),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,x(n)：測(cè)量數(shù)據(jù)(已知)；s(n)：需要恢復(fù)的信號(hào)數(shù)據(jù)(未知)(n)：測(cè)量誤差(未知且隨機(jī))。如何恢復(fù)s(n)？,濾波器h(n),含噪數(shù)據(jù)x(n),恢復(fù)的數(shù)據(jù)s1(n),求解如下的最優(yōu)化問(wèn)題：,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,其中：,(信號(hào)相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，信號(hào)功率譜),(噪聲相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，噪聲

16、功率譜),濾波器的單位脈沖響應(yīng),社會(huì)與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理方法1.統(tǒng)計(jì)描述方法對(duì)所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理，計(jì)算綜合性的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，描述所研究的隨機(jī)現(xiàn)象的總體數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系2.統(tǒng)計(jì)推斷方法在對(duì)已獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述的基礎(chǔ)上，建立預(yù)測(cè)模型，對(duì)未知的或未來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷。統(tǒng)計(jì)研究的作用(1)提供決策咨詢服務(wù)；(2)提供監(jiān)督服務(wù)；(3)提供其他形式的信息服務(wù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,社會(huì)與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)舉例：移動(dòng)通信公司之客戶保持已知?dú)v史客戶(包括離網(wǎng)客戶、忠誠(chéng)客戶)的基本屬性，例如：性別、年齡、職業(yè)類(lèi)型、在網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)、發(fā)展渠道、繳費(fèi)方式、繳費(fèi)途徑、平均每次繳費(fèi)金額、平均

17、每月話費(fèi)、所選套餐類(lèi)型、.(1)如何確定影響客戶是否離網(wǎng)的最主要屬性(因素)？(2)如何根據(jù)歷史客戶數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)目前在網(wǎng)客戶的離網(wǎng)可能性？(3)對(duì)離網(wǎng)可能性比較大的客戶，應(yīng)采取何種針對(duì)性的營(yíng)銷(xiāo)或客戶保持措施，以最低的活動(dòng)成本實(shí)現(xiàn)客戶保持？,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量及其數(shù)字特征,1.4,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量(事件變量，物理描述數(shù)學(xué)問(wèn)題)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Se，如果對(duì)于每一個(gè)eS，有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)和它對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在S上的單值實(shí)函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機(jī)變量，一般簡(jiǎn)記為X。,舉例1：拋擲硬幣(隨機(jī)試驗(yàn)E)樣本

18、空間S正面朝上，反面朝上定義：如果正面朝上，則X=0；反面朝上，則X=1則X為隨機(jī)變量，且取值為離散的，稱為離散隨機(jī)變量,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,舉例1(續(xù))P(X=0)=0.5(X取值為0的概率);P(X=1)=0.5,舉例2：用標(biāo)尺測(cè)量長(zhǎng)度，最小刻度單位1mm樣本空間S=長(zhǎng)度測(cè)量誤差的分布范圍設(shè)X為測(cè)量值與實(shí)際值之間的誤差，則X為隨機(jī)變量，且取值范圍為連續(xù)區(qū)間-0.5mm,0.5mm，稱為連續(xù)隨機(jī)變量。對(duì)于本例，PxXy=miny,0.5-maxx,-0.5(隨機(jī)變量X取值落在區(qū)間x,y)內(nèi)的概率),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,古典概率模型,若某一隨機(jī)事

19、件可以分解為某些基本事件的組合,則該事件發(fā)生的概率為這些基本事件發(fā)生概率的和。舉例：設(shè)離散隨機(jī)變量X有只有3種可能的取值0,1,2;各種取值出現(xiàn)的概率為0.2,0.5,0.3;求X1.5這一事件的發(fā)生概率。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,幾何概率模型,若向有界區(qū)域G內(nèi)投擲質(zhì)點(diǎn)，所有質(zhì)點(diǎn)落在G中任何一點(diǎn)是等可能的(均勻分布)，若g是G中一部分，則質(zhì)點(diǎn)落在g中的概率：P=g的區(qū)域?qū)挾?G的區(qū)域?qū)挾?。舉例：設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X在-3,1區(qū)間內(nèi)均勻分布;求X0.2這一事件的發(fā)生概率。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,全概率公式與貝葉斯公式舉例,設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)E例如：從n個(gè)車(chē)間的產(chǎn)

20、品中隨機(jī)地抽取1個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)的樣本空間例如：抽到車(chē)間1的正品，抽到車(chē)間1的劣品，抽到車(chē)間2的正品，抽到車(chē)間2的劣品，,抽到車(chē)間n的正品，抽到車(chē)間n的劣品(2n個(gè)基本事件),設(shè)A1、A2、An為S的一個(gè)劃分例如事件Ai：“抽到車(chē)間i的產(chǎn)品”,即,空集,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,設(shè)B為任意的隨機(jī)事件例如：抽到劣品，則B發(fā)生的概率為,P(A1)、P(A2)、P(AN)稱為先驗(yàn)概率例如P(Ai)為車(chē)間i的產(chǎn)品占總產(chǎn)品的比例，P(B|Ai)為似然概率(條件概率)例如：車(chē)間i的產(chǎn)品是劣品的概率,全概率公式,假如B已經(jīng)發(fā)生例如抽到劣品，則該事件在多大的可能性上應(yīng)由Ai負(fù)責(zé)？例如：“抽到的劣品

21、是車(chē)間i的產(chǎn)品的概率”(與“車(chē)間i的產(chǎn)品是劣品的概率”并不等價(jià))，如何計(jì)算P(Ai|B),貝葉斯公式,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,P(Ai|B）稱為后驗(yàn)概率事件發(fā)生后對(duì)事件各種起因的可能性的概率性推斷，P(Ai,B）稱為聯(lián)合概率例如：既是劣品又是車(chē)間i的產(chǎn)品的概率,貝葉斯公式,顯然，B肯定來(lái)源于劃分中的其中某一個(gè)例如：劣品肯定來(lái)自某個(gè)車(chē)間，劣品來(lái)自于各車(chē)間的概率和為1,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,例題：已知某地區(qū)銷(xiāo)售的計(jì)算機(jī)主板有20%來(lái)自供應(yīng)商1，50%來(lái)自供應(yīng)商2，30來(lái)自供商3。假定這三個(gè)供應(yīng)商所生產(chǎn)的主板的不合格率已知，分別為0.01、0.004和0.0

22、08，請(qǐng)計(jì)算每個(gè)供應(yīng)商應(yīng)承擔(dān)的責(zé)任(主板返修費(fèi)用)比例。,雖然不合格比例低,但產(chǎn)品量大,承擔(dān)責(zé)任不一定少,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù),(x的單調(diào)非減函數(shù)),概率分布函數(shù),概率密度分布函數(shù),關(guān)系,根據(jù)幾何概型,為什么是x+,非負(fù)函數(shù),可能存在不連續(xù)點(diǎn),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例1,設(shè)離散隨機(jī)變量X有3種可能的取值0,1,2;各種取值出現(xiàn)的概率為0.2,0.5,0.3;求其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù),解:根據(jù)古典概型,注意定義及開(kāi)閉區(qū)間,單位階躍函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)

23、過(guò)程概述,單位階躍函數(shù)(詳見(jiàn)信號(hào)與系統(tǒng)),在x=0處不連續(xù),u(0)=1,u(0-)=0,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,其中,()為單位沖激函數(shù),滿足,在信號(hào)與系統(tǒng)理論中,采用單位沖激函數(shù)解決不可微問(wèn)題,其他任何位置的導(dǎo)數(shù)為零，x=0,1,2三處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大(不同的無(wú)窮大),對(duì)無(wú)窮大的約束,沖激強(qiáng)度為1,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)的關(guān)系,u(x),x,0,1,兩個(gè)1的區(qū)別,偶函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,舉例：利用沖激函數(shù)的積分性質(zhì)求概率分布函數(shù),(1),(2),在,內(nèi)的x=0處有一個(gè)沖激,其他位置處的積分和為零,

24、+號(hào)可省去,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,沖激強(qiáng)度分別為0.2,0.5,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,推廣到離散隨機(jī)變量的更一般情況,設(shè)離散隨機(jī)變量X有I種可能的取值x1,x2,xI;其中第i(i=1,2,I)取值出現(xiàn)的概率為pi;則其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù)分別為,參見(jiàn)前面FX(x)圖,根據(jù)古典概型,附錄：沖激函數(shù)積分性質(zhì)：設(shè)g(x)在x0處連續(xù)，則,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例2,設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量在區(qū)間a,b上服從均勻分布;求其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù),解:根據(jù)幾何概型,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨

25、機(jī)過(guò)程概述,多維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度分布函數(shù),設(shè)X1、X2、XN為不同的隨機(jī)變量，則其聯(lián)合概率分布函數(shù)以及概率密度分布函數(shù)定義為,多個(gè)隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生的概率,省去“+”,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,多維連續(xù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì),(練習(xí)：證明其為所有變量的單調(diào)非減函數(shù)),事件,可以分解為,情況下,的所有事件之和，等價(jià)于事件,下面考察如何由高維分布得到低維分布。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,邊緣分布,上式兩邊對(duì)x1,x2,xn-1求偏導(dǎo)，再作變量置換,采用遞推方法不難得到：,根據(jù)古典概型得到：,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨

26、機(jī)變量之間相互獨(dú)立的定義,如果,或,則這n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,離散隨機(jī)變量的相互獨(dú)立，要求對(duì)所有可能組合(x1,x2,xn),對(duì)于離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率分布或分布律定義為,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,(1)均值(數(shù)學(xué)期望),(連續(xù)隨機(jī)變量),(有I種取值的離散隨機(jī)變量),(2)方差,(連續(xù)),(離散),或,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,(3)k階原點(diǎn)矩,(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),(4)k階中心矩,(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),1階原點(diǎn)矩即為均值，二階中心矩即為方差；二階原點(diǎn)矩稱為均方值，滿足,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)

27、過(guò)程概述,(5)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),(6)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)函數(shù),(連續(xù)隨機(jī)變量),(離散隨機(jī)變量),附錄(證)：,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,(離散隨機(jī)變量),(9)多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,(8)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,(連續(xù)隨機(jī)變量),(7)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差函數(shù),對(duì)于零均值變量，協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)等價(jià),顯然,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量之間不相關(guān)及正交的定義,若,則稱兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y互不相關(guān),若,則稱兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互正交,在零均值情況下，正交與不相關(guān)等價(jià),湖南大學(xué)教學(xué)課

28、件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量數(shù)字特征的性質(zhì),以c為變量的拋物線在c軸上方的充要條件,A,根據(jù)同理可得,B:對(duì)稱性,附錄,證：根據(jù)定義以及乘法的交換率(練習(xí)),為什么？,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),A,B,C,常數(shù)b只影響均值，不影響方差,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,附錄:,概率密度函數(shù)的全積分為1,邊緣分布,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望性質(zhì),利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)(將整個(gè)函數(shù)作為新的隨機(jī)變量),當(dāng)各隨機(jī)變量不相關(guān)時(shí),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,(10)多維隨

29、機(jī)矢量的均值矢量,定義由n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量,則其均值矢量定義為,各隨機(jī)變量的均值所構(gòu)成的矢量,(10)多維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣(n行n列對(duì)稱矩陣),協(xié)方差矩陣的第i行第j列元素值為,矩陣對(duì)稱性Cij=Cji,列矢量,行矢量,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,附錄：(證明)若兩個(gè)變量相互獨(dú)立，則必然不相關(guān)(反之不一定),證：設(shè)X、Y兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，即,則：,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,正態(tài)分布以及多維聯(lián)合正態(tài)分布的定義,設(shè)X為隨機(jī)變量，如果其概率密度函數(shù)為,則稱X服從均值為u，方差為2的正態(tài)分布或高斯分布,容易證明(參見(jiàn)后面附錄)：,概率密度函數(shù)的積分性質(zhì),湖

30、南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,當(dāng)u=0,2=1時(shí)，此時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,x,0,fX(x),mX=u,u,x=u+,x=u-,最大值點(diǎn)(均值u處)、最大值、兩個(gè)拐點(diǎn)、對(duì)稱性、漸近線平移參數(shù)u，形狀參數(shù)(方差的性質(zhì)？),x,u,fX(x),=1,=1.5,=3,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,附錄,直角坐標(biāo)系內(nèi)的積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系內(nèi)的積分,練習(xí)：在此式的基礎(chǔ)上運(yùn)用常規(guī)的積分方法證明前面的3個(gè)式子,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,如果這n個(gè)隨機(jī)變量的多維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)滿足,下面介紹多維聯(lián)合正態(tài)分布。定義n維隨機(jī)矢量,定義隨機(jī)變量取值所構(gòu)成的矢量,

31、C：nn的正定方陣、對(duì)角線元素值大于0；|：行列式值,n維常數(shù)列矢量,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,則稱這n個(gè)隨機(jī)變量服從聯(lián)合正態(tài)分布，且均值矢量以及協(xié)方差矩陣滿足,容易證明(見(jiàn)第4章ppt附錄)：,對(duì)除xi外的所有變量積分(n-1重積分),矩陣的數(shù)學(xué)期望的概念,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,結(jié)論1：若多個(gè)隨機(jī)變量服從聯(lián)合正態(tài)分布，則其中的任意變量服從正態(tài)分布(反之則不一定),進(jìn)一步,若C為對(duì)角矩陣，即,對(duì)稱矩陣,于是可得到如下結(jié)論:,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,結(jié)論2：若多個(gè)隨機(jī)變量服從聯(lián)合正態(tài)分布，且各

32、變量互不相關(guān)，則這些變量相互獨(dú)立,其他分布不一定滿足此性質(zhì),則多維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,結(jié)論2的推論：若多個(gè)隨機(jī)變量各自服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立(充分條件，并非必要條件)，則其聯(lián)合分布為聯(lián)合正態(tài)分布。二維情況的充分必要條件為：,容易證明(練習(xí))：若隨機(jī)變量X、Y分別服從均值、方差分別為(mX,X2)、(mY,Y2)的正態(tài)分布，且在X=x的情況下，Y的條件概率密度分布為如下的正態(tài)分布,則X、Y服從聯(lián)合正態(tài)分布，且r為兩變量的相關(guān)系數(shù),即,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,(相關(guān)系數(shù)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量函數(shù)

33、的概率密度分布,1.5,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,1.單調(diào)單變量函數(shù)的概率密度分布設(shè)隨機(jī)變量X和Y存在單調(diào)函數(shù)關(guān)系Y=g(X)，存在唯一反函數(shù)X=h(Y)。如果Y在任意小區(qū)間(y,y+dy)內(nèi)變化時(shí)，X在(h(y),h(y)+dy)區(qū)間內(nèi)變化，這兩個(gè)事件的概率相等，即,(dy、dx可能為負(fù),但區(qū)間的長(zhǎng)度是正的,取絕對(duì)值),得到,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,證(附錄)：設(shè),性質(zhì)：若X服從正態(tài)分布，Y是X的線性函數(shù)，則Y也服從正態(tài)分布,則有：,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,附錄:實(shí)際應(yīng)用中，可利用上述性質(zhì)以及概率論中數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)，直接寫(xiě)出Y的

34、概率密度分布函數(shù),則有：,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),方差的性質(zhì),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,2.多值單變量函數(shù)的概率密度分布設(shè)隨機(jī)變量X和Y存在函數(shù)關(guān)系Y=g(X)，除個(gè)別的Y值外，存在多個(gè)反函數(shù)(以2個(gè)為例)X=h1(Y)、X=h2(Y)。如果Y在任意小區(qū)間(y,y+dy)內(nèi)變化時(shí)，則X可以在兩個(gè)區(qū)間(h1(y),h1(y)+dy)、(h2(y),h2(y)+dy)區(qū)間內(nèi)變化，這兩個(gè)事件的概率相等，即,得到:,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,隨機(jī)變量Y和X間的關(guān)系為Y=sin(X)，X在區(qū)間-X內(nèi)服從均勻分布。求隨機(jī)變量Y的概率密度,多值函數(shù)概率密度分布函數(shù)舉例,解：-1Y

35、1，對(duì)于任意一個(gè)Y值(0除外)，有兩個(gè)X值與之對(duì)應(yīng)，有,值域范圍?,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,3.多變量函數(shù)的概率密度分布,如果存在唯一的反函數(shù),對(duì)于多維隨機(jī)變量的函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,根據(jù)高等數(shù)學(xué)：,其中表示矩陣J的行列式值的絕對(duì)值，J為如下的矩陣(雅可比矩陣),“超體積”放大系數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,(附錄)以二維為例,當(dāng)矢量的終點(diǎn)在2維平面上由如下四個(gè)頂點(diǎn)組成的長(zhǎng)方形區(qū)域(面積為dy1dy2)內(nèi)時(shí),則矢量的終點(diǎn)落在由如下四個(gè)頂點(diǎn)組成四邊形區(qū)域內(nèi)(邊之間不一定垂直,也可能是曲邊),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概

36、述,附錄:可以證明(高等數(shù)學(xué)),該四邊形區(qū)域的面積為,對(duì)于二維情況,根據(jù)等概率事件原理,有,矩陣的行列式值的絕對(duì)值,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,定理：若X1、X2、.、Xn服從聯(lián)合正態(tài)分布，則這些隨機(jī)變量的任意線性組合服從聯(lián)合正態(tài)分布,定義由n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量,設(shè)A為任意的可逆矩陣(n行n列)，定義另外的n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量,令：,顯然，任意的Yi都是X1、X2、Xn的線性組合,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,于是可以得到,設(shè)：,其中：,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,于是有,其中：,由,得到,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,矩陣及行列

37、式的各種性質(zhì)以及C的正定性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,于是得到Y(jié)1、Y2、Yn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,結(jié)論：多維隨機(jī)矢量服從均值矢量為，協(xié)方差矩陣為的聯(lián)合正態(tài)分布；根據(jù)前面的結(jié)論1，則其中的任意變量Yi或X1、X2、Xn的任意線性組合服從正態(tài)分布。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,附錄:實(shí)際應(yīng)用中，可利用上述性質(zhì)，直接得到Y(jié)的概率密度分布函數(shù),舉例：X1、X2服從0均值方差為2的正態(tài)分布，兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)為0.5,(1)分別求Y1、Y2的概率密度分布函數(shù)，(2)求Y1、Y2的聯(lián)合概率密度分布函數(shù),解:(1)正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合依然服從正態(tài)分布,湖南大學(xué)教學(xué)課

38、件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,同理可以求得(練習(xí))：,(2),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,均方值性質(zhì)以及相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)、均值的關(guān)系,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,驗(yàn)證邊緣分布(練習(xí)/自學(xué))：,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,均值為、方差為26(1-0.8912)的正態(tài)分布函數(shù)的全積分為1(任意均值成立),均值為0情況下的條件正態(tài)分布,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,性質(zhì)(練習(xí)/自學(xué))：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)Y1可以通過(guò)兩個(gè)相互獨(dú)立的0,1區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)X1、X2按照如下的函數(shù)產(chǎn)生,證：按如下方式構(gòu)造另外一個(gè)隨機(jī)變量,存在唯一反函數(shù)

39、關(guān)系,求概率密度分布函數(shù)的技能之一:構(gòu)造新的變量,形成多維函數(shù)關(guān)系,四象限反正切函數(shù),值域范圍0,2,通過(guò)反正切函數(shù)的值域擴(kuò)展得到,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,雅可比行列式值為,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,Y1、Y2的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為,Y1、Y2的概率密度分布函數(shù)均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。,X1、X2的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,技巧(練習(xí)/自學(xué))：利用概率密度分布函數(shù)的積分特性求無(wú)窮區(qū)間內(nèi)的函數(shù)積分,變換成正態(tài)概率密度分布函數(shù)的積分形式,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,求正態(tài)分布隨機(jī)變量的均方值,隨機(jī)變量的特征函數(shù),1.6,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,1.連續(xù)型隨機(jī)變量X的特征函數(shù),概率密度函數(shù)的頻域特征(在某些時(shí)候,采用頻域分析方法比時(shí)域分析方法更方便),(概率密度函數(shù)的傅立葉變換?X的函數(shù)ejX的數(shù)學(xué)期望),參見(jiàn)工程數(shù)學(xué)之積分變換復(fù)變函數(shù),為虛數(shù)單位,(歐拉定理),為復(fù)數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程概述,2.離散型隨機(jī)變量X的特征函數(shù),特征函數(shù)與概率密度函數(shù)的傅立葉變換對(duì)關(guān)系,為什么稱為特征函數(shù)？,附錄：,見(jiàn)附錄,與標(biāo)準(zhǔn)傅立葉