非壽險精算答案整理

1、一：假設(shè)某保單的損失服從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為其中，為未知參數(shù)，如果該保單過去各年的損失觀測值為，求參數(shù)的極大似然估解：利用極大似然估計的方法，可以得到二：假設(shè)某保險業(yè)務(wù)的累積損失S服從復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)為20，而每次損失的金額服從均值為100的指數(shù)分布，用正態(tài)近似求累積損失的99%的分位數(shù)。解：分位數(shù)=加二、某保單規(guī)定的免賠額為20，該保單的損失服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布，求該保險人對該保險保單的期望賠款。解：令為保險人的賠款隨機(jī)變量三、假設(shè)某公司承保的所有汽車每年發(fā)生交通事故的次數(shù)都服從泊松分布，而不同汽車的泊松分布參數(shù)不同，假設(shè)只取兩個值（1或2），進(jìn)一步假設(shè)的先驗(yàn)分布為，如果汽車

2、一年內(nèi)發(fā)生4次事故，求該汽車索賠頻率的后驗(yàn)分布。解： +=1.7969四：假設(shè)某險種的損失次數(shù)服從參數(shù)為0.2的泊松分布，對于一次保險事故，損失為5000元的概率是80%，損失為10000元的概率是20%，請計算保險公司的累積損失的分布解：為簡化計算，假設(shè)一個貨幣單位為5000元，解： ，依次類推得其他計算結(jié)果如下表x00.0.10.0.20.0.30.0.40.0.50.0.60.0.五：假設(shè)某保險人簽發(fā)了兩份保單A和B，每份保單可能發(fā)生的損失額及相應(yīng)的概率如下表：AB損失額概率損失額概率00.60000.72000.220000.320000.06200000.1200000.04求累積損

3、失概率。解：保險公司的累積損失及概率損失概率A的損失B的損失A+B的損失六：假設(shè)保險業(yè)務(wù)在一年內(nèi)是均勻分布，保險期限為1年，各日歷年的已賺保費(fèi)如下，2000年為200千元，2001年為250千元，2002年為300千元，最近幾次的費(fèi)率調(diào)整如下表，費(fèi)率調(diào)整日期調(diào)整幅度1998年7月1日10%1999年7月1日8%2001年7月1日10%請計算以該表最新的費(fèi)率水平表示的2000-2003年的已賺保費(fèi)。解：如果把1998年生效的相對費(fèi)率看做是1，則1999年生效的相對費(fèi)率為1.08,2001年生效的相對費(fèi)率為，2000年的相對費(fèi)率為，2001年的相對費(fèi)率為1.08*12.5%+1.1772*12.5

4、%=1.09215,2002年的相對費(fèi)率為1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，將所有年費(fèi)的已賺保費(fèi)調(diào)整到2002年的水平，可得等水平已賺保費(fèi)為3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28八：某險種當(dāng)年的相對費(fèi)率和保費(fèi)收入、過去三年的等水平已賺保費(fèi)和經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)如下表所示，假設(shè)A為基礎(chǔ)類別，經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度為40%，如果整體保費(fèi)需要上調(diào)15%，請計算調(diào)整后的相對費(fèi)率。經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)風(fēng)險類別當(dāng)年的相對費(fèi)率當(dāng)年的保費(fèi)收入過去三年的等水平已賺保費(fèi)過去三年的經(jīng)驗(yàn)損失A1600016000480

5、0B1.26500150003500C1.35500150003200解：有實(shí)際賠付經(jīng)驗(yàn)可知查表可知因此完全可信性所需的索賠次數(shù)不能小于又由于每份保單的索賠頻率為0.03，所以發(fā)生445次索賠所需要的保單數(shù)為445/0.03=14848十、假設(shè)某險種的保險期限為1年，新費(fèi)率的生效日期是2005年7月1日，目標(biāo)賠付率為60%，如果每年按5%的速度增長，請根據(jù)下表計算費(fèi)率的調(diào)整幅度。 經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率保單年度根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率計算的保費(fèi)最終賠款權(quán)重2003200010000.32004300020000.7解：2003年簽發(fā)的保單，其賠款平均在2004年1月1日支出。2005年7月1日簽發(fā)的保單，其賠款平均在2

6、006年7月1日支出。因此把2003年的保單年度的最終賠款調(diào)整到2006年7月1日得水平即為，同樣把2004年保單年度的最終賠款調(diào)整到2006年7月1日的水平即為保單年度根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率計算的保費(fèi)最終賠款權(quán)重經(jīng)趨勢調(diào)整后的最終賠款經(jīng)驗(yàn)賠付率2003200010000.31129.730.56492004300020000.72151.860.7173平均經(jīng)驗(yàn)賠付率=0.5649*0.3+0.7173*0.7=0.6716費(fèi)率上調(diào)幅度=0.6716/0.6=12%十一：已知兩個風(fēng)險A和B的損失金額服從下述分布，其中風(fēng)險A發(fā)生損失的概率是風(fēng)險B的兩倍，如果已知某個風(fēng)險在某次事故的損失額為300元，求該

7、風(fēng)險下次損失額的BL估計。損失額風(fēng)險A的概率分布風(fēng)險B的概率分布3000.50.630000.30.3700000.20.1解： 信度估計值為十二、已知有四個風(fēng)險等級的被保險人，每人可能發(fā)生的損失為2或者4，其分布如下表所示，隨機(jī)選定某一風(fēng)險等級，并且從中選取四個被保險人，總的損失為4，如果從同一風(fēng)險等級中再抽取一個被保險人，請用bl-s信度模型估計這5個被保險人的總損失。解：類別概率均值方差一類2.20.36二類2.60.84三類31四類3.60.64 十三、假設(shè)不同被保險人的索賠頻率相互獨(dú)立，每個被保險人在每月的索賠次數(shù)服從泊松分布，不同被保險人的泊松參數(shù)互不相同，泊松參數(shù)服從伽馬分布，其

8、密度函數(shù)為，假設(shè)保險人在過去4個月份的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示，請應(yīng)用bl-s模型估計保險人在下個月的索賠次數(shù)。十四十六：已知 100個人投保，這些投保的個體有相互獨(dú)立的索賠，索賠的均值和方差按照性別分別如下表：均值方差男性24女性210設(shè)S為總的索賠量，總的保險費(fèi)按照收取，這100個成員中，男女性別個數(shù)未知，設(shè)男性有N個人，N服從二項分布，。求總保費(fèi)為多少？解：設(shè)X表示男性索賠，Y表示女性索賠，N表示男性個數(shù)，則總索賠為男、女之和，即 則 =320 D(S)= 所以總保費(fèi)為=378.5十七、設(shè)，計算總索賠S的分布的概率。一：一般解法： 經(jīng)計算為X0100000.135310.10000.02707

9、20.20.01000.0568330.30.040.0100.0922240.40.10.060.0010.13688N012340.13530.27070.27070.18040.451方法二：其中，服從參數(shù)為的泊松分布，列成下表進(jìn)行計算X00.81870.67030.54880.44930.135310.163750000.0270720.0.2681000.0568330.0010900.329300.0922240.0.053600.35930.136880.20.40.60.8十八：由張同類醫(yī)療保單的組合，設(shè)被保險人的損失是相互獨(dú)立的，保單規(guī)定保險人只賠付被保險人所發(fā)生損失的80%

10、，設(shè)在保險期間內(nèi)可能發(fā)生的損失都服從分布X0502005001000100000.30.10.10.20.20.1若要求所收取的保費(fèi)總額低于理賠總額的概率不超過5%，試確定安全附加保費(fèi)解：設(shè)損失變量為，則理賠變量為，又設(shè)安全附加費(fèi)為，則保費(fèi)總額為則根據(jù)題意有所以安全附加保費(fèi)為1.645*=.9十九：一個保險公司為投保人提供三種保險，其特征見下表：種類人數(shù)索賠概率個體賠付期望15000.055210000.11035000.155已知對于每一個投保人，在索賠發(fā)生的條件下，個體索賠量得期望與方差相等，且保險供給將收取純保費(fèi)的倍為保費(fèi)，求相對附加保費(fèi)使得成立。解：設(shè)代表第i類得個體索賠變量，為0-1

11、變量，表示第i類索賠發(fā)生，表示第i類索賠不發(fā)生，代表在索賠發(fā)生的條件下，索賠的大小。則根據(jù)個體索賠量得定義，且，為索賠概率。則其中，且根據(jù)已知成立所以=12687.5查表的到：所以二十：某保險公司規(guī)定賠款最高限額是3000元時，超過部分由投保人自己支付，隨機(jī)變量X即一筆賠款的分布函數(shù)是，而遵從于試計算對一筆賠款應(yīng)由保險人支付平均額度。解：賠款額的概率密度是因此根據(jù)賠償限額的規(guī)定，我們得到二十一：假設(shè)汽車保險的損失分布是參數(shù)的帕累托分布： 求免賠額為20時的賠償期望值為多少？解：則賠款的期望值為二十二：假設(shè)某汽車保險的損失分布是參數(shù)的帕累托分布： 求免賠額為200時的賠償期望值為多少？解：二十三

12、：已知累積已付賠款的進(jìn)展量，現(xiàn)在去求各個進(jìn)展年的最終賠款。事故年進(jìn)展年012345200010242350326441224516493920011469319045205185567620021421296042785718200312482768411320041540315220052405解：將各進(jìn)展年的因子相鄰相除，得到相鄰進(jìn)展因子累積已付賠款的進(jìn)展因子事故年進(jìn)展年0123420002.29491.38891.26291.09561.093720012.17151.41691.14711.094720022.0831.44531.336620032.21791.485920042.0468加權(quán)平均值2.15161.43551.24561.09511.0937