控制理論lesson11-§1.8多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣

1、.,1.8 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,一.傳遞矩陣的概念 1.傳遞函數(shù)陣的概念 在經(jīng)典理論中，我們常用傳遞函數(shù)來(lái)表示單入、單出線性定常系統(tǒng)輸入輸出間的傳遞特性。 其定義是：零初始條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。 即 或,.,對(duì)于雙輸入雙輸出系統(tǒng)(見(jiàn)下圖)。按輸入的疊加性，將輸出分別用兩個(gè)方程表示出。如：u1(s),u2(s)為輸入，y1(s),y2(s)為輸出。,Gij表示第i個(gè)輸出與第j個(gè)輸入之間的傳函。,.,表示成矩陣形式：,即,則G(s)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣或稱傳遞矩陣。,.,對(duì)于多輸入、多輸出線性定常系統(tǒng)，也可把傳遞函數(shù)陣的概念如上推廣。 設(shè)系統(tǒng)有r個(gè)輸入變量，m個(gè)輸出變量。

2、 則傳遞矩陣的形式為：,.,U(s):輸入矢量. Y(s):輸出矢量 E(s):誤差矢量 G0(s):前向通道的傳遞矩陣 H(s):反饋通道的傳遞矩陣,2.閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣：,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的概念也可推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)中，稱為閉環(huán)傳遞矩陣。設(shè)多輸入多輸出閉環(huán)系統(tǒng)如下：,.,而,所以閉環(huán)傳遞矩陣為：,故,左乘逆陣 得,由結(jié)構(gòu)圖知：,.,表示第i個(gè)輸出與第j個(gè)輸入之間的傳遞函數(shù)。,其中：,2).傳遞矩陣是一個(gè)mr 階矩陣，其一般形式為：,1). 矢量不能寫(xiě)成 的比值形式。也不能任意交換運(yùn)算順序。如：,幾點(diǎn)討論：,.,即表示系統(tǒng)的第i個(gè)輸出只與第i個(gè)輸入有關(guān)。與其它輸入無(wú)關(guān)，實(shí)現(xiàn)了分離性控制。

3、,3).若傳遞矩陣是方陣(m=r),通過(guò)適當(dāng)線形變換化為對(duì)角形，稱為傳遞矩陣的解耦形式。,.,例：機(jī)械位移系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)原處于靜止?fàn)顟B(tài)。 輸入：F1,F2 輸出：Y1,Y2 求傳遞矩陣。,二.傳遞函數(shù)陣的求法：,1.由微分方程的拉氏變換式求傳遞矩陣.,.,解：寫(xiě)微分方程,寫(xiě)成矩陣形式：,設(shè)初始條件為零，取拉氏變換：,.,得,設(shè)零初始條件，取拉氏變換 .,2.由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣： 已知狀態(tài)空間表達(dá)式為:,.,可見(jiàn) 是G(s)中每一項(xiàng)的分母多項(xiàng)式，故A的特征值就是 G(s)的極點(diǎn)。,代入輸出,.,解：,求傳遞函數(shù)陣。,例：已知標(biāo)量系統(tǒng)：,.,例：,1.求出每個(gè)輸出與各個(gè)輸入的傳遞函數(shù) 2.將結(jié)構(gòu)圖整理成從各個(gè)輸入向各個(gè)輸出前向傳遞形式. 3.按圖中輸入輸出關(guān)系寫(xiě)傳遞矩陣.,3.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)陣：,.,即,定理：線性變換不改變系統(tǒng)得傳遞矩陣.,三.傳遞矩陣的性質(zhì)：,.,則變換后：,取線性變換P：,證明：設(shè)原系統(tǒng)的傳遞矩陣為：,.,圖1-44 子系統(tǒng)串聯(lián),四、子系統(tǒng)串并聯(lián)組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣,.,.,小結(jié)：三種數(shù)學(xué)模型的相互關(guān)系 ：,復(fù)域傳遞函數(shù)（陣） 微