物體的受力分析和靜力平衡方程

1、第一篇 工程力學(xué)基礎(chǔ),本篇主要討論兩個問題： 1)構(gòu)件的受力分析（靜力學(xué)） 靜力平衡的基本規(guī)律； 求解結(jié)構(gòu)上的未知力。 2)構(gòu)件的承載能力分析（材料力學(xué)） 強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性，即桿件 受力后的基本變形（拉、壓、彎、 扭）。,第一章 物體的受力分析和靜力平衡方程,靜力學(xué)主要研究： (1)力系的簡化； (2)剛體的平衡條件。,根據(jù)實際問題抽象建立力學(xué)模型 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法描述客觀規(guī)律 應(yīng)用數(shù)學(xué)工具得到解決問題的方法,研 究 方 法,.,第一節(jié) 靜力學(xué)基本概念,一、力的概念及作用形式,力的三要素：大小、方向、作用點,力的單位： N(牛頓)，kN(千牛),1、力: 是物體間相互的機(jī)械作用，這種作用使物體的

2、機(jī)械運動狀態(tài)發(fā)生變化（外效應(yīng)），或使物體發(fā)生變形（內(nèi)效應(yīng)）。,(一)概念,力的表示方法： 常用黑體字母表示,(二)力的表現(xiàn)形式,(1)集中力:集中作用在很小面積上的力（近似看成作用在某一點上）。 (2)分布(載荷)：連續(xù)分布在一定面積或體積上的力；單位長度上的均布載荷，稱載荷集度（q）。,.,二、剛體的概念 在任何情況下都不發(fā)生變形的物體。 （理想化的力學(xué)模型）,.,載人飛船的對接,研究軌道問題時質(zhì)點 研究對接問題時剛體,(1)二力平衡原理 作用于剛體上的兩個力平衡的必要充分 條件是- 等值、反向、共線。,三、平衡的概念,推論：二力桿上作用的兩個外力，其力作用線必與二力作用點的連線重合，與二力

3、桿的實際幾何形狀無關(guān)。,重要名詞: 二力桿(二力體，二力構(gòu)件): 僅在兩點受力而處于平衡的物體或構(gòu)件。,用途：已知兩力的作用點，確定其作用線。,二力桿實例：,(2)力的平行四邊公理 作用于同一點的兩個力可以合成為一個合力，合力的大小和方向是以這兩個力為鄰邊的平行四邊形的對角線矢量，其作用點不變。也即： 合力等于兩分力的矢量和。,合力的正交分解,推論： 三力平衡匯交定理：如果一物體受三個力作用而處于平衡時，若其中兩個力的作用線相交于一點，則第三個力的作用線必交于同一點。,(3)加減平衡力系原理 在作用于剛體的任何一個力系上，加上或減去任一平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用效果。,推論: 力的可

4、傳性原理: 作用于剛體上的力，可以沿其作用線滑移， 而不改變對剛體的作用效果。,F1=F2=F,四、作用與反作用力定律 任何兩物體間的相互作用力總是成對出現(xiàn)，并且等值、反向、共線， 分別同時作用在兩個物體上。 應(yīng)用：研究由幾個物體構(gòu)成的系統(tǒng)的受力時常用。 注意：作用力和反作用力同平衡力的區(qū)別。,(一)基本概念,約束：對于某一物體的活動起限制作用的其它物體； 約束反力：約束對被約束物體的作用力（限制物體運 動的力）；其方向總是與約束所阻止的物 體運動趨勢方向相反。 主動力：引起物體運動和運動趨勢的力（載荷）； 被動力：由主動力的作用而引起的力。,第二節(jié) 約束及約束反力,（二）常見的約束類型及其反

5、力,1.柔性約束,特點： 柔性體約束只能承受拉力，不能受壓。約束反力的作用線沿著被拉直的柔性物體中心線且背離物體運動方向。約束反力是作用在接觸點，限制物體沿柔性體伸長的方向運動，是離點而去的力。,由柔軟的繩索、鏈條或皮帶構(gòu)成的柔性體約束,柔性約束實例：,約束反力作用在接觸點處，方向沿公法線，指向受力物體，是向點而來的力。,2.光滑面約束 (光滑指摩擦不計),特點：只受壓，不受拉，沿接觸點處的公法線而指向物體，一般用N表示，又叫法向反力。,光滑面約束實例：,.,光滑面約束實例：,.,3.圓柱鉸鏈約束,圓柱鉸鏈約束：約束反力通過銷釘中心，沿接觸點公法線方向。通常用兩個正交分量Fx和Fy來表示。,鉸

6、支座：用圓柱鉸鏈將一個構(gòu)件與底座連接。 分為固定鉸支座和可動鉸支座,(1)固定鉸鏈約束 (固定鉸支座),被連接件A只能繞銷軸轉(zhuǎn)動，而不能沿銷軸半徑方向移動。,鉸支座：用圓柱鉸鏈將一個構(gòu)件與底座連接。 分為固定鉸支座和可動鉸支座,特點：約束反力的指向隨桿件，受力情況不同而相應(yīng) 地變化。約束反力的作用線通過鉸鏈中心，但其方向 待定，通常用水平和鉛垂兩個方向的分力表示。,固定鉸支座的幾種表示:,固定鉸鏈約束實例：,(2)活動鉸鏈約束 （可動鉸支座、輥軸支座）,特點：約束反力的指向必定垂直于支承面，并通過 鉸鏈中心指向物體。,活動鉸支座的幾種表示:,3.固定端約束 P9,特點：限制物體三個方向 運動，

7、產(chǎn)生三個約束反力。 既不允許構(gòu)件作縱向或橫 向移動，也不允許構(gòu)件轉(zhuǎn) 動。,物體的一部分固嵌于另一物體所構(gòu)成的約束。 如：建筑物中的陽臺、電線桿、塔設(shè)備、跳臺（跳板）等。,固定端約束的托架,固定端約束實例：,1.概念,分離體：將所要研究的物體從周圍物體中單獨分離 出來，使之成為自由體。 受力圖：表示分離體及其受力的圖形。,2.畫受力圖的基本步驟 （1）取分離體：根據(jù)問題的要求確定研究對象，將它從周圍物體的約束中分離出來，單獨畫出研究對象的輪廓圖形； （2）畫已知力：載荷，特意指明的重力等，不特意指明重力的構(gòu)件都是不考慮重力的； （3）畫約束反力：確定約束類型，根據(jù)約束性質(zhì)畫出約束反力。,第三節(jié)

8、分離體和受力圖,例1：分別畫出圓及桿AB的受力圖。,充分利用BC桿是二力桿的性質(zhì),注意：畫約束反力時，一定要按照約束的固有性質(zhì)畫圖，切不可主觀臆斷！,例2： 曲柄沖壓機(jī)的受力分析,例3：懸臂吊車的受力分析,思考題 如下各圖所示，各物體處于平衡，試判斷各圖中所畫受力圖是否正確？原因何在？,確定反力的方向時，可借助于以下各點：,* 是否與二力構(gòu)件相連，是,則由二力構(gòu)件的分離體圖確定二力構(gòu)件的連接點受力方向，而它的相反方向（反作用力的方向）就是所求方向;,* 研究對象是否是三力構(gòu)件，是，則已知兩個受力方 向，可利用三力平衡匯交定理確定方向;,* 根據(jù)主動力系和約束的性質(zhì)確定反力方向。,即要充分利用二

9、力桿定理、三力匯交定理、作用與反作用定理來確定約束反力。,.,第四節(jié) 力的投影 合力投影定理,由力在軸上的投影還可看出： 1）一力在互相平行且同向的軸上投影相等； 2）將力平移，此力在同一軸上的投影不變。,一、力的投影概念,二、力在坐標(biāo)軸上的投影,設(shè)力F作用于物體的A點，如圖所示。,定義：從力F的兩端分別向選定的坐標(biāo)軸x，y作垂線, 其垂足間的距離就是力F在該軸上的投影。,若已知力F的大小及其與x軸所夾的銳角，則力 F在坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy可按下式計算： Fx=Fcos Fy=Fsin 力在坐標(biāo)軸上的投影有兩種特殊情況： (1) 當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時，力在該軸上的投影等于零。 (2) 當(dāng)力與

10、坐標(biāo)軸平行時，力在該軸上的投影的絕對 值等于力的大小。,如果已知力F在直角坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy， 則力F的大小和方向可由下式確定 力F的指向和投影Fx和Fy的正負(fù)號判定: 如果把力F沿x、y軸分解為兩個分力F1、F2， 投影的絕對值等于分力的大小，投影的正負(fù)號指明 了分力是沿該軸的正向還是負(fù)向。 （力的投影是代數(shù)量）。,力的投影與分力關(guān)系:,將力F沿直角坐標(biāo)軸方向分解，所得分力Fx、Fy的值與力F在同軸上的投影的絕對值相等。但是，力的分力是矢量，具有確切的大小、方向和作用點；而力的投影是代數(shù)量，不存在唯一作用線問題。,合力投影定理：力系的合力在某軸上的投影等于 力系中各力在同軸上投影的代數(shù)

11、和。即,其中合力 F 的大小及方向:,三、合力投影定理,.,一、力矩,1.力矩的概念,物理量Fd及其轉(zhuǎn)向來度量力使物體繞轉(zhuǎn)動中心O的效應(yīng)，這個量稱為力F對O點之矩。簡稱力矩，記為,其中：O 稱為矩心 ; d 稱為力臂,單位：N.m,第五節(jié) 力矩 力偶,.,力矩的正負(fù)規(guī)定： 力矩在平面上逆時針轉(zhuǎn)動為正， 順時針轉(zhuǎn)動為負(fù)。,.,2.力矩的性質(zhì)： (1)當(dāng)力的作用線通過矩心時，此時力臂的值為零， 力矩值為零； (2)力沿其作用線滑移時，不會改變力矩的值，因為 此時力、力臂的大小及力矩轉(zhuǎn)向未發(fā)生改變； (3)等值、反向、共線的兩個力對任一點之矩總是大 小相等、方向相反，因此兩者的代數(shù)和為零； (4)矩

12、心的位置可以任意選定，矩心不同，所求的力矩大小和轉(zhuǎn)向就可能不同。,.,二、力偶與力偶矩,(1)力偶概念,作用在同一物體上等值、反向、不共線的一對 平行力稱為力偶，記作（F，F(xiàn)）。,在力學(xué)中用力的大小F與力偶臂d 的乘積Fd加上正號或負(fù)號作為度 量力偶對物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的物理量， 該物理量稱為力偶矩，并用符號 M(F，F(xiàn))或M表示， 即M(F,F)= M =Fd,.,工程實例,.,1）力偶矩的大??； 2）力偶的轉(zhuǎn)向； 3）力偶作用面。,力偶的三要素：,力偶作用面在空間的位置及旋轉(zhuǎn)軸的方向；用垂直于作用面的垂線指向來表征。凡是空間相互平行的平面，它們的方位均相同。,力偶矩正負(fù)規(guī)定： 若力偶有使物體逆時

13、針旋轉(zhuǎn)的趨勢，力偶矩取正號；反之，取負(fù)號。,.,(2)力偶的性質(zhì), 力偶無合力，即力偶在任一軸上的投影等于零。 力偶對轉(zhuǎn)動效應(yīng)與矩心的位置無關(guān)。 力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩，恒等于力偶矩，是一常數(shù)；而力對某點之矩，矩心的位置不同，力矩就不同（力矩與力偶的本質(zhì)區(qū)別之一）。 力偶的等效性：在同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等，力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶是等效的。即三要素相同的力偶彼此等效。,.,因此，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。,力偶的等效性推論： 唯一決定平面內(nèi)力偶效應(yīng)的特征量是力偶矩的代數(shù)值，即保持力偶矩不變，可以改變其力或力臂的大小。,M = F d=F d,.,一、力的

14、平移定理：作用于剛體上某一點A的力可以 平移到剛體上的任一點，但必須同時附加一個力偶， 其力偶矩等于原力F對新作用點B的矩.,第六節(jié) 力的平移,.,思考：1.附加力偶作用面在哪兒？ 2.同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶能否等效成 一個力？,.,結(jié)論：一個力平移的結(jié)果可得到同平面的一個力和一個力偶；反之同平面的一個力F1和一個力偶矩為m的力偶也一定能合成為一個大小和方向與力F1相同的力F，其作用點到力作用線的距離為:,.,二、討論,力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。,力線平移定理可考察力對物體的作用效應(yīng)。,.,平面力系的分類 平面匯交力系：各力作用線匯交于一點的力系。 平面力偶系：若干個力偶（一對大

15、小相等、指向相反、作用線 平行的兩個力稱為一個力偶）組成的力系。,力系的分類： 平面力系和空間力系：各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系， 否則為空間力系。,平面平行力系：各力作用線平行的力系。 平面一般力系：除了平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系 之外的平面力系。,第七節(jié) 平面力系的簡化 合力矩定理,.,對所有的力系均討論兩個問題： (1)力系的簡化（即力系的合成）問題； (2)力系的平衡問題。,.,FR=F1+F2+F3+Fn,F1=F1,M1=Mo(F1),(F1,F2,F3,Fn),(F1,F2,F3,Fn) (M1,M2,M3,Mn),(FR,Mo),F2=F2 M2=Mo(F2),

16、F3=F3 M3=Mo(F3),Fn=Fn Mn=Mo(Fn),力系的主矢,Mo=M1+M2+M3+Mn =Mo(F1)+Mo(F2)+Mo(Fn) =Mo(Fi),向O點簡化的主矩,=F1+F2+F3+Fn =Fi,一、平面力系的簡化,.,結(jié)論：平面任意力系向其作用平面內(nèi)一點簡化，得到 一個力和一個力偶。這個力等于該力系的主矢，作用 于簡化中心；這個力偶的力偶矩等于該力系對簡化中 心的主矩。即平面任意力系的簡化結(jié)果 ：合力偶M O ； 合力,(1)簡化方法,匯交力系合力,一般力系（任意力系）,匯交力系+力偶系,向一點簡化,（未知力系）,（已知力系）,.,附加力偶的合力偶矩,(2)主矢與主矩,

17、主矢：指原平面一般力系各力的矢量和 。,方向：,大?。?注意：,因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它與簡化中心的位置無關(guān)。,.,主矩：指原平面一般力系對簡化中心之矩的代數(shù)和 。,主矩 MO,正、負(fù)規(guī)定 ：,因主矩等于各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，所以它的大小和轉(zhuǎn)向一般與簡化中心有關(guān)。,注意：,平面力系簡化結(jié)論的應(yīng)用：固定端約束,.,=,(1)FR=0，而MO0，原力系合成為力偶。這時力系主矩MO 不隨簡化中心位置而變。 (2)MO=0，而FR0，原力系合成為一個力。作用于點O 的力FR就是原力系的合力。 (3) FR 0， MO0， 原力系簡化成一個力偶和一個作用于點O 的力。這時力系也可合成

18、為一個力。 說明如下：,=,二、平面力系簡化結(jié)果的討論,.,綜上所述，可見：,(4) FR=0，而MO=0，原力系平衡。,平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢主矩均不為零 時，則該力系可以合成為一個力。 平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢為零而主矩不 為零時，則該力系可以合成為一個力偶。,.,平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩，等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。,三、合力矩定理,y,x,O,x,y,A,B,.,例題 :在長方形平板的O、A、B、C 點上分別作用著有四個力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），試求以上四個力構(gòu)成的力系對點O 的簡化結(jié)果，以及該力系的最后的合成結(jié)果。,解

19、：取坐標(biāo)系Oxy。 1、求向O點簡化結(jié)果： 求主矢FR：,.,x,o,., 求主矩：,（2）求合成結(jié)果：合成為一個合力FR， FR 的大小、方向與FR 相同。其作用線與O點的垂直距離為：,.,第八節(jié) 平面力系的平衡方程,所以平面任意力系平衡的必要和充分條件是： 主失和主矩均為零。,注意：上式中只有三個獨立的平衡方程，只能解出 三個未知量。,2.平衡方程,1.平衡條件,一般式方程,.,以上每式中只有三個獨立的平衡方程，只能解出三個未知量。,平衡方程的其他形式：,二矩式方程,兩矩心的連線與投影軸不垂直,三矩式方程,三矩心不共線,(1)平面匯交力系的平衡,從而得平面匯交力系的（解析）平衡條件為：,當(dāng)

20、物體處于平衡狀態(tài)時，平面匯交力系的合力FR必須為零，即：,上式的含義為： 力系中所有各力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。兩個獨立方程可解二個末知量。,3.平面特殊力系的平衡方程,.,平面力偶系可合成為一力偶，其合力偶矩等于各分力偶的代數(shù)和。,（2）平面力偶系的合成與平衡,M=m1+m2+=m,結(jié)論：作用在剛體上的平面力偶系的平衡條件是力偶系中各力偶的矩之代數(shù)和等于零。,M = M1 + M3 + +Mn,平面力偶系的平衡條件：,.,（3）平面平行力系的平衡方程,b) 多矩式,附加條件： A、B兩點的連線不平行Fi軸,例1： 利用鉸車?yán)@過定滑輪B的繩子吊起一重W=20 kN的貨物，滑輪由兩

21、端鉸鏈的水平鋼桿AB和斜鋼桿BC支持于點B (圖a )。不計鉸車的自重，試求桿AB和BC所受的力。,解： 1. 取滑輪B(帶軸銷）作為研究對象。,2. 畫出受力圖（b)。,注意：FD=W,3.列平衡方程。,聯(lián)立求解,得,反力FAB為負(fù)值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。即桿AB實際上受拉力。,FAB= 54.5kN , FBC= 74.5kN,例2：如圖所示，重物W=20kN,用鋼絲繩掛在支架 的滑輪B上，鋼絲繩的另一端纏繞在絞車D上。桿AB與 BC鉸接，并用固定鉸支座A、C與墻連接。如果兩桿和 滑輪的自重不計，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平 衡時桿AB和桿BC所受的力。,解：桿AB和BC

22、都是二力桿，假設(shè)桿AB受拉力、桿BC受壓力，畫受力圖如下： 為了避免解聯(lián)立方程，選直角坐標(biāo)系如圖所示，使x、y軸分別與反力NBC、NAB垂直。,列平衡方程求解： Fx=0, -NAB+Tcos60-TBDcos30= 0 得 NAB=Tcos60-TBDcos30=-7.32kN NAB為負(fù)值，表示該力的實際指向與受力圖中 所假設(shè)的指向相反，即桿AB受壓力作用。 Fy=0, NBC-Tcos30-TBDcos60= 0 得NBC=Tcos30+TBDcos60= 27.32kN NBC為正值，表示該力的實際指向與受力圖上所假設(shè)的指向相同，即桿BC也受壓力作用。,運用平衡條件求解未知力的步驟為：

23、 (1)合理確定研究對象并畫該研究對象的受力圖； (2)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立平衡方程； (3)由平衡方程求解未知力。 列方程時注意各力投影的正負(fù)號。實際計算時，通常規(guī)定與坐標(biāo)軸正向一致的力為正。即水平力向右為正，垂直力向上為正。 當(dāng)求出未知力是正值時，表示該力的實際指向與受力圖上所假設(shè)的指向相同；如果是負(fù)值，則表示該力的實際指向與受力圖上所假設(shè)的指向相反。,例3：簡支梁AB上作用有兩個力偶，如圖所示。已知 P=P=2kN，m=20kNm，a=1m，l=5m， 試求支座 A、B的反力。,解：取梁AB為研究對象。畫梁AB的受力圖,列出平面力偶系的平衡方程 mB=0,-Pasin30-m+RAl=0

24、 即-210.5 20 + RA5=0 解得RA=4.2kN 故RB=RA= 4.2kN,例4：梁AB上作用一集中力和一均布荷載（均勻連續(xù)分布的力），如圖。已知P=6kN，荷載集度（受均布荷載作用的范圍內(nèi)，每單位長度上所受的力的大?。﹒=2kN/m，梁的自重不計，試求支座A、B的反力。,解：取梁AB為研究對象，畫其受力圖，,由 Fx=0,RAx-Pcos60=0 得RAx=Pcos60=3kN,由mA(F)=0,RB4-Psin603-21=0 得RB= 4.9kN,由Fy=0,RAy-q2-Psin60+RB=0 得RAy= 4.3kN,例5：如圖示為一懸臂式起重機(jī)，A、C處都是固定鉸支座，

25、B處是鉸鏈連接。梁AB自重W1=1kN，提升重力W2=8kN，桿BC的自重不計，試求支座A的反力和桿BC所受的力。,解：取梁AB為研究對象，畫其受力圖。,由mA(F)=0,-W12-W23+Nsin304=0 得N=W12+W23/sin304=13kN,由mB(F)=0,-RAy4+W12+W21=0 得RAy=W12+W2/4=2.5kN,由mC(F)=0,RAx4tan30-W12-W23=0 得RAx=11.27kN,例6：求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。,解：取AB 桿為研究對象畫受力圖。,由 FX = 0 ：,由 Fy = 0 ：,由 MA = 0 ：,由 Fy = 0 ：,由 MA = 0

26、 ：,由 FX = 0 ：,例7：求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。,解：取整個結(jié)構(gòu)為研究對象畫受力圖。,例題8：,解：,以AB及重物作為研究對象；,受力分析，畫出受力如圖；,列平衡方程,如圖所示簡易吊車，A、C處為固定鉸支座，B處為鉸鏈。已知AB梁重P=4kN，重物重Q=10kN。求拉桿BC和支座A的約束反力。,解得：,例9: 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。,解 研究AB梁； 受力如圖； 取Axy直角坐標(biāo)； 列平衡方程求解：,解得：,例10: 已知：q=2 kN m ，P=2 kN ，l=1.5 m ，a=45 求：固定端A處的反力。,解: 研究 AB 梁；, 受力分析：P ,Q , Q=q l ,XA ,YA ,MA ；,3. 列平衡方程求解：