高中數(shù)學(xué)推理與證明（師生版）知識(shí)點(diǎn)分析新課標(biāo)人教A版選修2（通用）

1、考綱導(dǎo)讀推理與證明（一）合情推理與演繹推理1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。（二）直接證明與間接證明1了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)推理與證明推理證明合情推理演繹推理歸納類比直接證明間接證明數(shù)學(xué)歸納法綜合法分析法反證法高考導(dǎo)航1推理與證明的內(nèi)容是高考的新增內(nèi)容，主要以選擇填空的形式出現(xiàn)。2推理與證明與數(shù)

2、列、幾何等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多。101合情推理與演繹推理【考點(diǎn)要求】1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。【基礎(chǔ)知識(shí)】1. 推理一般包括合情推理和演繹推理；2.合情推理包括 和 ； 歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡(jiǎn)稱歸納。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.。歸納推理的基本模式：a,b,cM且a

3、,b,c具有某屬性，結(jié)論：dM,d也具有某屬性。類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)稱類比。簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。類比推理的基本模式：A:具有某屬性a,b,c,d；B具有某屬性；結(jié)論：B具有屬性。（a,b,c,d與，相似或相同）3.演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。（1）“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：第一段：大前提已知的一般原理；第二段：小前提所研究的特殊情況；第三段：結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.（2）三

4、段論常用格式為：M是P， S是M，S是P；其中是 ，它提供了一個(gè)個(gè)一般性原理；是 ，它指出了一個(gè)個(gè)特殊對(duì)象；是 ，它根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.用集合說(shuō)明：即若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P。4.合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法；在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的新結(jié)論的推理過(guò)程【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1

5、.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是 .答案 白色2.數(shù)列1，2，4，8，16，32，的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .答案 an=2n-13.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,則a33為 .答案 34.下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?.“若a3=b3,則a=b”類推出“若a0=b0，則a=b”“(a+b)c=ac+bc”類推出“=+”“(a+b）c=ac+bc”類推出“=+(c0)”“（ab）n=anbn”類推出“(a+b)n=an+bn”答案 5.一切奇數(shù)都不能被2整除，2100+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”

6、的形式為 .答案 一切奇數(shù)都不能被2整除，大前提2100+1是奇數(shù)，小前提所以2100+1不能被2整除.結(jié)論6.由,若ab0,m0，則與之間的大小關(guān)系為 .答案 7.已知f(x)=x2 008+ax2 007-8,f(-1)=10,則f(1)= .答案 -248.在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比=，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中（如圖所示），而DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是 . 答案 =典型例題例1. 已知：； 通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題：_=（ * ）并給出（ * ）式的證明.解：一般形式: 證明：左邊 =

7、= = = = （將一般形式寫成 等均正確。）變式訓(xùn)練1：設(shè)，nN，則 解：，由歸納推理可知其周期是4例2. 在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用表示三個(gè)側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是 .解：。變式訓(xùn)練2：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，則ABC的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論。答案：本題是“由平面向空間類比”?？紤]到平面中的圖形是一個(gè)直角三角形，所以在空間中我們可以選取有3個(gè)

8、面兩兩垂直的四面體來(lái)考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，則此三棱錐的外接球的半徑是。例3. 請(qǐng)你把不等式“若是正實(shí)數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案： 推廣的結(jié)論：若 都是正數(shù)， 證明： 都是正數(shù) ，變式訓(xùn)練3：觀察式子：，則可歸納出式子為（ ）A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入選項(xiàng)判斷。例4. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?（ ）A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤答案：A。解析：直

9、線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。變式訓(xùn)練4：“AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線，AC,BD互相垂直且平分。”補(bǔ)充以上推理的大前提是 。答案：菱形對(duì)角線互相垂直且平分1.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mn=nm”類比得到“ab=ba”；“（m+n）t=mt+nt”類比得到“(a+b)c=ac+bc”；“(mn)t=m(nt)”類比得到“（ab）c=a（bc）”；“t0,mt=xtm=x”類比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”類比得到“|ab|=|a|b|”；“=”類比得到“=”.以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 .答案 22.下列推理是

10、歸納推理的是 （填序號(hào)）.A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的軌跡為橢圓由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式由圓x2+y2=r2的面積r2，猜想出橢圓=1的面積S=ab科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案 3.已知整數(shù)的數(shù)對(duì)列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),則第60個(gè)數(shù)對(duì)是 .答案 (5,7)102直接證明與間接證明【考點(diǎn)要求】1了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

11、。2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)?！净A(chǔ)知識(shí)】1.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明；直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法 綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫綜合法。 框圖表示： （其中P表示條件，Q表示要證的結(jié)論）。綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義

12、、公理等）為止，這種證明方法叫分析法?？驁D表示：。分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因；分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有，這只需要證明命題為真，從而又有這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。2. 間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法。反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫反證法。反證法的步驟：1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確

13、。注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：與題設(shè)矛盾；與反設(shè)矛盾；與公理、定理矛盾在證明過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論。應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過(guò)證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí). 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的 條件.答案 充分2.若ab0,則a+ b+.(用“”,“”,“=”填空)答案 3.要證明+2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是 （填序號(hào)）.反證法分析法綜合法答案 4.用反證法證明命題

14、：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是 .假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)答案 5.設(shè)a、b、c（0，+），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的 條件.答案 充要6.已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個(gè)方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.應(yīng)假設(shè) 答案 三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根 典型例題例1若均為實(shí)數(shù)，且。求證：中至少有一個(gè)大于0。答案：（用反證法）假設(shè)都不大于0，即，則有，而 =均大于或等于0，這與假設(shè)矛盾，故中至少有一個(gè)大于0。變式訓(xùn)練1：用反證法證明命題“可以被5整除，那么中至少有一個(gè)能被5整除。”那么假設(shè)的內(nèi)容是 答案：a,b中沒(méi)有一個(gè)能被5整除。解析：“至少有n個(gè)”的否定是“最多有n-1個(gè)”。例2. ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：。答案：證明：要證，即需證。即證。又需證，需證ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列。