自控原理第九章課件.ppt

1、,控制原理（II） 王晶 信息學(xué)院,學(xué) 時：,48（包含上機4學(xué)時）,自動控制原理 厲玉鳴等主編，化學(xué)工業(yè)出版社，2005年,自動控制原理（第四版）胡壽松主編，國防工業(yè)出版社，2002年 自動控制原理 孫亮等主編，北京工業(yè)大學(xué)出版社 1999年,控制原理例題習(xí)題集，周春暉，厲玉鳴主 編，化工出版社（歸納總結(jié)，例題分析）,自動控制原理實驗指導(dǎo)書，本校自動 化系編,學(xué)習(xí)方式：,教 材：,參考書：,習(xí)題集：,實驗指導(dǎo)書：,授課、習(xí)題、實驗、考試,第7章 狀態(tài)空間分析設(shè)計方法,線性系統(tǒng)理論的兩大分支,本章主要內(nèi)容現(xiàn)代控制論的重要分支：狀態(tài)空間設(shè)計方法,系統(tǒng)模型 狀態(tài)空間模型的建立、與傳遞函數(shù)描述之間的

2、相互轉(zhuǎn)化； 系統(tǒng)分析 狀態(tài)空間運動分析；能控性和能觀性的基本概念與判據(jù)、能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)形及結(jié)構(gòu)分解； 系統(tǒng)綜合 基于狀態(tài)空間模型的控制系統(tǒng)設(shè)計方法極點配置和觀測器設(shè)計。,第一節(jié) 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型,7.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)的基本概念 7.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 7.1.3 由機理分析建立狀態(tài)空間表達(dá)式 7.1.4 由微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式 7.1.5 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 7.1.6 狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)矩陣,7.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)的基本概念,表示系統(tǒng)在過去、現(xiàn)在和未來時刻的狀況,狀態(tài),能夠完全描述系統(tǒng)行為的最小一組變量，只要給定了當(dāng)前時刻的這組變量以

3、及未來時刻作用在系統(tǒng)上的輸入，那么系統(tǒng)在未來任意時刻的行為就可以完全確定。,狀態(tài)變量,選取的不唯一性,以完全表征系統(tǒng)的狀態(tài)變量為元構(gòu)成的向量就是狀態(tài)向量,狀態(tài)向量,以n個狀態(tài)變量為基底所構(gòu)成的n維空間就稱為狀態(tài)空間，狀態(tài)空間中的一點就代表系統(tǒng)在某一特定時刻的狀態(tài)。,狀態(tài)空間,7.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,外部描述傳遞函數(shù)：不表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只反映外部變量組輸入與輸出間的因果關(guān)系,內(nèi)部描述狀態(tài)空間，能夠完全表征系統(tǒng)的一切動力學(xué)特征：,不完全描述,完全描述,（1）狀態(tài)方程：輸入作用引起系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化，通常為動態(tài)過程，可以采用微分方程來表示：,（2）輸出方程：狀態(tài)和輸入的改變決

4、定了輸出的變化，通常屬于變量之間的相互轉(zhuǎn)換，可用一般的代數(shù)方程表示：,系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)示意圖,問題：1 什么是狀態(tài)？ 2 狀態(tài)是否唯一？,1,兩種描述方式的比較：例1考慮傳遞函數(shù),系統(tǒng)不穩(wěn)定，欲使其穩(wěn)定，可在H（s）前面串聯(lián)一個補償器 得：,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：,理論上，零極點對消，系統(tǒng)穩(wěn)定,實際中，系統(tǒng)往往會出現(xiàn)失效或達(dá)到飽和,從狀態(tài)空間的角度分析上述實現(xiàn)中主要變量的演變過程,系統(tǒng)狀態(tài)方程為,求解可得：,7.1.3 由機理分析建立狀態(tài)空間表達(dá)式,建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法:一是機理分析，選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，建立其狀態(tài)空間表達(dá)式；二是由其他已知的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)化得到狀態(tài)空間表達(dá)式。 例：試列寫下面

5、兩種簡單系統(tǒng)電路系統(tǒng)和力學(xué)系統(tǒng)的機理方程，選擇適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛闋顟B(tài)變量，并建立相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。,解：(1)彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)，外加拉力Fi為輸入，質(zhì)量單元的位移y為輸出，根據(jù)牛頓第二定律可得: 其中合力： 整理得： 選定變量： 得到狀態(tài)方程：,(2) RLC電路，設(shè)ei為輸入，電壓ec為 輸出，根據(jù)基本電路定律有： 選擇狀態(tài)變量為 ，可推導(dǎo)出2個一階微分方程組： 寫成狀態(tài)方程： 再根據(jù)輸出 ，可得相應(yīng)的輸出方程為：,值得注意的是：狀態(tài)變量選擇的不同，得到的狀態(tài)空間表達(dá)式也是不同的，這點與傳遞函數(shù)所代表的外部描述不同，對于一個系統(tǒng)，如果輸入和輸出確定，那么傳遞函數(shù)就是唯一確定的，而狀態(tài)空

6、間描述則根據(jù)狀態(tài)變量選擇的不同而不同，同一個系統(tǒng)可以具有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式。,問題：例如上面例題中提到的RLC電路，如果以 作為一組狀態(tài)變量， 則狀態(tài)空間表達(dá)為.?,代數(shù)等價：給定一線性定常系統(tǒng) ，如果引入一非奇異變換： 其中P是非奇異矩陣，經(jīng)過狀態(tài)變換后，系統(tǒng)可以寫成,系統(tǒng)的不同的狀態(tài)空間描述就是同一個系統(tǒng)在不同的坐標(biāo)系下的表征,由于坐標(biāo)系的選擇帶有人為的性質(zhì)，而系統(tǒng)的特性卻帶有客觀性，因此系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的不變性和不變屬性就反映出系統(tǒng)的固有特征。,那么就稱這兩個狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價的。,2,7.1.4 由微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式,僅限于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)：,引入微分算子,，則系

7、統(tǒng)可以寫成:,分情況討論：,Case1：當(dāng)mn時,則系統(tǒng)方程 可以改寫為：,引入中間變量：,選取狀態(tài),可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：,Case2：當(dāng)mn時,首先將系統(tǒng)方程有理分式嚴(yán)格真化：,按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，經(jīng)過中間變量 的作用，上式可以寫成下面的形式：,選擇與mn情況下相同的狀態(tài)變量：,上述嚴(yán)格真有理分式按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，狀態(tài)是一樣的，得到的狀態(tài)方程表達(dá)形式也是一樣的，唯一不同的就是輸出方程中比mn情況多了一項 ： 狀態(tài)方程為：,優(yōu)點：利用控制系統(tǒng)的微分方程系數(shù) 直接列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。,舉例：寫出下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá),解：上述兩個系統(tǒng)分屬于m

8、n和m=n兩種情況，按照上面的算法可以直接轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式如下：,7.1.5 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,傳遞函數(shù)是描述線性定常系統(tǒng)動力學(xué)特性的一種重要頻域模型，如何將其化為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，稱為“實現(xiàn)”，應(yīng)該特別重視。 方法：首先將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行反拉氏變換，得到輸入/輸出微分方程表達(dá)式，然后利用上節(jié)介紹方法將微分方程表達(dá)式轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式 對于單輸入/單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可能存在這樣的情況：傳遞函數(shù)分子和分母多項式有可約去的因子（即零點、極點可以對消），那么此傳遞函數(shù)的實現(xiàn)可以選取不同維數(shù)的狀態(tài)變量，把系統(tǒng)狀態(tài)變量數(shù)目最少的實現(xiàn)稱為“最小實現(xiàn)”。,例：求狀態(tài)空間實現(xiàn)：,傳遞函

9、數(shù),微分方程,狀態(tài)方程,能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn) 能控，不能觀,消去傳遞函數(shù)中的可約因子(s+3)得：,最小實現(xiàn)：,傳遞函數(shù),微分方程,狀態(tài)方程,最小實現(xiàn) 能控，能觀,3,7.1.6 狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)矩陣,傳遞函數(shù)只能用來描述單輸入/單輸出線性定常系統(tǒng)的動態(tài)特性，而實際的控制系統(tǒng)可能是多輸入/多輸出的線性定常系統(tǒng)，若不考慮內(nèi)部狀態(tài)信息，其動態(tài)特性通常采用傳遞矩陣來進行描述：,Y1 Yp,在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣(A,B,C,D)與傳遞函數(shù)矩陣之間的關(guān)系為：,原因：,多輸入/多輸出線性定常系統(tǒng),在初始條件為零時，對系統(tǒng)方程進行拉氏變換為,對狀態(tài)方程進行整理得：,帶入輸出方程得：,例 考

10、慮多輸入多輸出系統(tǒng)：,%enter system matrices A,B,C,D A=0 1;-25 4;B=1 1;0 1;C=1 0; 0 1;D=0 0;0 0; %obtain transfer function from u1 to y1 and y2 num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,1) %obtain transfer function from u2 to y1 and y2 num2,den2=ss2tf(A,B,C,D,2),num1 = 0 1 4 num2 = 0 1.0000 5.0000 0 0 -25 0 1.0000 -25.0000 den1

11、 = 1 4 25 den2 = 1 4 25,以下就是4個傳遞函數(shù)的MATLAB表達(dá)式：,7.2系統(tǒng)的狀態(tài)空間運動分析,分析系統(tǒng)運動的目的就在于從數(shù)學(xué)模型出發(fā)，定量地或是精確地給出系統(tǒng)運動的變化規(guī)律，以便為系統(tǒng)的實際運動過程作出估計。 對于線性定常系統(tǒng)，其運動分析就是要在初始狀態(tài)x0和外加輸入u的作用下，對狀態(tài)方程求解。 為保證狀態(tài)方程解的存在和唯一性，系統(tǒng)矩陣A和B中的所有元必須是有界的。一般來說，在實際工程中，這個條件都是滿足的。,線性系統(tǒng)滿足疊加原理 系統(tǒng)在初始狀態(tài)及輸入向量作用下的運動分解成兩個獨立的分運動：一個是無輸入作用，單純由初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)狀態(tài)的自由運動，稱為零輸入響應(yīng)；另

12、外一個是初始狀態(tài)為零的條件下，單純由輸入作用引起的狀態(tài)強迫運動，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。 系統(tǒng)由初始狀態(tài)和輸入共同作用而引起的整個響應(yīng)是二者的疊加，即 系統(tǒng)狀態(tài)運動零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng),7.2.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)運動分析,自由運動（無輸入即u=0）就是系統(tǒng) 在初始條件x0下的解，稱為零輸入響應(yīng)。,強迫運動是系統(tǒng)在初始條件為零的情況下， 單純由輸入u作用產(chǎn)生的，即強迫方程 的解，稱為零狀態(tài)響應(yīng),兩種狀態(tài)運動都是狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，其形態(tài)可以通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來表征，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以對線性系統(tǒng)的運動規(guī)律，包括定常的、時變的、離散的都建立起一個統(tǒng)一的表達(dá)形式,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義：,給定線性時變系統(tǒng)，它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

13、 就是滿足下述矩陣微分方程及初始條件的n維方陣,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣物理意義：,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是將t0時刻的初始狀態(tài)x(t0)映射到t時刻狀態(tài)x(t)的一個線性變換，它在規(guī)定的時間區(qū)間內(nèi)決定了狀態(tài)向量的自由運動，,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的重要性質(zhì)：,4.當(dāng)A(t)給定后， 是唯一的。 5.當(dāng)A(t)給定后， 的表達(dá)式為：,4,求導(dǎo)可得：,假設(shè)狀態(tài)x(t)由兩部分組成，一部分是初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移（代表自由運動），另一部分是待定向量 的轉(zhuǎn)移，（代表受迫運動）,為了找到運動規(guī)律的表達(dá)式，就是要確定上式中的待定向量,與狀態(tài)方程比較得：,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫出系統(tǒng)狀態(tài)運動規(guī)律:,將 積分，就可以求出待定向量,則狀態(tài)運動規(guī)律為,

14、根據(jù)初始條件x0，就可以定出待定向量 的初始位置為 ，則系統(tǒng)運動規(guī)律表達(dá)式為：,狀態(tài)x（t）分解成兩個分運動，一個是單純由初始條件x0作用引起的零輸入響應(yīng)，另外一個就是在初始條件為零時，單純由輸入作用引起的零狀態(tài)響應(yīng)。,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫出系統(tǒng)狀態(tài)運動規(guī)律（續(xù)）,在定常系統(tǒng)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣完全可以由系統(tǒng)矩陣(A,B,C,D)來確定，即,注意：時變系統(tǒng)中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ，其物理意義就是 依賴于初始時刻t0，而在定常系統(tǒng)中通常采用 的方法來表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，這說明了在定常系統(tǒng)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是依賴于時間的差值t-t0，而與初始時刻t0沒有直接關(guān)系。,線性定常系統(tǒng)的運動規(guī)律：,如果將時間t取成某個固定

15、的值，那么零輸入響應(yīng)，就是狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)x0經(jīng)過線性變換 導(dǎo)出的一個變換點，而整個系統(tǒng)的自由運動就應(yīng)該是由初始狀態(tài)x0出發(fā)，并由各個時刻的變換點所組成的一條軌跡。這條自由運動軌跡的形態(tài)可以說是由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣唯一確定的，它包括了自由運動性質(zhì)的全部信息，換句話說就是系統(tǒng)矩陣A決定了系統(tǒng)的自由運動形態(tài)。,初始時刻t0取為零，則,零輸入響應(yīng)；自由運動軌跡,零狀態(tài)響應(yīng)；受迫運動軌跡,7.2.2 矩陣指數(shù)函數(shù),線性定常系統(tǒng)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 又稱作是矩陣指數(shù)函數(shù),幾種典型矩陣A的,（1）A為對角線矩陣，即 （2）A為對角線分塊矩陣，,注：矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是冪零矩陣，它的左下角次對角線元為1，其余

16、元均為零，它的矩陣指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì)：,（3) A是具有如下形式的冪零矩陣，矩陣A僅右上方次對角線上元為1，其余元均為零， 則矩陣指數(shù)函數(shù)為：,（4）約當(dāng)矩陣 其矩陣指數(shù)函數(shù)為：,的計算方法,（1）利用矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式：,舉例,說明：通常這種方法只能求出的數(shù)值結(jié)果，難以寫出具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式。當(dāng)采用計算機進行計算時，這種方法具有編程方便，計算簡單等特點。,（2）利用典型約當(dāng)形矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 例如：A陣特征值是n個兩兩相異的，那么必存在一個非奇異變換矩陣P，使得,的計算方法（續(xù)）,(3)把 表示成Ak（k0,1,n1）的多項式形式，即,其中系數(shù)a可由以下方法來確定:,Case1. A的特

17、征根兩兩相異,的計算方法（續(xù)）,5,Case2.A的特征根存在重根,例如特征值為,（4）利用Laplace反變換求 ，對 定義式進行Laplace變換得：,然后在對上式兩邊求Laplace反變換，可得：,舉例：,的計算方法（續(xù)）,舉例：給定線性定常系統(tǒng)的自治方程為試采用上述4種方法來求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,解：（1）利用矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式：,返回,(2)先求出A的特征值為-1,-2，再求出使A實現(xiàn)對角線化的非奇異變換陣P及其逆P1：,使得：,則矩陣指數(shù)函數(shù)為：,（3）因為矩陣A的特征值是兩兩相異的，則有,從而可以定出:,（4）先求出預(yù)解矩陣,對上式進行Laplace反變換，即可定出：,能控性和能觀性

18、是系統(tǒng)的兩個基本結(jié)構(gòu)特性，對于系統(tǒng)的控制和估計問題具有重要的意義。 能控性反應(yīng)的是輸入對狀態(tài)的控制能力 能觀性反應(yīng)的是輸出對狀態(tài)的估計能力,7.3 線性定常系統(tǒng)的能控性與能觀測性,所謂能控性就是研究系統(tǒng)的全部狀態(tài)是否都會受到輸入的影響，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的控制。對應(yīng)地，如果系統(tǒng)狀態(tài)變量的任何運動完全可以由輸出來反映，那么就稱系統(tǒng)是能觀測的，簡稱為能觀性。,不完全能控電路 不完全能觀測電路,例一給定系統(tǒng)如下：,狀態(tài)變量x1和x2可以通過選擇輸入u而使得他從初始點轉(zhuǎn)移到原點。因而系統(tǒng)是完全能控的，但輸出只反應(yīng)出狀態(tài)x2，狀態(tài)x1與輸出既無直接關(guān)系也無間接關(guān)系，所以是不完全能觀測的。,能控性，能觀性

19、分析舉例,例二：實際電路，兩個電容的端電壓x1和x2是狀態(tài)變量，輸入u可以使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)值，但是不能將狀態(tài)分別轉(zhuǎn)移到不同的目標(biāo)值，也就是說無論輸入取為何種形式，對所有的t0都有x1=x2，這就表明該電路系統(tǒng)是不完全能控的。,例三 由 的聯(lián)系判斷能觀性,輸出y(t)=x1(t),且x1與x2完全解耦，x2到y(tǒng)的通道被切斷，所以x1能觀測，x2不能觀測。,輸出y(t)=x1(t),注意x1受x2影響，所以不能簡單判定x1能觀測，x2不能觀測。,例四 兩聯(lián)系通道的作用可能抵消,左圖中，輸入為電壓，兩個電感流過的電流是狀態(tài)變量，輸出是電流i。如果外加電壓u=0，對任意兩個相等的非零初始狀態(tài)，都會

20、有電流i0，也就是說從輸出根本無法判斷系統(tǒng)的初始狀態(tài)是什么，說明該電路是不完全能觀的。,6,能控性定義,對于線性時變系統(tǒng) 如果對于非零初始狀態(tài)x0，都存在某一時刻 和一個無約束的容許控制 ，使得狀態(tài)由初始點轉(zhuǎn)移到t1時刻的原點，則稱此初始狀態(tài)x0是能控的。如果狀態(tài)空間中所有的非零初始狀態(tài)都是能控的，那么就稱系統(tǒng)是完全能控的。 無約束容許控制中無約束表示的是輸入分量的幅值無限制，可以任意大到所要求的值。容許控制就是說控制作用要滿足狀態(tài)方程解存在且唯一的條件，具體的說就是要保證輸入u的每個分量在J上是平方可積的。,7.3.1 基本概念,1、上述定義中，只要求能夠找到這樣的控制輸入u，使得t0時刻的

21、非零狀態(tài)經(jīng)過一段時間之后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的坐標(biāo)系原點，而對狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡不作任何要求和限制，這就是說能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運動的一個定性的特性 2、上述定義中規(guī)定從非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，如果改成由零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到非零狀態(tài)，就稱之為系統(tǒng)狀態(tài)是能達(dá)的。對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，其能控性和能達(dá)性是等價的，而對于離散系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，二者嚴(yán)格來講是不等價的。,說明,能觀測性定義：,對給定的零輸入方程， 在初始時刻t0存在非零的初始狀態(tài)x(t0)=x0（未知）。如果存在這樣一個有限時刻t10，通過t0,t1段有限時間區(qū)間內(nèi)所測得的輸出y(t)可以確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)，那么就把x0稱作是可觀測狀態(tài)。如果

22、狀態(tài)空間中所有的非零狀態(tài)都是可觀測的，那么就稱系統(tǒng)是完全能觀測的。,線性定常系統(tǒng)的能控性判定,1格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是存在這樣一個時刻t10，使得格拉姆矩陣 是非奇異的,7.3.2能控性與能觀測性判據(jù),注意：格拉姆矩陣判據(jù)主要應(yīng)用于理論分析，這是因為在實際應(yīng)用中，首先要計算出矩陣指數(shù)函數(shù)eAt，而當(dāng)A的維數(shù)較大時并非易事，利用格拉姆矩陣判據(jù)可以推出一個較為實用的能控性判據(jù)，即秩判據(jù)。,由格拉姆矩陣求將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點所需的控制輸入：,根據(jù)運動分析，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為 對于能控系統(tǒng)總可以找到t1時刻及作用在t0,t1上的容許控制u(t)，使得系統(tǒng)在t1時刻轉(zhuǎn)移到零點，即

23、,根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)，格拉姆矩陣的逆必定存在，于是就可以這樣選取控制輸入：,解釋：無論系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0位于狀態(tài)空間中的何處，都可以按照上述公式中控制作用的選取方法，使得在t1時刻能夠?qū)⑾到y(tǒng)狀態(tài)從初始點轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間零點。這種控制的選擇又稱為按能控性格拉姆矩陣方式選取。一般來說，如果系統(tǒng)是能控的，能夠把系統(tǒng)由初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到原點的輸入控制有很多種，這是因為能控性對狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡沒有任何要求。但相比較而言，在所有可以完成同一狀態(tài)轉(zhuǎn)移目的的控制輸入中，按格拉姆矩陣方式選取的控制輸入最好，它的耗能是最小的。,2秩判據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是 稱矩陣 為系統(tǒng)的能控性判別陣,3PBH秩判

24、據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是對矩陣A的所有特征值 ，均有下式成立： 即 是左互質(zhì)的。,7,4PBH特征向量判據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是A不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量，即對A的任一特征值 使同時滿足 的特征向量,5約當(dāng)規(guī)范型判據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是 Case1:當(dāng)A矩陣的特征根兩兩相異時，在導(dǎo)出的對角線規(guī)范型 中，矩陣 不包含元素全為零的行。,Case2:A的特征值為 時，導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型 那么矩陣 中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的最后一行行向量是線性無關(guān)的。換句話說，矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的最后一行行向量中無零行，且對應(yīng)同一特征根的這些行分別是線性無關(guān)的

25、。,舉例:給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,標(biāo)準(zhǔn)型中一共有三個約當(dāng)塊，系統(tǒng)是完全能控的，必須保證B矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的最后一行非零，即是b3,b5,b6是非零的行向量，對應(yīng)同一特征根 的這些行b3,b5分別是線性無關(guān)的。,例1：,若 ，則系統(tǒng)是能控的 若 ，則x1,x2,x4不能控，x3能控,例2：給出線性定常系統(tǒng),判斷其能控性,解：1、秩判據(jù): 因此系統(tǒng)是完全能控的。,2、PBH判據(jù)：首先計算出特征值 ，分別計算 是否都等于n，,線性定常系統(tǒng)的能觀測性判定,1格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是存在這樣一個時刻t10，使得格拉姆矩陣 是非奇異的。 和時變系統(tǒng)一樣，定常系統(tǒng)的格拉姆矩陣判據(jù)

26、主要應(yīng)用于理論分析，這是因為在實際應(yīng)用中，首先要計算出矩陣指數(shù)函數(shù)eAt，而當(dāng)A的維數(shù)較大時并不容易,2秩判據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是 我們稱矩陣Qo為系統(tǒng)的能觀測性判別陣，這個結(jié)論完全是由線性定常系統(tǒng)能觀測性的格拉姆矩陣的非奇異性推導(dǎo)而來，與格拉姆矩陣判據(jù)是完全等價的。,3PBH秩判據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是對矩陣A的所有特征值 ，均有下式成立： 即sI-A和C是右互質(zhì)的。,4PBH特征向量判據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是A不能有與C的所有行相正交的非零右特征向量，即對A的任一特征值 使同時滿足 的特征向量 。,5約當(dāng)規(guī)范型判據(jù),線性定常系統(tǒng)完全能

27、觀測的充分必要條件是 Case1 當(dāng)A矩陣的特征根兩兩相異時，在導(dǎo)出的對角線規(guī)范型 中，矩陣 不包含元素全為零的列。,Case2:A的特征值為 時，導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型 那么由矩陣 中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一列列向量是線性無關(guān)的。換句話說，矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一列列向量中無零列，且對應(yīng)同一特征根的這些列分別是線性無關(guān)的。,舉例：給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,標(biāo)準(zhǔn)型中共有三個約當(dāng)塊，要保證系統(tǒng)是完全能觀測的，則C矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一列非零，即c1,c4,c6是非零的列向量，對應(yīng)同一特征根的這些列分別是線性無關(guān)的，即對應(yīng)特征根 的列c1,c4是線性無關(guān)的。,例：給出線性定常系統(tǒng),試用上述判據(jù)來判定給定系統(tǒng)的

28、狀態(tài)能觀測性。,解：秩判據(jù)：,系統(tǒng)是完全能觀測的。,PBH判據(jù)：首先計算出特征值 ，分別計 算 是否都等于n，,8,給定線性定常系統(tǒng) ： 則它的對偶系統(tǒng) 為：,對偶原理,能控性和能觀測性無論是從概念上還是從判據(jù)的形式上都是對偶的，這種對偶關(guān)系反映了系統(tǒng)的能控問題與估計問題之間的對偶性,對偶系統(tǒng)定義,給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)的方塊圖是對偶的,對偶系統(tǒng)又稱為伴隨系統(tǒng)，可以看出給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)之間的狀態(tài)維數(shù)一致，而給定系統(tǒng)的輸入，輸出維數(shù)分別等于對偶系統(tǒng)的輸出和輸入維數(shù)。,給定系統(tǒng)的運動是狀態(tài)點在狀態(tài)空間中由t0到t的正時向轉(zhuǎn)移，而對偶系統(tǒng)的運動是協(xié)狀態(tài)點在狀態(tài)空間中由t到t0的反時向轉(zhuǎn)移。 設(shè) 和 是

29、給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則必成立,對偶原理：,給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)在能控性和能觀測性上具有以下對應(yīng)關(guān)系： 給定系統(tǒng)的完全能控性等價于對偶系統(tǒng)的完全能觀測性，給定系統(tǒng)的完全能觀測性等價于對偶系統(tǒng)的完全能控性。 可根據(jù)能控性和能觀測性的秩判據(jù)對上述對偶原理進行證明。,驗證：,給定系統(tǒng)的能控性判別矩陣 對偶系統(tǒng)的能觀測性判別矩陣,二者秩完全相同,給定系統(tǒng)的能觀測性判別矩陣 對偶系統(tǒng)的能控性判別矩陣,二者秩完全相同,7.3.3 單輸入單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,對于完全能控或是完全能觀測的線性定常系統(tǒng)，如果單從能控性或是能觀測性這兩個基本特性出發(fā)構(gòu)造出一個非奇異變換，那么就可以把系統(tǒng)

30、的狀態(tài)空間描述在這一線性變換下，轉(zhuǎn)化成只有能控系統(tǒng)或能觀測系統(tǒng)才具有的標(biāo)準(zhǔn)形式。通常把這種標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間描述稱為能控規(guī)范型，能觀測規(guī)范型。,能控性規(guī)范型,給定系統(tǒng) ，且系統(tǒng)是完全能控的，有 特征多項式為,定義常數(shù),構(gòu)造變換矩陣,在變換 下，可以導(dǎo)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型,其中,舉例：給定系統(tǒng),特征多項式為：,非奇異變換矩陣：,以及構(gòu)造常數(shù),得到系統(tǒng)的能控性標(biāo)準(zhǔn)型：,能觀測規(guī)范型,對上述給定系統(tǒng)，矩陣A的特征多項式及常數(shù)定義不變，利用能觀測性與能控性的對偶關(guān)系，可以定義非奇異變換矩陣,則利用變換關(guān)系 ，導(dǎo)出系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型：,其中,討論：,1.能控性規(guī)范型和能觀測規(guī)范型是通過一種簡單的，明顯的方

31、式把系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述與反應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的特征多項式聯(lián)系起來，這對于討論系統(tǒng)的綜合控制及觀測器設(shè)計問題給予了很大的方便，如討論極點配置問題上，利用規(guī)范型中系統(tǒng)矩陣與特征多項式之間的關(guān)系可以輕易的寫出經(jīng)過配置后的能控規(guī)范型，與原始系統(tǒng)加以比較就可以很容易的找到相應(yīng)的控制輸入u，其他一些控制問題，如鎮(zhèn)定，跟蹤等都可以轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臉O點配置問題，另外觀測器的設(shè)計也是基于能觀規(guī)范型提出的。 2.代數(shù)等價系統(tǒng)的能控性與能觀測性保持不變。此外，對于完全能控（觀測）的兩個等價系統(tǒng)來講，雖然自身的狀態(tài)空間表達(dá)不一樣，但是他們的能控（觀測）規(guī)范型完全一樣。,9,7.3.4 結(jié)構(gòu)分解,本節(jié)從系統(tǒng)動態(tài)方程角度來討論不

32、完全能控或不完全能觀測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，即把狀態(tài)方程按照能控性或能觀測性或同時按照二者進行結(jié)構(gòu)分解。把系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以明顯的方式區(qū)分成能控的，不能控的，或是能觀測，不能觀測，或者分解成能控且能觀測部分，能控但不能觀測部分，不能控但能觀測部分以及不能控又不能觀測四部分。 研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解，一方面是為了了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，另一方面可以看出狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述之間的本質(zhì)差別。 對線性系統(tǒng)加以結(jié)構(gòu)分解是基于結(jié)論：兩個代數(shù)等價系統(tǒng)或是說對系統(tǒng)進行線性非奇異變換，并不會改變系統(tǒng)的能控性與能觀測性，也不改變系統(tǒng)的不完全能控及不完全能觀測程度。,按能控性分解,不完全能控系統(tǒng) ， 在n個狀態(tài)中只有k個是能控的

33、，其余n-k個狀態(tài)是不能控的，按能控性進行結(jié)構(gòu)分解就是找到這k個能控的狀態(tài)，并寫出能控子系統(tǒng)與不能控子系統(tǒng)分別對應(yīng)的狀態(tài)方程，采用的方法就是線性非奇異變換。,非奇異變換矩陣的構(gòu)造,從 中任意選取k個線性無關(guān)列，記作 ，此外在從n維實數(shù)空間中任意選取n-k個線性無關(guān)列向量 ，并保證這n-k個列向量與原來的k個列向量都是線性無關(guān)的，這樣就組成了非奇異變換矩陣：,通過非奇異變換 ，就可以把原系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解：,注意：非奇異變換矩陣P任意的，所以結(jié)構(gòu)分解后得到的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣，但矩陣中具體的元素值是不同的，唯一確定不變的是 (能控部分系統(tǒng)矩陣)是k維的，（不能控部分系統(tǒng)矩陣）是n-k

34、維的。,在這樣的分解規(guī)范表達(dá)式中，系統(tǒng)被明顯的分解成能控部分和不能控部分。 能控部分的k維方程為：,n-k維不能控子系統(tǒng)：,方塊圖：,舉例:,重新排序：,討論：,不能控部分是系統(tǒng)內(nèi)部完全不受外加作用控制的。,經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)特征值不變，即,系統(tǒng)特征值被分成兩部分，能控振型，不能控振型。,經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變，即： 可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一種不完全的描述,只能反應(yīng)出系統(tǒng)能控部分的特征值。,10,按能觀測性分解,不完全能觀測系統(tǒng) ， 在n個狀態(tài)中只有k個是能觀測的，其余n-k個狀態(tài)是不能觀測的，按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解就是找到這k個能觀測的狀態(tài)，并寫出能觀測子系統(tǒng)與不能觀測子

35、系統(tǒng)分別對應(yīng)的狀態(tài)方程，采用的方法就是線性非奇異變換。,非奇異變換矩陣的構(gòu)造,從 中任意選取k個線性無關(guān)行，記作 ， 再從n維實數(shù)空間中任選n-k個線性無關(guān)行向量 并保證這n-k個行向量與原來的k個行向量都是線性無關(guān)的，這樣就組成了非奇異變換矩陣：,通過非奇異變換 ，就可以把原系統(tǒng)按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解：,注意：非奇異變換矩陣Q是任意的，所以結(jié)構(gòu)分解后得到的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣，但矩陣中具體的元素值是不同的，唯一確定不變的是 (能觀測子系統(tǒng)矩陣)是k維的， （不能觀測子系統(tǒng)矩陣）是n-k維的。,在這樣的分解規(guī)范表達(dá)式中，系統(tǒng)被明顯的分解成能觀測部分和不能觀測部分，其中能觀測部分的k維方程為

36、：,n-k維不能觀測子系統(tǒng)：,討論：,系統(tǒng)的輸出完全體現(xiàn)了可測狀態(tài)，而不能觀測部分沒有輸出與之對應(yīng)。,經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)特征值不變，即,系統(tǒng)特征值被分成兩部分：能觀測和不能觀測特征值。,經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變，即： 可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只能反應(yīng)出系統(tǒng)能觀測部分的特征值，是一種不完全的描述。,規(guī)范分解,如果系統(tǒng)是不完全能控且不完全能觀測的，那么單純對系統(tǒng)進行一次分解（按能控性或是能觀測性）并不可能對整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有完全的了解，這時必須進行二次分解，在能觀測性分解的基礎(chǔ)上進行能控性分解，這樣才可能對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有更好的了解。 把同時按照能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解稱為規(guī)范分解。

37、注意：規(guī)范分解時必須先按能觀測性進行分解，然后再進行能控性分解，而不能先對系統(tǒng)按能控性進行分解，然后再分別對能控子系統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解，其原因就在于按能控性分解后得到的能控性子系統(tǒng)的輸出和不能控子系統(tǒng)的輸出之和才是整個系統(tǒng)真正的輸出，系統(tǒng)的能觀測性反映的是輸出對狀態(tài)的觀測能力，它與子系統(tǒng)的輸出和對狀態(tài)的觀測能力是不同的，所以分別對能控子系統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)再按能觀測進行結(jié)構(gòu)分解，得到的結(jié)果可能是錯誤的。,首先進行能觀測性分解得： 能觀測和不能觀測狀態(tài)中同時都包括能控和不能控的兩部分，為此要對能觀測子系統(tǒng)和不能觀測子系統(tǒng)再按照能控性進行分解：,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 只反應(yīng)出能控且能觀測那部分

38、的特征值，而不能控或是不能觀測那部分的特征值模態(tài)再傳遞函數(shù)中并沒有體現(xiàn)。這些不能控或是不能觀測的模態(tài)代表了系統(tǒng)的內(nèi)部特征，在有關(guān)文獻(xiàn)中被稱為隱藏模態(tài)。所以說狀態(tài)空間描述要比輸入輸出描述全面，它不光能夠反應(yīng)出系統(tǒng)的外部特征，同時也可以體現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)部特征。,信息傳遞： 不可控，不可觀，進：由不可控 來，出：去不可觀 。 可控，不可觀，只進不出，有從u及可控 來的。 不可控，可觀，只出不進，有去y及可觀 的。 可控，可觀，進： ， 出：,卡爾曼吉伯特定理: 傳遞函數(shù)矩陣只反映系統(tǒng)即可控又可觀部分。,11,本節(jié)開始討論線性系統(tǒng)的綜合問題，其研究內(nèi)容是已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，參數(shù)以及所期望得到的系統(tǒng)運動形式或是

39、其他某些特征，需要確定施加于系統(tǒng)的外加輸入作用，也就是控制律。 反饋是系統(tǒng)綜合設(shè)計的主要方法。由于在經(jīng)典控制論中系統(tǒng)采用傳遞函數(shù)描述，只能是采用輸出量作為反饋變量，而現(xiàn)代控制理論由于采用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)，因此除了輸出反饋形式以外，還常常采用狀態(tài)反饋。,7.4 線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與極點配置,問題的提法 性能指標(biāo)的類型 綜合問題的研究步驟 工程實現(xiàn)中的一些問題,7.4.1 綜合問題簡介,1問題的提法,綜合問題就是尋找一個適當(dāng)?shù)目刂谱饔胾，使得系統(tǒng)在其作用下的運動行為滿足所給出的期望性能指標(biāo)。這個性能指標(biāo)即可能是對其運動過程所給定的某種期望形式，也可能是對系統(tǒng)運動狀態(tài)期望形式所規(guī)定的某些

40、特征向量，再或者就是某個需要去極小和極大值的一個性能函數(shù)。,2性能指標(biāo)的類型,綜合問題中的期望性能指標(biāo)可以區(qū)分成非優(yōu)化型性能指標(biāo)和優(yōu)化型性能指標(biāo)兩種。這兩者之間的差別就在于非優(yōu)化型性能指標(biāo)是一類不等式型的指標(biāo)，也就是說只有性能值達(dá)到或者好于性能指標(biāo)，就算實現(xiàn)了綜合控制目標(biāo)。而優(yōu)化型指標(biāo)是一類極值型指標(biāo)，就是要求性能指標(biāo)在所有值中取為最小或是最大值。,非優(yōu)化型性能指標(biāo),鎮(zhèn)定問題：以系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性為性能指標(biāo) 極點配置問題：以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點作為性能指標(biāo) 解耦控制：以多輸入多輸出系統(tǒng)實現(xiàn)“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標(biāo) 跟蹤問題：把系統(tǒng)輸出y無靜差地跟蹤一個外部信號作為性能指標(biāo)。這個外

41、部信號可以是直接給定的某個非零時間函數(shù)，也可以使由某個動態(tài)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生，再或者是給定參考信號恒為零，相應(yīng)的綜合問題就可以稱為跟蹤，匹配，調(diào)節(jié)。,優(yōu)化型性能指標(biāo),通常取成相對于狀態(tài)x和控制u的二次型積分函數(shù): 其中，R是正定對稱常陣，Q是對稱正定常陣或是滿足（A，Q1/2）能觀測的半正定對稱常陣 對于不同的綜合問題，需要確定出合適的加權(quán)矩陣Q和R，而綜合的任務(wù)就是要找到一個控制u*，使得相應(yīng)的性能指標(biāo)J(u*)取為極小值，這就是最優(yōu)控制問題，確切地說是線性二次型最優(yōu)控制問題，即LQ調(diào)節(jié)器問題,3綜合問題的研究步驟,第一步 建立可綜合條件，就是相對于給定的受控系統(tǒng)和給定的期望性能指標(biāo)，找到使相應(yīng)

42、控制存在并且能實現(xiàn)綜合目標(biāo)所應(yīng)滿足的條件 第二步 建立相應(yīng)的綜合控制規(guī)律算法，利用這些算法對滿足可綜合條件的問題，確定出滿足要求的控制律。,4工程實現(xiàn)中的一些問題,狀態(tài)反饋的構(gòu)成問題 系統(tǒng)模型的不準(zhǔn)確和參數(shù)攝動問題 對外部擾動的影響和抑制問題,7.4.2 狀態(tài)反饋與輸出反饋,控制作用u一般是依賴于系統(tǒng)的實際響應(yīng)，也就是說控制作用u可以表示成系統(tǒng)狀態(tài)或輸出的一個線性向量函數(shù)： 簡稱狀態(tài)反饋或輸出反饋,其結(jié)構(gòu)圖如下：,狀態(tài)反饋與輸出反饋的構(gòu)成：,顯然兩種反饋都改變了系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，但并不能說這兩種反饋形式在改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)屬性和實現(xiàn)性能指標(biāo)方面具有相同的功效。事實上，在改善系統(tǒng)性能方面，狀態(tài)反饋的效果

43、要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于輸出反饋，而輸出反饋的作用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于狀態(tài)反饋。,狀態(tài)、輸出反饋對系統(tǒng)性能的影響,結(jié)論1：狀態(tài)反饋的引入不改變系統(tǒng)的能控性，但可能改變系統(tǒng)的能觀測性。 結(jié)論2：輸出反饋的引入能夠同時不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性 注意：系統(tǒng)經(jīng)過反饋之后，能控性（或能觀測性）不發(fā)生改變，包含兩部分的意義：對于完全能控（或完全能觀測）的系統(tǒng)來講，反饋系統(tǒng)仍舊是完全能控的（或完全能觀測的）；另外對于不完全能控（或不完全能觀測）的系統(tǒng)來講，反饋后系統(tǒng)能控（或能觀測）子空間及不能控（或不能觀測）子空間的維數(shù)保持不變。,結(jié)論1證明：,PBH特征向量方法： 對A的任一特征值 使同時滿足 的特征向量 對于反饋控制系統(tǒng)有

44、： 反饋系統(tǒng)與被控系統(tǒng)的能控性判別條件相同。,例：給定系統(tǒng),1）判斷能控性和能觀測性（完全能控，完全能觀）,2）引入反饋：K=0 4，可得反饋系統(tǒng)：,判斷反饋系統(tǒng)能控性和能觀測性（完全能控，不完全能觀測）：,3）引入反饋：K=0 5，可得反饋系統(tǒng)： 判斷反饋系統(tǒng)能控性和能觀測性（完全能控，完全能觀測）：,狀態(tài)反饋與輸出反饋的比較,從反饋信息性質(zhì)的角度比較：狀態(tài)反饋所反饋的信息是系統(tǒng)的狀態(tài)，是一種可以完全表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的信息，所以狀態(tài)反饋又稱為完全的系統(tǒng)信息反饋。而輸出反饋所反饋的信息是系統(tǒng)輸出，這是一種不完全的系統(tǒng)信息反饋。一般來說要想是系統(tǒng)獲得良好的動態(tài)性能，必須采用完全的信息反饋，也就是狀態(tài)

45、反饋。,從改善系統(tǒng)性能上比較：狀態(tài)反饋要比輸出反饋強，但也不是說就不再用輸出反饋。要想使輸出反饋也能達(dá)到滿意的性能，就應(yīng)該引入串聯(lián)補償器和并聯(lián)補償器，構(gòu)成一個動態(tài)的輸出反饋系統(tǒng)。通常情況下，補償器是階次較低的線性系統(tǒng)，它的引入提高了整個反饋系統(tǒng)的階次，這也是它的一個主要缺點。,從反饋系統(tǒng)的工程實現(xiàn)角度比較：因為輸出變量是可以直接測量的，因此輸出反饋顯然要比狀態(tài)反饋更容易在工程中實現(xiàn)。從這一點上來看，輸出反饋要優(yōu)于狀態(tài)反饋。要想解決狀態(tài)反饋的實現(xiàn)問題，就必須引入一個附加的狀態(tài)觀測器。帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)也存在著一個明顯的缺點：大大地提高整個反饋系統(tǒng)的階次。,7.4.3 狀態(tài)反饋極點配置,

46、狀態(tài)反饋極點配置問題就是找到這樣一個反饋控制 ，使得所導(dǎo)出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) 的極點達(dá)到期望極點,進行極點配置的主要原因就在于通常情況下，期望的閉環(huán)極點體現(xiàn)了綜合問題中的一些性能指標(biāo)，如時域中的過渡過程時間、超調(diào)量、調(diào)整時間以及頻域中的增益穩(wěn)定裕度，相位穩(wěn)定裕度等這些直觀的系統(tǒng)性能指標(biāo)經(jīng)過轉(zhuǎn)換，經(jīng)驗估計，可以對應(yīng)系統(tǒng)的極點位置。進行極點配置實際上就是讓系統(tǒng)達(dá)到所要求的性能指標(biāo)。,極點配置條件,定理：線性定常系統(tǒng)可以通過線性狀態(tài)反饋在S平面上任意配置其全部極點和特征頻率的充要條件是系統(tǒng)是（A，B）完全能控的。,理解：如果系統(tǒng)不完全能控，通過結(jié)構(gòu)分解，系統(tǒng)可以分解成兩個小子系統(tǒng)：能控與不能控的，,

47、取狀態(tài)反饋 顯然狀態(tài)反饋只能改變能控子系統(tǒng)的特征頻率，而對不能控部分卻絲毫不起作用，因此只有當(dāng)系統(tǒng)完全能控時，才可以在S平面上任意配置其特征頻率。,12,單變量系統(tǒng)（SI）的極點配置算法,判斷系統(tǒng)是否能控，如果是，則系統(tǒng)可以進行極點任意配置，繼續(xù)第二步，否則停止。 計算A矩陣的特征多項式：,確定閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項式： 計算增益矩陣：,計算非奇異變換矩陣P（將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型）： 反饋增益矩陣：,算法思路,能控標(biāo)準(zhǔn)型是將狀態(tài)空間表達(dá)形式與系統(tǒng)特征根或特征多項式聯(lián)系的最簡形式，而任意給定的系統(tǒng)通常不具有能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式，首先采用非奇異變換 , 把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型：,要想將此標(biāo)準(zhǔn)型的極點配置

48、到期望值所采用的反饋為 ，即,因為所需狀態(tài)反饋是針對初始狀態(tài)x，而不是變換后的 ，所以對上述反饋增益矩陣要再經(jīng)過一次變換才可以，即 其中 就是所需要的狀態(tài)反饋增益矩陣,注意：如果是低階系統(tǒng)（n 3），則將線性反饋增益矩陣K直接代入期望的特征多項式，可能更為簡便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為 將該陣K代入期望特征多項式 ，并使 令方程兩端s同次冪系數(shù)相等可以確定k1，k2，k3的值,例1 考慮如下線性定常系統(tǒng),式中 希望該系統(tǒng)閉環(huán)極點為s = -2j4和s=-10。試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。,解：首先需檢驗該系統(tǒng)的能控性矩陣： 系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點。下面用前面

49、介紹的2種方法分別求解。,方法1：采用單變量系統(tǒng)的極點配置算法。該系統(tǒng)的特征方程為：,期望的特征方程為 參照式 ，且系統(tǒng)表達(dá)本身就是能控標(biāo)準(zhǔn)形，即P為單位陣，可得,方法2：設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益為,并使 和期望的特征多項式相等，可得,因此 從中可得 顯然，這兩種方法所得到的反饋增益矩陣K是相同的。使用狀態(tài)反饋方法，正如所期望的那樣，可將閉環(huán)極點配置在s = -2j4和s = -10處。,注意,對于單輸入單輸出系統(tǒng)而言，狀態(tài)反饋并不會改變系統(tǒng)的零點，但是可能會出現(xiàn)這種情況：引入狀態(tài)反饋后，恰好把某些極點配置到與零點相同的位置上，從而產(chǎn)生了零極點對消，造成了被抵消的極點變成不可觀測，這就是狀態(tài)反饋可

50、能引起系統(tǒng)能觀測性發(fā)生改變的直觀解釋。 從極點配置條件可知，只要系統(tǒng)是完全能控的，那么無論系統(tǒng)開環(huán)矩陣是否穩(wěn)定，都可以通過適當(dāng)選擇的反饋矩陣使得系統(tǒng)變成穩(wěn)定。而且控制作用的大小與閉環(huán)極點的位置有關(guān)。開環(huán)極點經(jīng)反饋后被移動的幅度越大，那么反饋的控制作用越劇烈，反饋增益也就越大。,對于給定系統(tǒng)和期望性能指標(biāo)，狀態(tài)反饋矩陣K不唯一，而是依賴于期望閉環(huán)極點的位置。 首先工程上要求系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，所以閉環(huán)極點一定選在左半平面上。另外如果系統(tǒng)是2階的，那么系統(tǒng)的動態(tài)特性（響應(yīng)特性）正好與系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點和零點的位置聯(lián)系起來。 對于更高階的系統(tǒng)，通?？梢愿鶕?jù)上升時間、超調(diào)量、回復(fù)時間等性能指標(biāo)，按照主導(dǎo)極

51、點的原則來選取所期望的閉環(huán)極點位置。 在確定K時，最好通過計算機仿真來檢驗系統(tǒng)在幾種不同矩陣（基于幾種不同的所期望的特征方程）下的響應(yīng)特性，并且選出使系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K。,輸出反饋的極點配置問題,給定SISO系統(tǒng)，取輸出反饋為 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 其中 輸出反饋的閉環(huán)特征方程為：,輸出反饋閉環(huán)極點分布在當(dāng) 時，從開環(huán)極點出發(fā)到開環(huán)零點中止的這樣一條軌線上，這就體現(xiàn)了輸出反饋的局限性，即它不能任意配置系統(tǒng)的極點。如果在引入輸出反饋的同時，適當(dāng)?shù)剡x取補償器的結(jié)構(gòu)和特性，那么就可以實現(xiàn)輸出反饋系統(tǒng)的全部極點任意配置。,13,鎮(zhèn)定問題,狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定就是找到這樣一個狀態(tài)反饋u=-kx+v，使得閉

52、環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，也就是它的系統(tǒng)矩陣(A-Bk)的特征值都具有負(fù)實部。實際上，鎮(zhèn)定問題可以看作狀態(tài)反饋極點配置問題中的一個特例，只不過不是把極點配置到任意指定的位置上，而是把它配置在s復(fù)平面的左半開平面內(nèi)。所以通常這類問題又稱為區(qū)域型極點配置問題。 線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是該系統(tǒng)的不能控部分是漸近穩(wěn)定的。,可鎮(zhèn)定條件,鎮(zhèn)定算法,將系統(tǒng)(A,B)按能控性進行分解，導(dǎo)出能控，不能控子系統(tǒng)方程及變換矩陣P，求出不能控部分的特征根，判定其是否穩(wěn)定，如果是，則繼續(xù)，否則，停止算法。 對于能控部分的鎮(zhèn)定問題，可選取具有負(fù)實部的極點，按照極點配置算法將其極點配置到期望值，從而實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

53、,例：給定系統(tǒng)： （a）問系統(tǒng)是否能控，若完全能控，則化成能控標(biāo)準(zhǔn)形，若不完全能控，則分別寫出能控、不能控子系統(tǒng)表達(dá)式。 （b）問能否設(shè)計狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點為2，3，4，請說明原因,解：能控性判別矩陣 秩2，所以系統(tǒng)不完全能控。按照能控性進行結(jié)構(gòu)分解，選擇變換矩陣 通過坐標(biāo)變換 ，結(jié)構(gòu)分解得： 可見系統(tǒng)不能控的特征根為2，是穩(wěn)定的，所以可以將極點配置到2，3，4。,例：已知被控系統(tǒng)由以下3個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，如圖所示，試以圖中標(biāo)出狀態(tài)為狀態(tài)變量，列寫狀態(tài)方程，并設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)極點為3， ，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,解：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)為：,判定能控性 系統(tǒng)能控，故可以進行極點任意配置,

54、極點配置： 系統(tǒng) 結(jié)構(gòu)圖：,7.5.1 全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計,考慮如下線性定常系統(tǒng) 在有關(guān)狀態(tài)觀測器的討論中，用 表示被觀測狀態(tài)。,設(shè)計思路：利用系數(shù)矩陣(A,B,C)來對被估計系統(tǒng)進行直接復(fù)制，即可達(dá)到狀態(tài)重構(gòu)的目的。如果保證觀測器的初始狀態(tài)和輸入與給定系統(tǒng)的完全相同，那么就可以實現(xiàn)在整個時間區(qū)域上的狀態(tài)復(fù)制。這是一種完全的狀態(tài)重構(gòu)。一般來講，這種開環(huán)型的觀測器本身沒有任何的實際價值。,上述開環(huán)型的觀測器很難應(yīng)用，主要缺點有：一要使用此觀測器必須計算出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，并設(shè)置觀測器的初始狀態(tài)與給定系統(tǒng)相同；二是如果系數(shù)矩陣A中包含了不穩(wěn)定特征根的話，那么即使觀測器和給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)存在微小的

55、差異，也會隨著時間的增加而無限放大。 誤差方程為：,引入一個修正項 ，這時就利用給定系統(tǒng)的輸入和輸出構(gòu)成了反饋型觀測器： 觀測器增益矩陣 起到加權(quán)矩陣的作用。修正項監(jiān)控狀態(tài)變量 ，使其漸近跟蹤系統(tǒng)的真實狀態(tài)。,誤差動態(tài)由A - LC特征值決定。選擇適當(dāng)L使得誤差動態(tài)特性漸近穩(wěn)定且足夠快，則任意誤差向量e(t)都將以足夠快的速度趨近于零 (原點)，稱為x (t)的漸近估計或重構(gòu)。,觀測器誤差方程：,可觀測條件,全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題，是確定觀測器增益矩陣L，使得誤差動態(tài)方程以足夠快的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定性和誤差動態(tài)方程的響應(yīng)速度由矩陣A-LC的特征值決定）。因此，全維觀測器的設(shè)計就歸結(jié)為

56、如何確定適當(dāng)?shù)腖，使得A-LC具有期望的特征值。此時，全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題實際上就變成了與極點配置相同的問題。,觀測條件：系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充要條件是對偶系統(tǒng)完全能控或給定系統(tǒng)是完全能觀測的。,在設(shè)計全維狀態(tài)觀測器時，求解如下對偶系統(tǒng)的極點配置問題： 如果對偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 得到一組期望的特征值：,注意到 與觀測器系統(tǒng)矩陣的特征多項式相比較，可找出L和K的關(guān)系為 因此，觀測器問題與極點配置問題具有對偶關(guān)系，即,(SISO)全維狀態(tài)觀測器的B-G算法,能觀標(biāo)準(zhǔn)型是將狀態(tài)空間表達(dá)形式與系統(tǒng)特征根聯(lián)系的最簡形式，而任意給定的系統(tǒng)通

57、常不具有能觀標(biāo)準(zhǔn)型的形式，所以首先采用非奇異變換 , 把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型：,要想將此標(biāo)準(zhǔn)型對偶系統(tǒng)的極點配置到期望值所采用的增益矩陣為 ，即,上述觀測器增益是針對變換后的狀態(tài) ，而不是初始狀態(tài)空間x，所以需對其進行變換回到原空間，即 觀測器的方程為,求觀測器增益矩陣L的直接代入法,與極點配置算法的情況類似，如果系統(tǒng)是低階的(n=3)，可將矩陣L直接代入期望的特征多項式進行計算。例如，若x是一個3維向量，則觀測器增益矩陣L可寫為,將L代入期望的特征多項式 通過使上式兩端s的同次冪系數(shù)相等，即可確定出l1 , l2和l3的值。如果n =1,2或3，其中n是狀態(tài)向量x的維數(shù)，則該方法十分簡便（雖然該

58、方法可應(yīng)用于n = 4, 5, 6, 的情況，但計算有可能非常繁瑣）。,Luenberger曾經(jīng)指出，當(dāng)觀測器期望極點的實部太負(fù)，使衰減太快，將導(dǎo)致觀測器的作用接近于一個微分器，從而使頻帶加寬，不能避免地將高頻噪聲分量放大，而且也存在觀測器的可實現(xiàn)性問題 (因為衰減速度太快，則矩陣較大)，因此進行觀測器本身的極點配置時，只需使觀測器的期望極點比由此組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快25倍。 迄今為止，我們假設(shè)觀測器中的矩陣A,B,C與實際系統(tǒng)中的嚴(yán)格相同。實際上，這做不到。因此，誤差動態(tài)方程不可能由 給出，這意味著

59、誤差不可能趨于零。因此，應(yīng)盡量建立觀測器的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，以使相應(yīng)的誤差小到令人滿意的程度。,幾點說明：,3.作為對觀測器動態(tài)方程修正的觀測器增益矩陣L ，通過反饋信號來考慮系統(tǒng)中的未知因素。如果含有明顯的未知因素，那么利用矩陣L的反饋信號也應(yīng)該比較大。然而另一方面，如果由于干擾和測量噪聲使輸出信號受到嚴(yán)重干擾，則輸出y是不可靠的。因此，由矩陣L引起的反饋信號應(yīng)該比較小。在決定矩陣時，應(yīng)該仔細(xì)檢查包含在輸出y中的干擾和噪聲的影響。 4.應(yīng)強調(diào)的是觀測器增益矩陣L依賴于期望的特征根，在許多情況中，1, 2, ,n的選取不是唯一的。在設(shè)計狀態(tài)觀測器時，最好在幾個不同的期望特征方程的基礎(chǔ)上決定L。對不同的矩陣L必須進行仿真驗證，以評估系統(tǒng)的最終性能。應(yīng)從系統(tǒng)總體性能的觀點來選取最好的。在