《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件之6.ppt

1、Ch2-12,2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布,定義,若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限 個(gè)或可列個(gè), 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,Ch2-13,分布律的性質(zhì),X ,或,Ch2-14,F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取 值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)為第一類跳躍間 斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度 pk .,其中 .,Ch2-15,解,例1 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng) 過 4 盞信號(hào)燈, 每盞信號(hào)燈獨(dú)立地 以概率 p 允許汽車通過.,首次停下時(shí)已通過的信號(hào)燈盞數(shù), 求 X 的概 率分布與 p = 0.4 時(shí)的分布函數(shù).,令 X 表示,Ch2-16,

2、當(dāng),Ch2-17,1,Ch2-18,用分布律或分布函數(shù)來計(jì)算事件的概率,例2 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計(jì) 算下述事件的概率：,解,或,Ch2-19,或,Ch2-20,例3 一門大炮對(duì)目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo) 必須被擊中r 次才能被摧毀. 若每次擊中目 標(biāo)的概率為p (0 p 1), 且各次轟擊相互獨(dú) 立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需 轟擊次數(shù) X 的概率分布.,帕斯卡 分 布,Ch2-21,注,利用冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì),當(dāng),Ch2-22,歸納地,令,Ch2-23,(1) 0 1 分布,注 其分布律可寫成,0 1分布描述，如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng),計(jì)、系統(tǒng)是否正常

3、、電力消耗是否超標(biāo)等等.,Ch2-24,(2) 二項(xiàng)分布,n 重伯努利Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的 次數(shù) , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，記作,01 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布,Ch2-25,二項(xiàng)分布的取值情況,設(shè),由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,此時(shí)的 稱為最可能成功次數(shù),Ch2-26,Ch2-27,設(shè),由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，,分布取得最大值,Ch2-28,Ch2-29,二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo),則稱 為最可能出現(xiàn)的次數(shù),Ch2-30,當(dāng)( n + 1) p 整數(shù)時(shí), 在 k = ( n

4、 + 1) p 處的概率取得最大值,Ch2-31,例4 獨(dú)立射擊5000次, 每次命中率為0.001,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求 (1) 最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；,(2) 命中次數(shù)不少于1 次的概率.,Ch2-32,(2) 令X 表示命中次數(shù),則 X B(5000,0.001),本例 啟示,Ch2-33,由此可見日常生活中“提高警惕, 防火,由于時(shí)間無限, 自然界發(fā)生地震、海,嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的,同樣, 人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕,癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常,現(xiàn)象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不開而,

5、防盜”的重要性.,事，不用奇怪，不用驚慌 .,跳物理樓(交大閔行校區(qū)最高樓)自殺.,Ch2-34,Poisson定理說明若X B( n, p), 則當(dāng)n 較大， p 較小, 而 適中, 則可以用近似公式,問題 如何計(jì)算 ？,Ch2-35,證,記,Ch2-36,類似地, 從裝有 a 個(gè)白球，b 個(gè)紅球的袋中 不放回地任取 n 個(gè)球, 其中恰有k 個(gè)白球的 概率為,對(duì)每個(gè) n 有,結(jié) 論,超幾何分布的極限分布是二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布的極限分布是 Poisson 分布,Ch2-37,解 令X 表示命中次數(shù), 則,令,此結(jié)果也可直接查 P.378 附表2 泊松 分布表得到，它與用二項(xiàng)分布算得的結(jié)果 0.9

6、934僅相差萬分之一.,利用Poisson定理再求例4 (2),X B( 5000,0.001 ),Ch2-38,由題意,多少個(gè)產(chǎn)品？,Ch2-39,得 n +1 = 6 , n = 5,故每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才能符合要求.,應(yīng)用Poisson定理,Ch2-40,在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng) n 20, p 0.05時(shí), 可用上 述公式近似計(jì)算; 而當(dāng) n 100, np 10 時(shí), 精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057

7、0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,Ch2-41,解 (1) 設(shè) 需要配備 N 個(gè)維修工人,設(shè) X 為90 臺(tái),設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則 X B( 90, 0.01),自學(xué)（詳解見教材 P.61例6 ),Ch2-42,令,則,查附表2得 N = 4,Ch2-43,三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能 及時(shí)維修的概率為,Ch2-44,設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，第 i 個(gè)人負(fù)責(zé)的 30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件 Ai,則,三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí) 維修為事件,故 三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90 臺(tái)設(shè)備比各自負(fù)

8、責(zé)好！,Ch2-45,在Poisson 定理中，,由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的概率分布 Poisson 分布,Ch2-46,(3) Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,Ch2-47,在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：,大賣場(chǎng)的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼喚次數(shù)；,市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)., ,一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；,一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；,一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；, ,放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；,Ch2-48,都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī) 質(zhì)點(diǎn)流 , 若它們滿足一定的條件, 則稱為 Poisson 流, 在 長為 t 的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì) 點(diǎn)數(shù) Xt P ( t ),Ch

9、2-49,例7 設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變 量 X ,設(shè)各個(gè)蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是 相互獨(dú)立的.,已知X P()，且每個(gè)蟲卵發(fā)育,成幼蟲的概率為 p.,求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù) Y 的概率分布.,Ch2-50,解,昆蟲,X 個(gè)蟲卵,Y 個(gè)幼蟲,已知,由全概率公式,Ch2-51,故,Ch2-52,為X 的分布函數(shù).,設(shè) X 為隨機(jī)變量, x 是任意實(shí)數(shù) ,稱函數(shù),定義,由定義知 X 落在區(qū)間( a ,b 里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：,2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù),Ch2-53,分布函數(shù)的性質(zhì),F ( x ) 單調(diào)不減，即,且,F ( x ) 右連續(xù)，即,Ch2-54,用分布函數(shù)表示概率,Ch

10、2-55,已知運(yùn)載火箭在飛行中進(jìn)入其儀,器艙的宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為 2 的泊,松分布. 而進(jìn)入儀器艙的粒子隨機(jī)落,到儀器重要部位的概率為 0.1， 求有,3 個(gè)粒子落到儀器重要部位的概率 .,第五周,問題,Blaise Pascal 1623-1662,帕斯卡,法國數(shù)學(xué)家 物理學(xué)家 思想家,帕斯卡四歲喪母, 在父親精心培養(yǎng) 下, 16歲時(shí)發(fā)現(xiàn)帕斯卡六邊形定理,寫成 圓錐曲線論,由此定理導(dǎo)出400余條 推論, 這是古希臘阿波羅尼奧斯以來圓 錐曲線論的最大進(jìn)步.,帕斯卡簡(jiǎn)介,1642年發(fā)明世界上第一臺(tái)機(jī)械加法 計(jì)算機(jī)帕斯卡計(jì)算器.,他應(yīng)用此方法解決了擺線問題.,1654年研究二項(xiàng)系數(shù)性質(zhì),寫出 論算術(shù)三角形一文,還深入討論 不可分原理,這實(shí)際上相當(dāng)于已知道,1647年他發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)的帕斯卡原理.,三十歲時(shí)他曾研究過賭博問題, 對(duì)早期概率論的發(fā)展頗有影響.,1658年完成了擺線論,這給 G.W.萊布尼茨以很大啟發(fā),促使了微 積分的建立.,在離散型隨機(jī)變量的分布中有個(gè) 以帕斯卡名字