固體物理電子教案31一維晶格振動.ppt

1、第一節(jié) 一維晶格的振動,3.1.1 一維單原子鏈的振動,3.1.2 一維雙原子鏈(復(fù)式格子)的振動,本節(jié)主要內(nèi)容:,3.1 一維晶格的振動,3.1.1 一維單原子鏈的振動,1. 振動方程及其解,(1)模型：一維無限長的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m。,用xn和xk分別表示序號為n和k的原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移，用xnk= xn-xk表示在t時(shí)刻第n個(gè)和第k個(gè)原子的相對位移。,(2)振動方程和解,平衡時(shí)，第k個(gè)原子與第n個(gè)原子相距,為兩個(gè)原子間的互作用勢能，平衡時(shí)為 ，,t時(shí)刻為,第 n個(gè)與第 k個(gè)原子間的相互作用力:,振動很微弱時(shí)，勢能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高

2、次項(xiàng)，只保留到(r)2項(xiàng)-簡諧近似。,(忽略掉作用力中非線性項(xiàng)的近似-簡諧近似。),得:,原子的振動方程:,只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復(fù)力系數(shù)相等：,給出試探解：,原子都以同一頻率，同一振幅A振動,相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個(gè)原子間的振動相互間都存在著固定的位相關(guān)系,即原子的振動形成了波，這種波稱為格波。,將試探解代入振動方程得振動頻率:,推導(dǎo)略,給出試探解:,由色散關(guān)系式可畫圖如下:,2.色散關(guān)系,是波矢q的周期性函數(shù),且(-q)= (q)。,且,故取,簡約布里淵區(qū),且,3. 玻恩-卡門周期性邊界條件及波矢q的取值,(1)玻恩-卡門周期性邊界條件,設(shè)在實(shí)際晶體外，仍然有無限多

3、個(gè)完全相同的晶體相連接，各晶體中相對應(yīng)的原子的運(yùn)動情況都一樣。,晶體中任一個(gè)原子，當(dāng)其原胞標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個(gè)數(shù) ）后，其振動情況復(fù)原。由N個(gè)原胞組成的單原子鏈，由玻恩-卡門周期性邊界條件:,對于一維布拉維晶格(原胞標(biāo)數(shù)與原子標(biāo)數(shù)相同):,(2)波矢q的取值,波矢 也只能取N個(gè)不同的值。,(共N個(gè)值),晶格振動波矢只能取分立的值 波矢的數(shù)目(個(gè)數(shù))=晶體原胞的數(shù)目,4. 長波極限:,在長波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。,例1.求由5個(gè)原子組成的一維單原子晶格的振動頻率。設(shè)原子質(zhì)量為m，恢復(fù)力常數(shù)為(只考慮近鄰原子間的相互作用)。,由玻恩-卡門周期性邊界條件:,解

4、:設(shè)最近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，則:,將試探解代入振動方程得色散關(guān)系:,模型,運(yùn)動方程,試探解,色散關(guān)系,波矢q范圍,一維無限長原子鏈，m，a，,晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù),B-K條件,波矢q取值,3.1.2 一維雙原子鏈(復(fù)式格)的振動,1. 運(yùn)動方程和解,(1) 模型:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且mM。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。,(晶格常量為2a ),質(zhì)量為M的原子編號為2n-2 、2n、2n+2、,質(zhì)量為m的原子編號為2n-1 、2n+1、2n+3、,若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：,(2)方程和解,其他原子位移可按下列原則得出:,(1)同種原子周圍情況都相同

5、，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。,(2)相隔一個(gè)晶格常數(shù)2a的同種原子，相位差為2aq。,2.色散關(guān)系,上式看成是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程；,若A，B不全為零，必須其系數(shù)行列式為零，即:,推導(dǎo)略,0(+)-光學(xué)支格波，,A(-)-聲學(xué)支格波,(1)色散曲線,由玻恩-卡門邊界條件，設(shè)晶體有N個(gè)原胞，則：,(2)波矢q的取值,(共有N個(gè)值),一維雙原子鏈，每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，晶體的自由度數(shù)是2N。,由N個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈，波矢的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，格波(振動模式)數(shù)目為2N。,晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞個(gè)數(shù) 晶格振動頻率(振動模式)的數(shù)目=晶體中原子的自由度數(shù),3.聲學(xué)

6、波和光學(xué)波,在長波近似的情況下，聲學(xué)支格波與彈性波的情況類似。,推導(dǎo)略,(2)相鄰原子的振幅之比,對于聲學(xué)支格波:,聲學(xué)支格波，相鄰原子都是沿著同一方向振動的。,長聲學(xué)波，相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動。因此，可以說，長聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的運(yùn)動。,對于光學(xué)波:,光學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相反的。,長光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動。所以定性地說，長光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對振動。,光學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相反的。,聲學(xué)支格波，相鄰原子振動方向是相同的。,可以證明，q=/2a時(shí)，在聲學(xué)支格波上，質(zhì)量為m的輕原子保持不動；在光學(xué)支格波上，質(zhì)量為M的重原子保持不動。,例2:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且mM ?？康幂^近的兩個(gè)原子構(gòu)成一個(gè)分子。設(shè)一個(gè)分子內(nèi)兩原子平衡位置的距離為b，恢復(fù)力系數(shù)為1，分子間兩原子間的恢復(fù)力系數(shù)為2，晶格常量為a(如圖