數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練第一章建立數(shù)學(xué)模型.ppt

1、1.1 什么是數(shù)學(xué)模型 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 1.3 數(shù)學(xué)建模示例 1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類(lèi) 1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,第一章 建立數(shù)學(xué)模型,玩具、照片、房屋模型 , 實(shí)物模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 , 符號(hào)模型,模型：為了一定目的，對(duì)原型的主要特征進(jìn)行簡(jiǎn)化、抽象得到的一個(gè)低代價(jià)近似替代物。,你常見(jiàn)的模型,數(shù)學(xué)模型：通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際對(duì)象的刻畫(huà)，以便于人們更深刻地了解所研究的對(duì)象, 從而更有效地解決實(shí)際問(wèn)題。,1.1 什么是數(shù)學(xué)模型,解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).,甲乙兩地相距750千米

2、，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)， 從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?,x =20 y =5,你熟悉的數(shù)學(xué)模型“航行問(wèn)題”,作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；,用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；,回答問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。,航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,Thats all？,更現(xiàn)實(shí)的“航行問(wèn)題”,水速、船速不是常數(shù)； 航行條件限制 調(diào)度問(wèn)題 經(jīng)濟(jì)問(wèn)題 ,擴(kuò)展閱讀：中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(CUMCM) 2000鋼管運(yùn)輸與訂購(gòu),可在競(jìng)賽網(wǎng)站下載,

3、一句話(huà)小結(jié),數(shù)學(xué)模型是復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的合理簡(jiǎn)化，可反映現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的主要特征。,通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際對(duì)象的刻畫(huà)，以便于人們更深刻地了解所研究的對(duì)象, 從而更有效地解決實(shí)際問(wèn)題。,建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括模型假設(shè)，模型表述、問(wèn)題求解、結(jié)果解釋、結(jié)論檢驗(yàn)等）,數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model),數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling),數(shù)學(xué)模型 和 數(shù)學(xué)建模,你身邊的數(shù)學(xué)模型：購(gòu)房貸款,作為房產(chǎn)公司的代理人，你要迅速準(zhǔn)確回答客戶(hù)各方面的問(wèn)題?，F(xiàn)在要制作一個(gè)軟件，根據(jù)客戶(hù)所選房屋的建筑面積、每平方米單價(jià)、首付比例，貸款種類(lèi)、貸款期限、還款方式等信息計(jì)算下列信息：

4、房款總額、首付款額、月還款額等。,NEW,分析與假設(shè),貸款種類(lèi):1 商業(yè) 2 公積金 3 組合(一般) 還款方式: 等額本息,等額本金 假設(shè)首付比例、貸款期限符合政府規(guī)定 假設(shè)自借款日一個(gè)月后，每月固定時(shí)間還款 不考慮貸款利率的變化（當(dāng)前計(jì)算結(jié)果貸款利率改變以后失效）,數(shù)學(xué)建模,房款總額T=建筑面積S每平方米單價(jià)R 首付款額F=房款總額T首付比例p 考慮 組合貸款(其他為特例)。設(shè)公積金貸款A(yù)T-F元， 那么商業(yè)貸款為B =T-F-A元 設(shè)后臺(tái)變量：公積金貸款N1月，年利率r1，商業(yè)貸款N2月，年利率r2 。,月還款額怎么算？,概念：月利率=年利率/12,等額本息情形,設(shè)公積金月還M元，第n個(gè)

5、月公積金貸款欠款xn. 那么 xn=xn-1(1+r1/12)-M, 計(jì)算得 xn= xn-2(1+r1/12)2-M (1+r1/12)-M = x0 (1+r1/12)n-M (1+r1/12)n-1+1 由于 x0=A, xN1=0. 那么 A (1+r1/12)N1-12M (1+r1/12)N1-1/ r1=0 這樣 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ (1+r1/12) N1 -1 同理 可以計(jì)算商業(yè)貸款月還款額,第n月還款額公式,等額本金情形,月還本貸款本金還款月數(shù)，利息月月清 月還款額（貸款本金還款月數(shù)）（所欠本金當(dāng)月利率） 第一個(gè)月公積金月還 A/N1+ Ar1/

6、12 第二個(gè)月公積金月還 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 . 第N1個(gè)月公積金月還 A/N1+ A1-(N1-1)/N1r1/12,第n月還款額公式,后繼工作/例子,收集數(shù)據(jù)，編寫(xiě)軟件(界面計(jì)算)，寫(xiě)說(shuō)明書(shū)。 例子: 80平米, 單價(jià)15000元, 首付30%, 公積金40萬(wàn), 期限20年,第一套房商業(yè)利率7. 05%*0.85,公積金利率4.9% (2012年1月1日6月7日). T, F, M=hmorgage2012(80, 15000, 0.3, 400000, 240, 240, 1) 等額本息(1): 5768元/月(總借84萬(wàn)，約還138萬(wàn)) 等額本金(2): 7331，

7、7315，, 3516 (約還130萬(wàn)),習(xí)題,補(bǔ)充題1: 如果是第二套住房，且全部為商業(yè)貸款（基準(zhǔn)利率*1.1）, 等額本息每個(gè)月要付多少? 最新情況(2012年7月6日)：第一套房商業(yè)利率6.55%*0.85，公積金4.5%. 補(bǔ)充題2: 如果原案例（第一套）是2012年3月1日貸款買(mǎi)房，2013年的月還款將調(diào)整為多少？(提示：存量房貸利率每年1月1日調(diào)整一次,可假設(shè)2012年8月以后利率不再調(diào)整),一句話(huà)小結(jié),只要你留意，數(shù)學(xué)建模就在你身邊 數(shù)學(xué)建模正在不斷更新中,場(chǎng)景,1.3 示例： 如何施救藥物中毒,兩位家長(zhǎng)帶著孩子急匆匆來(lái)到醫(yī)院急診室.,訴說(shuō)兩小時(shí)前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、

8、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀.,按照藥品使用說(shuō)明書(shū)，氨茶堿的每次用量成人是100200mg ，兒童是35 mg/kg.,過(guò)量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過(guò)高，濃度100g/ml會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重中毒,濃度200g/ml可致命.,醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃度會(huì)不會(huì)達(dá)到100200 g/ml；如果會(huì)達(dá)到，應(yīng)采取怎樣的緊急施救方案.,調(diào)查與分析,轉(zhuǎn)移率正比于x,排除率正比于y,認(rèn)為血液系統(tǒng)內(nèi)藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看作一個(gè)房室，建立“一室模型” .,藥量x(t),藥量y(t),血液系統(tǒng)對(duì)藥物的吸收率 和排除率可以由半衰期(下降一半所需時(shí)間)確定.

9、,半衰期可以從藥品說(shuō)明書(shū)上查到(氨茶堿被吸收的半衰期為5 h，排除的半衰期為6 h) .,通常，血液總量約為人體體重的7 % 8%，體重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.,目測(cè)這個(gè)孩子的體重約為成年人的一半，可認(rèn)為其血液總量約為2000ml.,調(diào)查與分析,血藥濃度=藥量/血液總量,口服活性炭來(lái)吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來(lái)（人體自身）的2倍.,臨床施救的辦法：,體外血液透析，藥物排除率可增加到原來(lái)的6倍，但是安全性不能得到充分保證.,模型假設(shè),1. 胃腸道中藥物向血液的轉(zhuǎn)移率與x(t) 成正比，比例系數(shù)(0)，總劑量1100 mg藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道, x(0)=11

10、00.,2. 血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t) 成正比，比例系數(shù)(0)，t=0時(shí)血液中無(wú)藥物, y(0)=0.,3. 氨茶堿被吸收的半衰期為5 h，排除的半衰期為6 h.,4. 孩子的血液總量為2000 ml.,胃腸道中藥量x(t), 血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時(shí)間t以孩子誤服藥的時(shí)刻為起點(diǎn)（t=0）.,模型建立,?,注意: 藥物的轉(zhuǎn)移排除并不是勻速的!,模型建立,x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數(shù)),y(t)由吸收而增長(zhǎng)的速度是x，由排除而減少的速度與y(t) 成正比(比例系數(shù)).,血藥濃度=藥量/血液總量,x(0)=1100,y(0)=0,模型求解,藥物吸收的半衰期為5 h,藥物排除

11、的半衰期為6 h,只考慮血液對(duì)藥物的排除,血液總量2000ml,血藥濃度200g/ml,結(jié)果及分析,胃腸道藥量,血液系統(tǒng)藥量,血藥濃度100g/ml,孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時(shí)施救，約3h后將有生命危險(xiǎn)！,y(2)=236.5,施救方案,口服活性炭使藥物排除率增至原來(lái)的2倍.,孩子到達(dá)醫(yī)院(t=2)就開(kāi)始施救，血液中藥量記作z(t),=0.1386 (不變)， =0.11552=0.2310,注意：施救前的 與施救后的 不同，須分段計(jì)算！,施救方案,施救后血液中藥量z (t)顯著低于y(t).,z (t)最大值低于致命水平.,要使z (t)在施救后立即下降，可算出至少應(yīng)為0.4885.

12、,若采用體外血液透析，可增至0.11556=0.693，血液中藥量下降更快(習(xí)題7)；臨床上是否需要采取這種辦法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見(jiàn)后確定.,一句話(huà)小結(jié),數(shù)學(xué)建模用數(shù)學(xué)方法可以幫助我們（以較低的成本）對(duì)情況的發(fā)展做預(yù)判，從而幫助我們做出正確的決策。,數(shù)學(xué)模型：通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際對(duì)象的刻畫(huà)，以便于人們更深刻地了解所研究的對(duì)象, 從而更有效地解決實(shí)際問(wèn)題。,習(xí)題,P21: ex6, ex7,數(shù)學(xué)建模的基本方法,機(jī)理分析,測(cè)試分析,根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)， 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律,將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究 (Case Studies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。,二者結(jié)合,用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測(cè)試分析確定模型參數(shù),1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,數(shù)學(xué)模型的分類(lèi),應(yīng)用領(lǐng)域,人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài) ,數(shù)學(xué)方法,初等數(shù)學(xué)