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文檔簡介

1、極坐標(biāo)系,第一講 坐標(biāo)系,問題探究,下圖是某校園的平面示意圖.假設(shè)某 同學(xué)在教學(xué)樓處,請回答下列問題: (1)他向東偏北60o方向走120m后到達 什么位置?該位置惟一確定嗎? (2)如果有人打聽 體育館和辦公樓的位 置,他應(yīng)如何描述?,A,E,B,C,D,60o,45o,辦公樓,實驗樓,圖書館,體育館,120m,60m,教學(xué)樓,50m,在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點; 自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再 選定一個長度單位、一個角度單位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆時針 方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.,講授新課,1. 極坐標(biāo)系的概念,講授新課,1. 極坐標(biāo)系的概念,設(shè)M是平面內(nèi)一點

2、,極點O與點M的 距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極 軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM 叫做點M的極角,記為.有序?qū)崝?shù)對(,) 叫做點M的極坐標(biāo),記作M(, ).,設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的 距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極 軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM 叫做點M的極角,記為.有序?qū)崝?shù)對(,) 叫做點M的極坐標(biāo),記作M(, ).,講授新課,1. 極坐標(biāo)系的概念,一般地,不作特殊 說明時,我們認(rèn)為0, 可取任意實數(shù).,例1. 如圖,在極坐標(biāo)系中,寫出點A, B,C的極坐標(biāo),并標(biāo)出點,所在的位置?,例1. 如圖,在極坐標(biāo)系中,寫出點A, B,C的極坐標(biāo),并標(biāo)出點,所

3、在的位置?,例1. 如圖,在極坐標(biāo)系中,寫出點A, B,C的極坐標(biāo),并標(biāo)出點,所在的位置?,例1. 如圖,在極坐標(biāo)系中,寫出點A, B,C的極坐標(biāo),并標(biāo)出點,所在的位置?,例2. 在圖中,用點A,B,C,D,E 分別表示教學(xué)樓,體育館,圖書館, 實驗樓,辦公樓的位置.建立適當(dāng)?shù)?極坐標(biāo)系,寫出各點的極坐標(biāo).,A,E,B,C,D,60o,45o,120m,60m,50m,例2. 在圖中,用點A,B,C,D,E 分別表示教學(xué)樓,體育館,圖書館, 實驗樓,辦公樓的位置.建立適當(dāng)?shù)?極坐標(biāo)系,寫出各點的極坐標(biāo).,A(O),E,B,C,D,60o,45o,120m,60m,50m,x,小結(jié),極坐標(biāo)(,)

4、與(,2k)(kZ)表示 同一個點.特別地,極點O的坐標(biāo)為(0,) ( R).和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個 點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.,如果規(guī)定0,02,那么除 極點外,平面內(nèi)的點可用惟一的極坐標(biāo) (,)表示;同時,極坐標(biāo)表示的點(,) 也是惟一確定的.,問題探究1,平面內(nèi)的一個點既可以用直角坐標(biāo) 表示,也可以用極坐標(biāo)表示.那么,這 兩種坐標(biāo)之間有什么關(guān)系呢?,把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸 的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中 取相同的長度單位. 設(shè)M是平面內(nèi)任意一 點,它的直角坐標(biāo)是(x,y)極坐標(biāo)是(,). 從下圖可以得出它們之間的關(guān)系:,N,x,x,M,O,y,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

5、,y,把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸 的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中 取相同的長度單位. 設(shè)M是平面內(nèi)任意一 點,它的直角坐標(biāo)是(x,y)極坐標(biāo)是(,). 從下圖可以得出它們之間的關(guān)系:,N,x,x,y,M,O,y,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,由又可得到下面的關(guān)系式:,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,N,x,x,y,M,O,y,由又可得到下面的關(guān)系式:,這就是極坐標(biāo)與 直角坐標(biāo)的互化公式.,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,N,x,x,y,M,O,y,例3.,例4.,1. 寫出圖中A,B,C,D,E,F(xiàn),G各 點的極坐標(biāo)( 0,0 2 ); 2.將上面7個點的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)。,課堂練習(xí),

6、.,簡單曲線的極坐標(biāo)方程,在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點; 自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再 選定一個長度單位、一個角度單位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆時針 方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.,復(fù)習(xí)回顧,1. 極坐標(biāo)系的概念,設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的 距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極 軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM 叫做點M的極角,記為.有序?qū)崝?shù)對(,) 叫做點M的極坐標(biāo),記作M(, ).,1. 極坐標(biāo)系的概念,一般地,不作特殊 說明時,我們認(rèn)為0, 可取任意實數(shù).,復(fù)習(xí)回顧,N,x,x,y,M,O,y,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,復(fù)習(xí)回顧,問題探究1,如圖

7、,半徑為a的圓的 圓心坐標(biāo)為C(a,0)(a0). 你能用一個等式表示圓上 任意一點的極坐標(biāo)(,) 滿足的條件嗎?,M(,),C(a,0),x,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,如圖,半徑為a的圓的 圓心坐標(biāo)為C(a,0)(a0). 你能用一個等式表示圓上 任意一點的極坐標(biāo)(,) 滿足的條件嗎?,圓經(jīng)過極點O. 設(shè)圓和極軸的另一個交點 是A,那么|OA|2a. 設(shè)M(,)為圓上除點 O,A以外的任意一點,則OMAM.,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,圓經(jīng)過極點O.設(shè)圓和 極軸的另一個交點是A, 那么|OA|2a.設(shè)M(,) 為圓上除點O,A以外

8、 的任意一點,則OMAM. 在RtAMO中,,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,|OM|OA|cosMOA,2acos ,即,一般地,在極坐標(biāo)系中,如果平面 曲線C上任意一點的極坐標(biāo)中至少有一 個滿足方程f(,)0,并且坐標(biāo)適合方 程f(,)0的點都在曲線C上,那么方程 f(,)0叫做曲線C的 極坐標(biāo)方程.,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,2acos ,就是圓心在C(a,0)(a0), 半徑為a的極坐標(biāo)方程.,例1.已知圓O的半徑為r,建立怎樣的 極坐標(biāo)系,可以使圓的極坐標(biāo)方程更 簡單?

9、,r,例1.已知圓O的半徑為r,建立怎樣的 極坐標(biāo)系,可以使圓的極坐標(biāo)方程更 簡單?,r,x,O,M,讓圓心在極坐標(biāo)原點。, =r,問題探究2,如圖,直線l經(jīng)過極點, 從極軸到直線l的角是 , 求直線l的極坐標(biāo)方程.,M,O,x,2. 直線的極坐標(biāo)方程,M,O,x,M,射線OM的極坐標(biāo)方程是,射線OM的極坐標(biāo)方程是,因此,直線l的方程可以用,表示.,例2. 求過點A(a,0)(a0),且垂直于極軸 的直線l的極坐標(biāo)方程.,O,x,A(a,0),M(, ),OM= ,AOM= ,OM cosAOM OA, cos a,OA=a,課堂練習(xí),1.說明下列極坐標(biāo)方程表示什么曲線, 并畫圖.,課堂練習(xí),

10、2.在坐標(biāo)系中,求適合下列條件的直線 或圓的極坐標(biāo)方程.,例3. 把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo) 方程,并判斷圖形的形狀.,例3. 把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo) 方程,并判斷圖形的形狀.,課堂練習(xí),1.把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.,2.把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.,課時小結(jié):總結(jié)下列幾種曲線的極坐標(biāo)方程:,1.過極點,傾斜角為 的直線: 2.過A(a,0)點垂直于極軸的直線: 3.以極點為圓心,半徑為 a 的圓: 4.若 ,以O(shè)A為直徑的圓: 5.過極點,圓心為 的圓:,課后作業(yè): 特刊 2 ,P41 試題匯編31 2010年:3,4 0809年:4,問題探究,右圖是一個圓形體育場,

11、自正東方向 起,按逆時針方向等分為十二個扇形區(qū)域, 順次記為一區(qū),二區(qū)十二區(qū).我們設(shè)圓 形體育場第一排與體育中心O的距離為300m, 每相鄰兩排的間距為1m,每層看臺的高度 為0.6m.現(xiàn)在需要確 定第九區(qū)第三排正 中的位置A,如何描 述這個位置?,一般地,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點.它在Oxy平面上的 射影為Q,用(,)(0,02)表示 點Q在平面Oxy上的極坐標(biāo),這時點P的 位置可用有序?qū)崝?shù)組(,z)(zR)表示.,柱坐標(biāo)系,z,O,這樣,我們建立了空間的點與有序 實數(shù)組(,z)之間的一種對應(yīng)關(guān)系.把建 立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系, 有序數(shù)組(,z)叫做點P的

12、柱坐標(biāo),記作 P(,z),其中0,02, z.,柱坐標(biāo)系,柱坐標(biāo)系又稱 半極坐標(biāo)系.,z,O,空間點P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo) (,z)之間的變換公式為,柱坐標(biāo)系,O,在航空領(lǐng)域,人們怎樣確定航天器 的準(zhǔn)確位置呢?,問題探究,如何建立坐標(biāo)系,才能方便地的得 出r,的值,并由有序?qū)崝?shù)組(r,)找 到航天器的具體位置呢?,問題探究,如何建立坐標(biāo)系,才能方便地的得 出r,的值,并由有序?qū)崝?shù)組(r,)找 到航天器的具體位置呢?,選取地球球心O 為極點,以O(shè)為端點 且與零子午線相交的 射線Ox為極軸,建 立平面極坐標(biāo)系.,問題探究,球坐標(biāo)系,一般地,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一

13、點,連接OP,記|OP| r.,x,y,z,P,O,球坐標(biāo)系,一般地,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點,連接OP,記|OP| r.,x,y,z,r,O,P,球坐標(biāo)系,一般地,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點,連接OP,記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.,x,y,z,r,O,P,一般地,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點,連接OP,記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.設(shè)P在Oxy 平面上的射影為Q,Ox軸按逆時針方向 旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)過的最小正角為.,球坐標(biāo)系,x,y,z,r,O,P,一般地,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點,連接OP,記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.設(shè)P在Oxy 平面上的射影為Q,Ox軸按逆時針方向 旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)過的最小正角為.,球坐標(biāo)系,x,y,z,r,Q,O,P,一般地,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點,連接OP,記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.設(shè)P在Oxy 平面上的射影為Q,Ox軸按逆時針方向 旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)過的最小正角為.這樣 點P的位置就可以用 有序數(shù)組(r,)表示. 這樣,空間的點與 有序數(shù)組(r,)之 間建立了一種對應(yīng) 關(guān)系.,球坐標(biāo)系,x,y,z,r,Q,O,P,把建立上述對應(yīng)關(guān)系的

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