《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第章導(dǎo)數(shù)與微分.ppt

1、,1.1 導(dǎo)數(shù)的概念 1.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.3 微分,結(jié)束,第2章 導(dǎo)數(shù)與微分,對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)來說，其速度公式為:,一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，物體的位置 與時(shí)間,的函數(shù)關(guān)系為 , 稱為位置函數(shù),2.1.1 引例,例1 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,2.1 導(dǎo)數(shù)的概念,瞬時(shí)速度,時(shí)刻的瞬時(shí)速度 ，即,例2 平面曲線的切線斜率 曲線 的圖像如圖所示, 在曲線上任取兩點(diǎn) 和 ， 作割線 ，割線的斜率為,這里 為割線MN的傾角，設(shè) 是切線MT的傾角， 當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)N沿曲線趨于點(diǎn)M。若上式的 極限存在，記為k，則此極限值k就是所求切線 MT的斜率，即,定義 設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義， 屬于該鄰域，記

2、若 存在，則稱其極限值為y = f (x)在點(diǎn)x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為,或,2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義,1.導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價(jià)：,若y =f (x)在x= x0 的導(dǎo)數(shù)存在，則稱y=f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo)，反之稱y = f (x)在x = x0 不可導(dǎo)，此時(shí)意味著不存在.函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點(diǎn)處的性態(tài)，導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點(diǎn)處變化(增大或減小)的快慢.,2.左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù):,右導(dǎo)數(shù):,顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù),定理3.1 y = f (x)在x =x0可導(dǎo)的充分必要條件是 y = f (x)在x=x0 的左、右導(dǎo)數(shù)存在且

3、相等.,3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義,當(dāng)自變量 從變化到 時(shí)，曲線y=f(x)上的點(diǎn)由 變到,此時(shí) 為割線兩端點(diǎn)M0，M的橫坐標(biāo)之差，而 則為M0，M 的縱坐標(biāo)之差，所以 即為過M0，M兩點(diǎn)的割線的斜率.,曲線y = f (x)在點(diǎn)M0處的切線即為割線M0M當(dāng)M沿曲 線y=f(x)無限接近 時(shí)的極限位置M0P，因而當(dāng) 時(shí)，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：,所以，導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲線y = f (x) 在點(diǎn)M0(x0,f(x0)處的切線斜率.,M0,M,設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為： 而當(dāng) 時(shí),曲線 在 的切線方程為,(即法線平行y軸).,當(dāng) 時(shí),曲線 在 的法

4、線方程為,而當(dāng) 時(shí),曲線 在 的法線方程為,例3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取極限: 同理可得: 特別地, .,例4 求曲線 在點(diǎn) 處的切線與法線方程. 解:因?yàn)?,由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線 在點(diǎn) 的切線與法線的斜率分別為: 于是所求的切線方程為: 即 法線方程為:,即,2.1.3 可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理2 若函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，,則f(x)在點(diǎn)x0 處連續(xù).,證 因?yàn)閒 (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，故有,根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,可得:,兩端乘以 得:,由此可見:,即函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0 處連續(xù).證畢.,例5 證明函數(shù) 在x=0處連續(xù)

5、但不可導(dǎo).,證 因?yàn)?所以 在x =0連續(xù),而,即函數(shù) 在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在,x=0不可導(dǎo).,由此可見，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件,即可導(dǎo)定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).,2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,2.2 求導(dǎo)法則,特別地,如果,可得公式,注：法則（1）（2）均可推廣到有限 多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形,例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點(diǎn)x處均 可導(dǎo)，則,解：,例2 設(shè),解：,例1,解：,即,類似可得,例3 求y = tanx 的導(dǎo)數(shù),解：,即,類似可得,例4 求 y = secx 的導(dǎo)數(shù),2.2.2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例7,解：,解：,

6、例6,證 因?yàn)?的反函數(shù),或,2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則,因此在對(duì)應(yīng)的區(qū)間（-1，1）內(nèi)有,即,同理,基本導(dǎo)數(shù)公式表,2.2.4 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解：,例5,1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例9 求方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解：,方程兩端對(duì)x求導(dǎo)得,2.2.5 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)即是由 所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出 。,即,例10,解一,例11,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有,解二稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，可用來求冪指函數(shù)和多個(gè)因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對(duì)數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo),注：,解二,兩邊對(duì)x求導(dǎo)得,例12,此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)

7、公式,2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系有時(shí)是由參數(shù)方程,確定的，其中t 稱為參數(shù),曲線t =1在處的切線斜率為,于是所求的切線方程為 y =x,n階導(dǎo)數(shù)：,二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù),2.2.6 高階導(dǎo)數(shù),解：,特別地,例15,解：,即,同理,例14,2.3.1 微分的概念,2.3 微分,所以上式可寫成,于是,（2.3.1)式可寫成,記為,上式兩端同除以自變量的微分，得,因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商,可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a , b)內(nèi)每一點(diǎn)都可微， 則稱該函數(shù)在(a , b)內(nèi)可微。,f(x) 在(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)x處的微分記為,解：,于是,面積的微分為,解：面積的增量,2.3.2 微分的幾何意義,T,2.3.3 微分的運(yùn)算法則,1. 微分的基本公式：,續(xù)前表,2. 微分的四則運(yùn)算法則,設(shè)u=u(x)，v=v(x)均可微 ，則,（C 為常數(shù)）；,3復(fù)合函數(shù)的微分法則,利用微分形式不變性，可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)和隱 函數(shù)的微分.,而,解：,解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得,即導(dǎo)數(shù)為,微分為,例4,由以上討論可以看出，微分與導(dǎo)數(shù)雖是兩個(gè) 不同的概念，但卻緊密相關(guān)，求出了導(dǎo)數(shù)便立即 可得微分，求出了微分亦可得導(dǎo)數(shù)，因此，通常 把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算