階常系數(shù)線性微分方程的解法

1、,二階常系數(shù)線性微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第五節(jié),第十章,證畢,是二階線性齊次方程,的兩個(gè)解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,(疊加原理),定理1.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu):,是二階線性齊次方程,的兩個(gè)解,是該方程的通解.,定理2.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,且 不為常數(shù)，,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得,稱(chēng)為微分方程的特征方程,1. 當(dāng),時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱(chēng)為特征根.,機(jī)

2、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 當(dāng),時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 當(dāng),時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:,因此原方程的通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,小結(jié):,特征方程:,實(shí)根,以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初

3、值問(wèn)題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問(wèn)題的解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個(gè)特解,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程左端, 得,復(fù)習(xí) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,是非齊次方程的解,又Y 中含有,兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如, 方程,有特解,對(duì)應(yīng)齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而 也是通解 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x)

4、的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1、, 為實(shí)數(shù) ,其特解形如,(1) 若 不是特征方程的根,取,為 m 次多項(xiàng)式 .,為 m 次多項(xiàng)式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(2) 若 是特征方程的單根 ,(3) 若 是特征方程的重根 ,取,取,例3.,的一個(gè)特解.,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,設(shè)所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4.,的通解.,解: 本題,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)非齊次方程特解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,其特解形如,其中 和 為 次多項(xiàng)式，,不是特征方程的根，取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2、,而 的取值如下：,是特征方程的根，取,例5.,的一個(gè)特解 .,解: 本題,特征方程,故設(shè)特解為,不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個(gè)特解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)